{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nOkręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu\no promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).\nPole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe\nA. 14\nB. 2 33\nC. 4 33\nD. 12","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(25°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt między cięciwami + sumy łuków\n\n**Co wiemy na starcie:**\n\n- \\(AB\\) to średnica, więc **łuk \\(AB\\) (półokrąg)** = \\(180°\\)\n- Kąt środkowy \\(\\angle ASC = 110°\\), więc **łuk \\(AC = 110°\\)**\n- Stąd: **łuk \\(CB = 180° - 110° = 70°\\)**\n\n**Krok 1: Znajdź łuk \\(AD\\) z kąta między cięciwami.**\n\nCięciwy \\(AB\\) i \\(CD\\) przecinają się wewnątrz okręgu w punkcie \\(E\\). Kąt między cięciwami równa się połowie sumy łuków naprzeciwległych:\n\n\\[\n\\angle BEC = \\frac{1}{2}(\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD})\n\\]\n\nWstawiamy dane:\n\\[\n100° = \\frac{1}{2}(70° + \\overset{\\frown}{AD})\n\\]\n\\[\n200° = 70° + \\overset{\\frown}{AD}\n\\]\n\\[\n\\overset{\\frown}{AD} = 130°\n\\]\n\n**Krok 2: Znajdź łuk \\(BD\\).**\n\nSuma wszystkich łuków musi wynosić \\(360°\\):\n\\[\n\\overset{\\frown}{AC} + \\overset{\\frown}{CB} + \\overset{\\frown}{BD} + \\overset{\\frown}{DA} = 360°\n\\]\n\\[\n110° + 70° + \\overset{\\frown}{BD} + 130° = 360°\n\\]\n\\[\n\\overset{\\frown}{BD} = 360° - 310° = 50°\n\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt wpisany \\(\\angle BAD\\).**\n\nKąt wpisany \\(\\angle BAD\\) ma wierzchołek w \\(A\\) i opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{BD}\\) (łuk niezawierający \\(A\\)):\n\n\\[\n\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{BD} = \\frac{1}{2} \\cdot 50° = \\boxed{25°}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąty wpisane i własność średnicy (weryfikacja)\n\nSprawdźmy inaczej - wyznaczmy miary kątów i zweryfikujmy spójność.\n\n**Kąt wpisany \\(\\angle CBD\\)** opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{CD}\\):\n\\[\n\\overset{\\frown}{CD} = \\overset{\\frown}{CB} + \\overset{\\frown}{BD} = 70° + 50° = 120°\n\\implies \\angle CAD = \\frac{120°}{2} = 60°\n\\]\n\n**Kąt wpisany \\(\\angle BAC\\)** opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{BC} = 70°\\):\n\\[\n\\angle BAC = \\frac{70°}{2} = 35°\n\\]\n\n**Kąt wpisany \\(\\angle ACD\\)** opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{AD} = 130°\\):\n\\[\n\\angle ACD = \\frac{130°}{2} = 65°\n\\]\n\nW trójkącie \\(ACE\\) (gdzie \\(E\\) leży na \\(AB\\)):\n\\[\n\\angle CAE + \\angle ACE + \\angle AEC = 180°\n\\]\n\\[\n35° + 65° + \\angle AEC = 180° \\implies \\angle AEC = 80°\n\\]\n\nKąty \\(\\angle AEC\\) i \\(\\angle BEC\\) są suplementarne:\n\\[\n\\angle BEC = 180° - 80° = 100° \\checkmark\n\\]\n\nZgadza się z danymi - **kąt \\(\\angle BAD = 25°\\) jest poprawny**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt między cięciwami wewnątrz okręgu:\n\\[\n\\angle BEC = \\frac{1}{2}\\left(\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD}\\right)\n\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia łuku \\(AD\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n\\[\n\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy} = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{\\text{łuk}}\n\\]\nUżyte w Kroku 3 do obliczenia \\(\\angle BAD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A - \\(15°\\)** | Wzięto łuk \\(BD = 30°\\), bo zapomniano odjąć łuk \\(DA\\) od sumy - błąd w rachunku łuków |\n| **B - \\(20°\\)** | Liczono kąt środkowy \\(\\angle BSD\\) zamiast kąta wpisanego, lub błąd: \\(\\overset{\\frown}{BD} = 40°\\) przez pomyłkę w sumie łuków |\n| **D - \\(30°\\)** | Uznano, że \\(\\angle BEC = \\frac{1}{2}\\overset{\\frown}{BD}\\) (pominięto łuk \\(AC\\) w sumie), co daje \\(\\overset{\\frown}{BD} = 60°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między **cięciwami przecinającymi się wewnątrz** okręgu = **½ sumy** łuków naprzeciwległych - a nie różnicy! Różnicę bierzemy dla kąta między cięciwami przecinającymi się **na zewnątrz**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łuki należy dobrze przypisać do punktów. Porządek punktów na okręgu (A, C, B, D) wyznacza, które łuki są \"naprzeciwległe\" przy punkcie \\(E\\) - to łuki \\(BC\\) i \\(AD\\), bo leżą po przeciwnych stronach obu cięciw.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) nie jest tym samym co \\(\\angle BAC\\) ani \\(\\angle CAD\\) - opiera się na **łuku BD**, nie na łuku BC czy AD!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między cięciwami (karta wzorów)\nGdy dwie cięciwy \\(AB\\) i \\(CD\\) przecinają się wewnątrz okręgu w punkcie \\(E\\), kąt między nimi jest średnią łuków odciętych:\n\\[\\measuredangle BEC = \\dfrac{\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD}}{2}.\\]\nŁuk \\(\\overset{\\frown}{BC}\\): ponieważ kąt środkowy \\(\\measuredangle ASC = 110^{\\circ}\\), to \\(\\overset{\\frown}{AC} = 110^{\\circ}\\), a więc (AB to średnica, cały łuk od A do B to \\(180^{\\circ}\\)): \\(\\overset{\\frown}{BC} = 180^{\\circ} - 110^{\\circ} = 70^{\\circ}\\).\n\nZ równania: \\(100^{\\circ} = \\tfrac{70^{\\circ} + \\overset{\\frown}{AD}}{2}\\Rightarrow \\overset{\\frown}{AD} = 130^{\\circ}\\).\n\nKąt wpisany \\(\\measuredangle BAD\\) jest oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{BD}\\). \\(\\overset{\\frown}{BD} = 180^{\\circ} - \\overset{\\frown}{AD} = 180^{\\circ} - 130^{\\circ} = 50^{\\circ}\\).\nKąt wpisany to połowa łuku: \\(\\measuredangle BAD = \\tfrac{50^{\\circ}}{2} = 25^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozważając trójkąt \\(AED\\)\nW trójkącie \\(AED\\): kąt \\(\\measuredangle AED = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\) (sąsiedni do \\(\\measuredangle BEC\\)). Kąt wpisany \\(\\measuredangle ADC\\) oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}=110^{\\circ}\\) ma miarę \\(\\tfrac{110^{\\circ}}{2} = 55^{\\circ}\\).\nW trójkącie \\(AED\\): \\(\\measuredangle DAE + \\measuredangle ADE + \\measuredangle AED = 180^{\\circ}\\), czyli \\(\\measuredangle BAD + 55^{\\circ} + 80^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow \\measuredangle BAD = 25^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(15^{\\circ}\\)** - błąd rachunkowy przy ustalaniu łuku.\n- **B. \\(20^{\\circ}\\)** - pomyłka w zastosowaniu twierdzenia o łukach.\n- **D. \\(30^{\\circ}\\)** - prawdopodobnie niewłaściwe użycie twierdzenia o kącie wpisanym.\n\n**Pamiętaj:** kąt między dwiema cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu = średnia odciętych łuków. Kąt wpisany = połowa łuku.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19. (1 pkt)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu
o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe
A. 14
B. 2 33
C. 4 33
D. 12

