{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nZ odcinków o długościach: 5, 2\n1\na + ,\n1\na - można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika\nstąd, że\nA.\n6\na =\nB.\n4\na =\nC.\n3\na =\nD.\n2\na =","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku przez przekątne\n\nPole równoległoboku można wyrazić przez długości przekątnych i kąt między nimi:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2 \\cdot \\sin\\gamma\\]\ngdzie \\(d_1, d_2\\) to długości przekątnych, a \\(\\gamma\\) to kąt między nimi.\n\nPodstawiamy dane: \\(d_1 = 4\\), \\(d_2 = 8\\), \\(\\gamma = 30°\\):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 8 \\cdot \\sin 30°\\]\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 32 \\cdot \\frac{1}{2}\\]\n\\[\\boxed{P = 8}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez pola czterech trójkątów\n\nPrzekątne równoległoboku **przecinają się w połowie** - każda jest podzielona na dwa równe odcinki. Połówki przekątnych mają więc długości \\(\\frac{4}{2} = 2\\) i \\(\\frac{8}{2} = 4\\).\n\nPrzekątne dzielą równoległobok na **4 trójkąty**. Każdy z nich ma dwa boki o długościach \\(2\\) i \\(4\\), z kątem między nimi \\(30°\\) lub \\(150°\\) (kąty suplementarne, ale \\(\\sin 30° = \\sin 150° = \\frac{1}{2}\\)).\n\nPole jednego trójkąta:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 4 \\cdot \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\nPole całego równoległoboku:\n\\[P = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 2 = \\boxed{8}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku przez przekątne:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BD| \\cdot \\sin\\gamma\\]\nTo wzór podany wprost na karcie wzorów. Użyliśmy go w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - wartość funkcji trygonometrycznej:\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nKluczowa wartość z tablicy na karcie, bez której nie wykonamy podstawienia.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta ze wzoru sinusowego:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 dla każdego z czterech trójkątów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(32\\) | Policzono \\(4 \\cdot 8 = 32\\) - zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) i o \\(\\sin 30°\\) |\n| B - \\(16\\) | Użyto wzoru \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 8 = 16\\) - zapomniano pomnożyć przez \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) |\n| C - \\(12\\) | Błąd arytmetyczny lub pomieszanie wzorów (np. odjęcie zamiast mnożenia) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze jest \\(\\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2 \\cdot \\sin\\gamma\\) - bardzo łatwo zapomnieć o \\(\\frac{1}{2}\\) i dostać odpowiedź A zamiast D. Porównaj z polem romboid przez boki: tam też jest \\(\\frac{1}{2}\\) przed przekątnymi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) - to jedna z najważniejszych wartości do zapamiętania. Pomylenie z \\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) dałoby wynik \\(8\\sqrt{3}\\), którego w ogóle nie ma wśród odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między przekątnymi może być ostry lub rozwarty (suma = 180°), ale pole jest zawsze liczone przez kąt ostry, bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\). Nie musisz sprawdzać, który to kąt - wynik będzie ten sam.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku z przekątnych (karta wzorów)\nPole równoległoboku o przekątnych \\(d_{1}, d_{2}\\) przecinających się pod kątem \\(\\alpha\\):\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot d_{1}\\cdot d_{2}\\cdot \\sin\\alpha.\\]\nPodstawiamy:\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 8\\cdot \\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 32\\cdot \\dfrac{1}{2} = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez cztery trójkąty\nPrzekątne dzielą równoległobok na cztery trójkąty. Po dwa są przystające (równej powierzchni). Każdy ma boki \\(\\tfrac{d_{1}}{2}=2\\) i \\(\\tfrac{d_{2}}{2}=4\\), z kątem \\(30^{\\circ}\\) lub \\(150^{\\circ}\\). Pole jednego: \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 2\\cdot 4\\cdot \\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 8\\cdot \\tfrac{1}{2} = 2\\). Cztery trójkąty: \\(4\\cdot 2 = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(32\\)** - iloczyn \\(4\\cdot 8\\) bez \\(\\tfrac{1}{2}\\) i bez \\(\\sin\\).\n- **B. \\(16\\)** - iloczyn \\(4\\cdot 8\\cdot\\tfrac{1}{2}\\), ale bez \\(\\sin 30^{\\circ}\\).\n- **C. \\(12\\)** - błąd rachunkowy, być może \\(4\\cdot 8 / (2+1)\\).\n\n**Pamiętaj:** wzór na pole z przekątnych działa dla każdego czworokąta, którego przekątne przecinają się (np. romb, równoległobok, deltoid) - \\(P = \\tfrac{1}{2}d_{1}d_{2}\\sin\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (1 pkt)
Z odcinków o długościach: 5, 2
1
a + ,
1
a - można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika
stąd, że
A.
6
a =
B.
4
a =
C.
3
a =
D.
2
a =

