{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba\n(\n)\n2\n2\nlog\n2\njest równa\nA. 2\n3\nB. 2\nC.\n5\n2\nD. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - podwyżka o \\(56\\%\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie na przykładzie liczbowym\n\nPrzyjmijmy, że cena początkowa towaru wynosi \\(100\\) zł. (Wygodna liczba - procenty liczą się łatwo.)\n\n**Krok 1: Pierwsza podwyżka o \\(20\\%\\)**\n\n\\[100 \\cdot 1{,}20 = 120 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Druga podwyżka o \\(30\\%\\)** (tym razem z ceny \\(120\\) zł)\n\n\\[120 \\cdot 1{,}30 = 156 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 3: O ile procent wzrosła cena względem ceny początkowej?**\n\n\\[\\frac{156 - 100}{100} \\cdot 100\\% = 56\\%\\]\n\n**Odpowiedź:** Obie podwyżki razem odpowiadają jednej podwyżce o \\(\\mathbf{56\\%}\\).\n\n## Sposób 2 - Metoda algebraiczna (mnożenie współczynników)\n\nNiech cena początkowa wynosi \\(C\\).\n\nPodwyżka o \\(20\\%\\) oznacza pomnożenie przez \\(1{,}20\\). Podwyżka o \\(30\\%\\) oznacza pomnożenie przez \\(1{,}30\\).\n\nCena końcowa:\n\\[C_{\\text{końcowa}} = C \\cdot 1{,}20 \\cdot 1{,}30\\]\n\nObliczamy iloczyn współczynników:\n\\[1{,}20 \\cdot 1{,}30 = \\frac{120}{100} \\cdot \\frac{130}{100} = \\frac{120 \\cdot 130}{10000} = \\frac{15600}{10000} = 1{,}56\\]\n\nZatem:\n\\[C_{\\text{końcowa}} = C \\cdot 1{,}56\\]\n\nWspółczynnik \\(1{,}56\\) oznacza wzrost ceny o \\(\\mathbf{56\\%}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie, że podwyżka o \\(p\\%\\) to pomnożenie przez \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\), a kolejne podwyżki to kolejne mnożenia przez takie współczynniki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Dodawanie procentów: \\(20\\% + 30\\% = 50\\%\\). To najczęstszy błąd - procenty z różnych podstaw nie dodają się! |\n| C | Przekonanie, że \\(1{,}20 \\cdot 1{,}30 = 1{,}60\\) - błędne mnożenie dziesiętne |\n| D | Policzenie \\(20\\% \\cdot 30\\% = 6\\%\\), a potem \\(50\\% + 6\\% \\cdot 2 = 62\\%\\) lub inne błędne kombinacje |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najgroźniejsza pułapka to dodawanie procentów: \\(20\\% + 30\\% = 50\\%\\). To **błąd** - druga podwyżka naliczana jest od **już podwyższonej** ceny, nie od oryginalnej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ogólna formuła na dwie kolejne podwyżki o \\(p\\%\\) i \\(q\\%\\): łączna podwyżka wynosi \\((1+\\frac{p}{100})(1+\\frac{q}{100}) - 1\\), co daje dodatkowy człon \\(\\frac{p \\cdot q}{10000}\\) ponad prostą sumę \\(p + q\\). Tu: \\(\\frac{20 \\cdot 30}{10000} = \\frac{600}{10000} = 6\\%\\), stąd \\(20\\% + 30\\% + 6\\% = 56\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podwyżka o \\(30\\%\\) z ceny \\(120\\) zł to \\(30\\%\\) z **120**, nie z **100** - wielu uczniów liczy \\(30\\) zł zamiast \\(36\\) zł.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Mnożniki procentowe\nPodwyżka o \\(20\\%\\) to mnożenie przez \\(1{,}2\\); podwyżka o \\(30\\%\\) to mnożenie przez \\(1{,}3\\). Łączny mnożnik:\n\\[1{,}2\\cdot 1{,}3 = 1{,}56.\\]\nOznacza to jedną podwyżkę o \\(56\\%\\).\n\n### Sposób 2 - Konkretna cena\nPrzyjmijmy cenę \\(100\\) zł. Po pierwszej podwyżce: \\(120\\) zł. Po drugiej: \\(120\\cdot 1{,}3 = 156\\) zł. Wzrost z \\(100\\) do \\(156\\) to podwyżka o \\(56\\%\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(50\\%\\)** - ktoś dodał \\(20\\% + 30\\% = 50\\%\\) (typowy błąd).\n- **C. \\(60\\%\\)** - wariant pomyłki.\n- **D. \\(66\\%\\)** - inny nieprawidłowy wynik.\n\n**Pułapka:** procenty **NIE** dodaje się przy składanych podwyżkach - mnoży się mnożniki (współczynniki wzrostu).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (1 pkt)
Liczba
(
)
2
2
log
2
jest równa
A. 2
3
B. 2
C.
5
2
D. 3

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję
\n

logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na
logarytm iloczynu, logarytm ilorazu
i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym
(1.h).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - podwyżka o \\(56\\%\\)

\n

Sposób 1 - Obliczenie na przykładzie liczbowym

\n

Przyjmijmy, że cena początkowa towaru wynosi \\(100\\) zł. (Wygodna liczba - procenty liczą się łatwo.)