","answer_text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający znajduje związki
\n

miarowe w figurach płaskich (7.c).
Wersja
I
Wersja
II
B
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(25°\\)

\n

Sposób 1 - Kąt między cięciwami + sumy łuków

\n

Co wiemy na starcie:

\n\n

Krok 1: Znajdź łuk \\(AD\\) z kąta między cięciwami.

\n

Cięciwy \\(AB\\) i \\(CD\\) przecinają się wewnątrz okręgu w punkcie \\(E\\). Kąt między cięciwami równa się połowie sumy łuków naprzeciwległych:

\n

\\[
\\angle BEC = \\frac{1}{2}(\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD})
\\]

\n

Wstawiamy dane:
\\[
100° = \\frac{1}{2}(70° + \\overset{\\frown}{AD})
\\]
\\[
200° = 70° + \\overset{\\frown}{AD}
\\]
\\[
\\overset{\\frown}{AD} = 130°
\\]

\n

Krok 2: Znajdź łuk \\(BD\\).

\n

Suma wszystkich łuków musi wynosić \\(360°\\):
\\[
\\overset{\\frown}{AC} + \\overset{\\frown}{CB} + \\overset{\\frown}{BD} + \\overset{\\frown}{DA} = 360°
\\]
\\[
110° + 70° + \\overset{\\frown}{BD} + 130° = 360°
\\]
\\[
\\overset{\\frown}{BD} = 360° - 310° = 50°
\\]

\n

Krok 3: Oblicz kąt wpisany \\(\\angle BAD\\).

\n

Kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) ma wierzchołek w \\(A\\) i opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{BD}\\) (łuk niezawierający \\(A\\)):

\n

\\[
\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{BD} = \\frac{1}{2} \\cdot 50° = \\boxed{25°}
\\]

\n

Sposób 2 - Przez kąty wpisane i własność średnicy (weryfikacja)

\n

Sprawdźmy inaczej - wyznaczmy miary kątów i zweryfikujmy spójność.

