{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nProste opisane równaniami\n2\n1\n2\nm\nx\nm\ny\noraz\n1\n1\nm\nmx\ny\nsą prostopadłe, gdy\nA.\n2\nm =\nB.\n1\n2\nm =\nC.\n1\n3\nm =\nD.\n2\nm = -\nP\nO1\nO2\n3\n4\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - promień równy \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - z definicji styczności zewnętrznej\n\n**Kluczowy fakt:** Dwa okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość między ich środkami równa się **sumie** ich promieni.\n\nSkoro oba okręgi mają równe promienie \\(r\\), to:\n\\[|S_1 S_2| = r + r = 2r\\]\n\n**Obliczamy odległość między środkami** \\(S_1 = (3, 4)\\) i \\(S_2 = (9, -4)\\):\n\n\\[|S_1 S_2| = \\sqrt{(9-3)^2 + (-4-4)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{6^2 + (-8)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{36 + 64}\\]\n\\[= \\sqrt{100} = 10\\]\n\n**Wyznaczamy promień:**\n\\[2r = 10 \\implies \\boxed{r = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że okrąg o promieniu \\(r = 5\\) i środku \\(S_1 = (3,4)\\) oraz okrąg o promieniu \\(5\\) i środku \\(S_2 = (9,-4)\\) rzeczywiście są styczne zewnętrznie.\n\nRównania okręgów:\n\\[(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25\\]\n\\[(x - 9)^2 + (y + 4)^2 = 25\\]\n\nPunkt styku leży na odcinku \\(S_1 S_2\\) w połowie (bo promienie równe), czyli w środku:\n\\[x_T = \\frac{3 + 9}{2} = 6, \\quad y_T = \\frac{4 + (-4)}{2} = 0\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(T = (6, 0)\\) leży na pierwszym okręgu:\n\\[(6-3)^2 + (0-4)^2 = 9 + 16 = 25 \\checkmark\\]\n\nNa drugim okręgu:\n\\[(6-9)^2 + (0+4)^2 = 9 + 16 = 25 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(T\\) należy do obu okręgów - **styczność potwierdzona.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do obliczenia odległości \\(|S_1 S_2|\\) między środkami okręgów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(8\\) | Policzono \\(|S_1 S_2| = 10\\), ale nie podzielono przez 2 (pomylono \\(|S_1 S_2| = r\\) zamiast \\(= 2r\\)); ewentualnie błąd w obliczeniu \\(\\sqrt{36+64}\\approx 8\\) bez dokładnego rachunku |\n| B. \\(6\\) | Wzięto tylko jedną składową różnicy: \\(\\sqrt{6^2} = 6\\) lub pomylono poziomą odległość \\(9-3=6\\) z promieniem |\n| D. \\(\\frac{5}{2}\\) | Podzielono promień przez 2 jeszcze raz - błędna interpretacja wzoru |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Styczność **zewnętrzna** → \\(|S_1 S_2| = r_1 + r_2\\). Styczność **wewnętrzna** → \\(|S_1 S_2| = |r_1 - r_2|\\). Łatwo je pomylić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sqrt{6^2 + 8^2}\\) - to klasyczna trójka pitagorejska \\(6 : 8 : 10\\). Warto zapamiętać: \\((3,4,5)\\), \\((5,12,13)\\), \\((6,8,10)\\) to najczęstsze trójki na maturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(|S_1 S_2| = 10\\) to suma promieni, nie pojedynczy promień. Finalny krok \\(r = \\frac{10}{2} = 5\\) jest kluczowy i często pomijany w pośpiechu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odległość środków + styczność zewnętrzna (karta wzorów)\nOdległość między środkami:\n\\[|S_{1}S_{2}| = \\sqrt{(9-3)^{2} + (-4-4)^{2}} = \\sqrt{36+64} = \\sqrt{100} = 10.\\]\nDla okręgów stycznych zewnętrznie \\(|S_{1}S_{2}| = r_{1} + r_{2}\\). Ponieważ \\(r_{1}=r_{2}=r\\): \\(2r = 10\\Rightarrow r = 5\\).\n\n### Sposób 2 - Środek odcinka\nŚrodek \\(S_{1}S_{2}\\): \\(M = \\left(\\tfrac{3+9}{2}, \\tfrac{4+(-4)}{2}\\right) = (6,0)\\). W przypadku styczności zewnętrznej dwóch okręgów o równych promieniach, punkt styczności leży w środku odcinka \\(S_{1}S_{2}\\). Promień = odległość od \\(S_{1}\\) do \\(M\\): \\(\\sqrt{(6-3)^{2}+(0-4)^{2}}=\\sqrt{9+16}=5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - błąd przy obliczeniu odległości.\n- **B. \\(6\\)** - tylko \\(x\\)-owa składowa odległości, bez uwzględnienia \\(y\\).\n- **D. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - ktoś wziął \\(4r = 10\\) zamiast \\(2r = 10\\).\n\n**Pamiętaj:** dla styczności **zewnętrznej** \\(d = r_{1}+r_{2}\\); dla **wewnętrznej** \\(d = |r_{1}-r_{2}|\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Proste opisane równaniami<br>2<br>1<br>2<br>m<br>x<br>m<br>y<br>oraz<br>1<br>1<br>m<br>mx<br>y<br>są prostopadłe, gdy<br>A.<br>2<br>m =<br>B.<br>1<br>2<br>m =<br>C.<br>1<br>3<br>m =<br>D.