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Planimetria. Zdający znajduje związki
\n

miarowe w figurach płaskich (7.c).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku przez przekątne

\n

Pole równoległoboku można wyrazić przez długości przekątnych i kąt między nimi:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2 \\cdot \\sin\\gamma\\]
gdzie \\(d_1, d_2\\) to długości przekątnych, a \\(\\gamma\\) to kąt między nimi.

\n

Podstawiamy dane: \\(d_1 = 4\\), \\(d_2 = 8\\), \\(\\gamma = 30°\\):
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 8 \\cdot \\sin 30°\\]
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 32 \\cdot \\frac{1}{2}\\]
\\[\\boxed{P = 8}\\]

\n

Sposób 2 - Przez pola czterech trójkątów

\n

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie - każda jest podzielona na dwa równe odcinki. Połówki przekątnych mają więc długości \\(\\frac{4}{2} = 2\\) i \\(\\frac{8}{2} = 4\\).

\n

Przekątne dzielą równoległobok na 4 trójkąty. Każdy z nich ma dwa boki o długościach \\(2\\) i \\(4\\), z kątem między nimi \\(30°\\) lub \\(150°\\) (kąty suplementarne, ale \\(\\sin 30° = \\sin 150° = \\frac{1}{2}\\)).

\n

Pole jednego trójkąta:
\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 4 \\cdot \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]

\n

Pole całego równoległoboku:
\\[P = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 2 = \\boxed{8}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole równoległoboku przez przekątne:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BD| \\cdot \\sin\\gamma\\]
To wzór podany wprost na karcie wzorów. Użyliśmy go w Sposobie 1.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - wartość funkcji trygonometrycznej:
\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]
Kluczowa wartość z tablicy na karcie, bez której nie wykonamy podstawienia.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - pole trójkąta ze wzoru sinusowego:
\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 dla każdego z czterech trójkątów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(32\\) | Policzono \\(4 \\cdot 8 = 32\\) - zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) i o \\(\\sin 30°\\) |
| B - \\(16\\) | Użyto wzoru \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 8 = 16\\) - zapomniano pomnożyć przez \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) |
| C - \\(12\\) | Błąd arytmetyczny lub pomieszanie wzorów (np. odjęcie zamiast mnożenia) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: We wzorze jest \\(\\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2 \\cdot \\sin\\gamma\\) - bardzo łatwo zapomnieć o \\(\\frac{1}{2}\\) i dostać odpowiedź A zamiast D. Porównaj z polem romboid przez boki: tam też jest \\(\\frac{1}{2}\\) przed przekątnymi!
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) - to jedna z najważniejszych wartości do zapamiętania. Pomylenie z \\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) dałoby wynik \\(8\\sqrt{3}\\), którego w ogóle nie ma wśród odpowiedzi.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt między przekątnymi może być ostry lub rozwarty (suma = 180°), ale pole jest zawsze liczone przez kąt ostry, bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\). Nie musisz sprawdzać, który to kąt - wynik będzie ten sam.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku z przekątnych (karta wzorów)
\n

Pole równoległoboku o przekątnych \\(d_{1}, d_{2}\\) przecinających się pod kątem \\(\\alpha\\):
\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot d_{1}\\cdot d_{2}\\cdot \\sin\\alpha.\\]
Podstawiamy:
\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 8\\cdot \\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 32\\cdot \\dfrac{1}{2} = 8.\\]

\n
Sposób 2 - Przez cztery trójkąty
\n

Przekątne dzielą równoległobok na cztery trójkąty. Po dwa są przystające (równej powierzchni). Każdy ma boki \\(\\tfrac{d_{1}}{2}=2\\) i \\(\\tfrac{d_{2}}{2}=4\\), z kątem \\(30^{\\circ}\\) lub \\(150^{\\circ}\\). Pole jednego: \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 2\\cdot 4\\cdot \\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 8\\cdot \\tfrac{1}{2} = 2\\). Cztery trójkąty: \\(4\\cdot 2 = 8\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: wzór na pole z przekątnych działa dla każdego czworokąta, którego przekątne przecinają się (np. romb, równoległobok, deltoid) - \\(P = \\tfrac{1}{2}d_{1}d_{2}\\sin\\alpha\\).

"}]}