\n

Krok 1: Pierwsza podwyżka o \\(20\\%\\)

\n

\\[100 \\cdot 1{,}20 = 120 \\text{ zł}\\]

\n

Krok 2: Druga podwyżka o \\(30\\%\\) (tym razem z ceny \\(120\\) zł)

\n

\\[120 \\cdot 1{,}30 = 156 \\text{ zł}\\]

\n

Krok 3: O ile procent wzrosła cena względem ceny początkowej?

\n

\\[\\frac{156 - 100}{100} \\cdot 100\\% = 56\\%\\]

\n

Odpowiedź: Obie podwyżki razem odpowiadają jednej podwyżce o \\(\\mathbf{56\\%}\\).

\n

Sposób 2 - Metoda algebraiczna (mnożenie współczynników)

\n

Niech cena początkowa wynosi \\(C\\).

\n

Podwyżka o \\(20\\%\\) oznacza pomnożenie przez \\(1{,}20\\). Podwyżka o \\(30\\%\\) oznacza pomnożenie przez \\(1{,}30\\).

\n

Cena końcowa:
\\[C_{\\text{końcowa}} = C \\cdot 1{,}20 \\cdot 1{,}30\\]

\n

Obliczamy iloczyn współczynników:
\\[1{,}20 \\cdot 1{,}30 = \\frac{120}{100} \\cdot \\frac{130}{100} = \\frac{120 \\cdot 130}{10000} = \\frac{15600}{10000} = 1{,}56\\]

\n

Zatem:
\\[C_{\\text{końcowa}} = C \\cdot 1{,}56\\]

\n

Współczynnik \\(1{,}56\\) oznacza wzrost ceny o \\(\\mathbf{56\\%}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie, że podwyżka o \\(p\\%\\) to pomnożenie przez \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\), a kolejne podwyżki to kolejne mnożenia przez takie współczynniki.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Dodawanie procentów: \\(20\\% + 30\\% = 50\\%\\). To najczęstszy błąd - procenty z różnych podstaw nie dodają się! |
| C | Przekonanie, że \\(1{,}20 \\cdot 1{,}30 = 1{,}60\\) - błędne mnożenie dziesiętne |
| D | Policzenie \\(20\\% \\cdot 30\\% = 6\\%\\), a potem \\(50\\% + 6\\% \\cdot 2 = 62\\%\\) lub inne błędne kombinacje |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najgroźniejsza pułapka to dodawanie procentów: \\(20\\% + 30\\% = 50\\%\\). To błąd - druga podwyżka naliczana jest od już podwyższonej ceny, nie od oryginalnej!
\n
⚠️ Uwaga: Ogólna formuła na dwie kolejne podwyżki o \\(p\\%\\) i \\(q\\%\\): łączna podwyżka wynosi \\((1+\\frac{p}{100})(1+\\frac{q}{100}) - 1\\), co daje dodatkowy człon \\(\\frac{p \\cdot q}{10000}\\) ponad prostą sumę \\(p + q\\). Tu: \\(\\frac{20 \\cdot 30}{10000} = \\frac{600}{10000} = 6\\%\\), stąd \\(20\\% + 30\\% + 6\\% = 56\\%\\).
\n
⚠️ Uwaga: Podwyżka o \\(30\\%\\) z ceny \\(120\\) zł to \\(30\\%\\) z 120, nie z 100 - wielu uczniów liczy \\(30\\) zł zamiast \\(36\\) zł.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Mnożniki procentowe
\n

Podwyżka o \\(20\\%\\) to mnożenie przez \\(1{,}2\\); podwyżka o \\(30\\%\\) to mnożenie przez \\(1{,}3\\). Łączny mnożnik:
\\[1{,}2\\cdot 1{,}3 = 1{,}56.\\]
Oznacza to jedną podwyżkę o \\(56\\%\\).

\n
Sposób 2 - Konkretna cena
\n

Przyjmijmy cenę \\(100\\) zł. Po pierwszej podwyżce: \\(120\\) zł. Po drugiej: \\(120\\cdot 1{,}3 = 156\\) zł. Wzrost z \\(100\\) do \\(156\\) to podwyżka o \\(56\\%\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pułapka: procenty NIE dodaje się przy składanych podwyżkach - mnoży się mnożniki (współczynniki wzrostu).

"}]}