<br>2<br>m = -<br>P<br>O1<br>O2<br>3<br>4</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający bada równoległość i prostopadłość<br>prostych na podstawie ich równań<br>kierunkowych (8.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - promień równy \\(5\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - z definicji styczności zewnętrznej</h4>\n<p><strong>Kluczowy fakt:</strong> Dwa okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość między ich środkami równa się <strong>sumie</strong> ich promieni.</p>\n<p>Skoro oba okręgi mają równe promienie \\(r\\), to:<br>\\[|S_1 S_2| = r + r = 2r\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy odległość między środkami</strong> \\(S_1 = (3, 4)\\) i \\(S_2 = (9, -4)\\):</p>\n<p>\\[|S_1 S_2| = \\sqrt{(9-3)^2 + (-4-4)^2}\\]<br>\\[= \\sqrt{6^2 + (-8)^2}\\]<br>\\[= \\sqrt{36 + 64}\\]<br>\\[= \\sqrt{100} = 10\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy promień:</strong><br>\\[2r = 10 \\implies \\boxed{r = 5}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, że okrąg o promieniu \\(r = 5\\) i środku \\(S_1 = (3,4)\\) oraz okrąg o promieniu \\(5\\) i środku \\(S_2 = (9,-4)\\) rzeczywiście są styczne zewnętrznie.</p>\n<p>Równania okręgów:<br>\\[(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25\\]<br>\\[(x - 9)^2 + (y + 4)^2 = 25\\]</p>\n<p>Punkt styku leży na odcinku \\(S_1 S_2\\) w połowie (bo promienie równe), czyli w środku:<br>\\[x_T = \\frac{3 + 9}{2} = 6, \\quad y_T = \\frac{4 + (-4)}{2} = 0\\]</p>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(T = (6, 0)\\) leży na pierwszym okręgu:<br>\\[(6-3)^2 + (0-4)^2 = 9 + 16 = 25 \\checkmark\\]</p>\n<p>Na drugim okręgu:<br>\\[(6-9)^2 + (0+4)^2 = 9 + 16 = 25 \\checkmark\\]</p>\n<p>Punkt \\(T\\) należy do obu okręgów - <strong>styczność potwierdzona.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - wzór na długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy go do obliczenia odległości \\(|S_1 S_2|\\) między środkami okręgów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(8\\) | Policzono \\(|S_1 S_2| = 10\\), ale nie podzielono przez 2 (pomylono \\(|S_1 S_2| = r\\) zamiast \\(= 2r\\)); ewentualnie błąd w obliczeniu \\(\\sqrt{36+64}\\approx 8\\) bez dokładnego rachunku |<br>| B. \\(6\\) | Wzięto tylko jedną składową różnicy: \\(\\sqrt{6^2} = 6\\) lub pomylono poziomą odległość \\(9-3=6\\) z promieniem |<br>| D. \\(\\frac{5}{2}\\) | Podzielono promień przez 2 jeszcze raz - błędna interpretacja wzoru |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Styczność <strong>zewnętrzna</strong> → \\(|S_1 S_2| = r_1 + r_2\\). Styczność <strong>wewnętrzna</strong> → \\(|S_1 S_2| = |r_1 - r_2|\\). Łatwo je pomylić!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(\\sqrt{6^2 + 8^2}\\) - to klasyczna trójka pitagorejska \\(6 : 8 : 10\\). Warto zapamiętać: \\((3,4,5)\\), \\((5,12,13)\\), \\((6,8,10)\\) to najczęstsze trójki na maturze.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik \\(|S_1 S_2| = 10\\) to suma promieni, nie pojedynczy promień. Finalny krok \\(r = \\frac{10}{2} = 5\\) jest kluczowy i często pomijany w pośpiechu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odległość środków + styczność zewnętrzna (karta wzorów)</h5>\n<p>Odległość między środkami:<br>\\[|S_{1}S_{2}| = \\sqrt{(9-3)^{2} + (-4-4)^{2}} = \\sqrt{36+64} = \\sqrt{100} = 10.\\]<br>Dla okręgów stycznych zewnętrznie \\(|S_{1}S_{2}| = r_{1} + r_{2}\\). Ponieważ \\(r_{1}=r_{2}=r\\): \\(2r = 10\\Rightarrow r = 5\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Środek odcinka</h5>\n<p>Środek \\(S_{1}S_{2}\\): \\(M = \\left(\\tfrac{3+9}{2}, \\tfrac{4+(-4)}{2}\\right) = (6,0)\\). W przypadku styczności zewnętrznej dwóch okręgów o równych promieniach, punkt styczności leży w środku odcinka \\(S_{1}S_{2}\\). Promień = odległość od \\(S_{1}\\) do \\(M\\): \\(\\sqrt{(6-3)^{2}+(0-4)^{2}}=\\sqrt{9+16}=5\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(8\\)</strong> - błąd przy obliczeniu odległości.</li><li><strong>B. \\(6\\)</strong> - tylko \\(x\\)-owa składowa odległości, bez uwzględnienia \\(y\\).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{5}{2}\\)</strong> - ktoś wziął \\(4r = 10\\) zamiast \\(2r = 10\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> dla styczności <strong>zewnętrznej</strong> \\(d = r_{1}+r_{2}\\); dla <strong>wewnętrznej</strong> \\(d = |r_{1}-r_{2}|\\).</p>"}]}