\n

Kąt wpisany \\(\\angle CBD\\) opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{CD}\\):
\\[
\\overset{\\frown}{CD} = \\overset{\\frown}{CB} + \\overset{\\frown}{BD} = 70° + 50° = 120°
\\implies \\angle CAD = \\frac{120°}{2} = 60°
\\]

\n

Kąt wpisany \\(\\angle BAC\\) opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{BC} = 70°\\):
\\[
\\angle BAC = \\frac{70°}{2} = 35°
\\]

\n

Kąt wpisany \\(\\angle ACD\\) opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{AD} = 130°\\):
\\[
\\angle ACD = \\frac{130°}{2} = 65°
\\]

\n

W trójkącie \\(ACE\\) (gdzie \\(E\\) leży na \\(AB\\)):
\\[
\\angle CAE + \\angle ACE + \\angle AEC = 180°
\\]
\\[
35° + 65° + \\angle AEC = 180° \\implies \\angle AEC = 80°
\\]

\n

Kąty \\(\\angle AEC\\) i \\(\\angle BEC\\) są suplementarne:
\\[
\\angle BEC = 180° - 80° = 100° \\checkmark
\\]

\n

Zgadza się z danymi - kąt \\(\\angle BAD = 25°\\) jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - kąt między cięciwami wewnątrz okręgu:
\\[
\\angle BEC = \\frac{1}{2}\\left(\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD}\\right)
\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia łuku \\(AD\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - kąt wpisany i kąt środkowy:
\\[
\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy} = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{\\text{łuk}}
\\]
Użyte w Kroku 3 do obliczenia \\(\\angle BAD\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(15°\\) | Wzięto łuk \\(BD = 30°\\), bo zapomniano odjąć łuk \\(DA\\) od sumy - błąd w rachunku łuków |
| B - \\(20°\\) | Liczono kąt środkowy \\(\\angle BSD\\) zamiast kąta wpisanego, lub błąd: \\(\\overset{\\frown}{BD} = 40°\\) przez pomyłkę w sumie łuków |
| D - \\(30°\\) | Uznano, że \\(\\angle BEC = \\frac{1}{2}\\overset{\\frown}{BD}\\) (pominięto łuk \\(AC\\) w sumie), co daje \\(\\overset{\\frown}{BD} = 60°\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt między cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu = ½ sumy łuków naprzeciwległych - a nie różnicy! Różnicę bierzemy dla kąta między cięciwami przecinającymi się na zewnątrz.
\n
⚠️ Uwaga: Łuki należy dobrze przypisać do punktów. Porządek punktów na okręgu (A, C, B, D) wyznacza, które łuki są "naprzeciwległe" przy punkcie \\(E\\) - to łuki \\(BC\\) i \\(AD\\), bo leżą po przeciwnych stronach obu cięciw.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany \\(\\angle BAD\\) nie jest tym samym co \\(\\angle BAC\\) ani \\(\\angle CAD\\) - opiera się na łuku BD, nie na łuku BC czy AD!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między cięciwami (karta wzorów)
\n

Gdy dwie cięciwy \\(AB\\) i \\(CD\\) przecinają się wewnątrz okręgu w punkcie \\(E\\), kąt między nimi jest średnią łuków odciętych:
\\[\\measuredangle BEC = \\dfrac{\\overset{\\frown}{BC} + \\overset{\\frown}{AD}}{2}.\\]
Łuk \\(\\overset{\\frown}{BC}\\): ponieważ kąt środkowy \\(\\measuredangle ASC = 110^{\\circ}\\), to \\(\\overset{\\frown}{AC} = 110^{\\circ}\\), a więc (AB to średnica, cały łuk od A do B to \\(180^{\\circ}\\)): \\(\\overset{\\frown}{BC} = 180^{\\circ} - 110^{\\circ} = 70^{\\circ}\\).

\n

Z równania: \\(100^{\\circ} = \\tfrac{70^{\\circ} + \\overset{\\frown}{AD}}{2}\\Rightarrow \\overset{\\frown}{AD} = 130^{\\circ}\\).

\n

Kąt wpisany \\(\\measuredangle BAD\\) jest oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{BD}\\). \\(\\overset{\\frown}{BD} = 180^{\\circ} - \\overset{\\frown}{AD} = 180^{\\circ} - 130^{\\circ} = 50^{\\circ}\\).
Kąt wpisany to połowa łuku: \\(\\measuredangle BAD = \\tfrac{50^{\\circ}}{2} = 25^{\\circ}\\).

\n
Sposób 2 - Rozważając trójkąt \\(AED\\)
\n

W trójkącie \\(AED\\): kąt \\(\\measuredangle AED = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\) (sąsiedni do \\(\\measuredangle BEC\\)). Kąt wpisany \\(\\measuredangle ADC\\) oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}=110^{\\circ}\\) ma miarę \\(\\tfrac{110^{\\circ}}{2} = 55^{\\circ}\\).
W trójkącie \\(AED\\): \\(\\measuredangle DAE + \\measuredangle ADE + \\measuredangle AED = 180^{\\circ}\\), czyli \\(\\measuredangle BAD + 55^{\\circ} + 80^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow \\measuredangle BAD = 25^{\\circ}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: kąt między dwiema cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu = średnia odciętych łuków. Kąt wpisany = połowa łuku.

"}]}