{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nW układzie współrzędnych dane są punkty\n(\n)\n, 6\nA\na\noraz\n(\n)\n7,\nB\nb\n. Środkiem odcinka AB\njest punkt\n(\n)\n3, 4\nM =\n. Wynika stąd, że\nA.\n5\na =\ni\n5\nb =\nB.\n1\na = - i\n2\nb =\nC.\n4\na =\ni\n10\nb =\nD.\n4\na = - i\n2\nb = -","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wektory i wzór na cos kąta między nimi\n\n**Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.**\n\nŚciana boczna to prostokąt o bokach \\(2\\) (bok kwadratu) i \\(h\\) (wysokość). Przekątna tej ściany ma długość \\(3\\), więc:\n\\[2^2 + h^2 = 3^2 \\implies h^2 = 5 \\implies h = \\sqrt{5}\\]\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.**\n\nWierzchołki podstawy dolnej:\n\\[A = (0,0,0),\\quad B = (2,0,0),\\quad D = (0,2,0)\\]\n\nWierzchołki podstawy górnej:\n\\[A' = (0,0,\\sqrt{5}),\\quad B' = (2,0,\\sqrt{5}),\\quad D' = (0,2,\\sqrt{5})\\]\n\n**Identyfikujemy dwie przekątne ścian bocznych wychodzące z wierzchołka \\(A\\).**\n\nZ wierzchołka \\(A\\) wychodzą przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych:\n- Ściana \\(ABB'A'\\): przekątna \\(AB'\\)\n- Ściana \\(ADD'A'\\): przekątna \\(AD'\\)\n\nWektory tych przekątnych:\n\\[\\vec{u} = \\overrightarrow{AB'} = (2, 0, \\sqrt{5}), \\qquad \\vec{v} = \\overrightarrow{AD'} = (0, 2, \\sqrt{5})\\]\n\n**Obliczamy kąt \\(\\alpha\\) między wektorami.**\n\nDługości wektorów (zgodnie z daną długością przekątnej = 3):\n\\[|\\vec{u}| = \\sqrt{4 + 0 + 5} = \\sqrt{9} = 3, \\qquad |\\vec{v}| = \\sqrt{0 + 4 + 5} = \\sqrt{9} = 3\\]\n\nIloczyn skalarny:\n\\[\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 2 \\cdot 0 + 0 \\cdot 2 + \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} = 5\\]\n\nCosinus kąta:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}||\\vec{v}|} = \\frac{5}{3 \\cdot 3} = \\frac{5}{9}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\) ze wzoru połowicznego.**\n\n\\[\\sin^2\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\dfrac{5}{9}}{2} = \\frac{\\dfrac{4}{9}}{2} = \\frac{2}{9}\\]\n\n\\[\\sin\\frac{\\alpha}{2} = \\sqrt{\\frac{2}{9}} = \\boxed{\\dfrac{\\sqrt{2}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - twierdzenie cosinusów w trójkącie \\(AB'D'\\)\n\nZnamy już \\(h = \\sqrt{5}\\), wierzchołki \\(A=(0,0,0)\\), \\(B'=(2,0,\\sqrt{5})\\), \\(D'=(0,2,\\sqrt{5})\\).\n\n**Obliczamy długość \\(B'D'\\)** (podstawy trójkąta):\n\\[|B'D'| = \\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2 + (\\sqrt{5}-\\sqrt{5})^2} = \\sqrt{4+4+0} = 2\\sqrt{2}\\]\n\nW trójkącie \\(AB'D'\\) mamy:\n- \\(|AB'| = |AD'| = 3\\) (przekątne ścian bocznych)\n- \\(|B'D'| = 2\\sqrt{2}\\)\n- kąt przy wierzchołku \\(A\\) to szukany \\(\\alpha\\)\n\nZ twierdzenia cosinusów:\n\\[|B'D'|^2 = |AB'|^2 + |AD'|^2 - 2|AB'||AD'|\\cos\\alpha\\]\n\\[8 = 9 + 9 - 18\\cos\\alpha \\implies \\cos\\alpha = \\frac{10}{18} = \\frac{5}{9}\\]\n\nIdentycznie jak w Sposobie 1: \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach:\n\\[\\sqrt{\\frac{2}{9}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{9}} = \\frac{\\sqrt{2}}{3}\\]\nUżyte przy upraszczaniu wyniku końcowego.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - brak gotowego wzoru na kąt przekątnych, ale korzystamy z własności graniastosłupa prostego, by wyznaczyć wysokość.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = a^2 + h^2\\]\nUżyte do wyznaczenia \\(h = \\sqrt{5}\\) z długości przekątnej ściany bocznej.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzór połowicznego kąta (wywodzona z jedynki trygonometrycznej):\n\\[\\sin^2\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos\\alpha}{2}\\]\nKluczowy wzór zamieniający \\(\\cos\\alpha\\) na \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{2}{3}\\) | Wzięcie \\(\\sin\\alpha\\) zamiast \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\), lub błąd w wzorze połowicznym (pominięcie dzielenia przez 2) |\n| B - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{3}\\) | Błędnie policzony iloczyn skalarny: np. wzięcie długości podstawy \\(2\\) zamiast \\(\\sqrt{5}\\) jako składowej pionowej, co daje \\(\\cos\\alpha = \\frac{4}{9}\\) → \\(\\sin\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{\\sqrt{5}}{3}\\), lub inna pomyłka arytmetyczna |\n| C - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{7}\\) | Błędnie przyjęta wysokość graniastosłupa (np. \\(h = \\sqrt{7}\\) przez pomylenie \\(d^2 = a^2 + h^2\\) z \\(d^2 = 2a^2 + h^2\\) - użycie przekątnej podstawy zamiast boku) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna ściany **bocznej** to \\(\\sqrt{a^2 + h^2}\\), a **nie** \\(\\sqrt{2a^2 + h^2}\\) - ta druga to przekątna całego graniastosłupa. Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd przy wyznaczaniu \\(h\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z wierzchołka wychodzą przekątne **dwóch sąsiednich** ścian bocznych (nie naprzeciwległych!). Gdyby wziąć naprzeciwległe ściany, kąt byłby zupełnie inny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin^2\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{1 - \\cos\\alpha}{2}\\) wymaga, by \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) był kątem ostrym (co tu zachodzi, bo \\(\\alpha < 180°\\)), więc bierzemy pierwiastek bez znaku minus.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny z przekątnymi (karta wzorów)\nDwie przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka mają długość \\(3\\). Drugi wierzchołek każdej z nich to po dwóch ścianach sąsiadujących (obydwie leżą na tej samej krawędzi poziomej długości \\(2\\)). Rozważmy wierzchołek w dolnej podstawie, obie przekątne prowadzą do wierzchołków górnej podstawy sąsiednich ścian.\n\nTe dwa górne końce leżą na ścianach sąsiednich, a odległość między nimi to przekątna kwadratu podstawy: \\(2\\sqrt{2}\\).\n\nRozważmy trójkąt równoramienny: dwa ramiona po \\(3\\), podstawa \\(2\\sqrt{2}\\). Opuśćmy wysokość z wierzchołka kąta \\(\\alpha\\) do podstawy - dzieli ją na pół: \\(\\sqrt{2}\\). Wtedy w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Współrzędne\nUstawmy wierzchołek w \\((0,0,0)\\). Dolny kwadrat: \\((0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0)\\). Górny: to samo przesunięte o wysokość \\(h\\). Przekątne bocznych ścian z punktu \\((0,0,0)\\): do \\((2,0,h)\\) i do \\((0,2,h)\\). Obie mają długość \\(\\sqrt{4+h^{2}}=3\\), więc \\(h^{2}=5\\).\n\nOdległość między \\((2,0,h)\\) i \\((0,2,h)\\) to \\(\\sqrt{4+4} = 2\\sqrt{2}\\). Trójkąt równoramienny z bokami \\(3,3,2\\sqrt{2}\\). Jak wyżej: \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2}=\\tfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Twierdzenie kosinusów\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3^{2}+3^{2}-(2\\sqrt{2})^{2}}{2\\cdot 3\\cdot 3} = \\dfrac{9+9-8}{18} = \\dfrac{10}{18} = \\dfrac{5}{9}\\).\nZe wzoru \\(\\sin^{2}\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{1-\\cos\\alpha}{2}\\):\n\\(\\sin^{2}\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{1-\\tfrac{5}{9}}{2} = \\tfrac{\\tfrac{4}{9}}{2} = \\tfrac{2}{9}\\), więc \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - błędnie wzięto za podstawę \\(4\\) zamiast \\(2\\sqrt{2}\\).\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{7}}{3}\\)** - to \\(\\cos\\tfrac{\\alpha}{2}\\) ze złymi danymi.\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{7}}{7}\\)** - błąd, złe wyrażenie.\n\n**Trik:** w trójkącie równoramiennym \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{\\text{pół podstawy}}{\\text{ramię}}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
W układzie współrzędnych dane są punkty
(
)
, 6
A
a
oraz
(
)
7,
B
b
. Środkiem odcinka AB
jest punkt
(
)
3, 4
M =
. Wynika stąd, że
A.
5
a =
i
5
b =
B.
1
a = - i
2
b =
C.
4
a =
i
10
b =
D.
4
a = - i
2
b = -

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający wyznacza współrzędne środka
odcinka (8.f).
Wersja
I
Wersja
II
B
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{3}\\)

\n

Sposób 1 - wektory i wzór na cos kąta między nimi

\n

Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.

\n

Ściana boczna to prostokąt o bokach \\(2\\) (bok kwadratu) i \\(h\\) (wysokość). Przekątna tej ściany ma długość \\(3\\), więc:
\\[2^2 + h^2 = 3^2 \\implies h^2 = 5 \\implies h = \\sqrt{5}\\]

\n

Ustawiamy układ współrzędnych.

\n

Wierzchołki podstawy dolnej:
\\[A = (0,0,0),\\quad B = (2,0,0),\\quad D = (0,2,0)\\]

\n

Wierzchołki podstawy górnej:
\\[A' = (0,0,\\sqrt{5}),\\quad B' = (2,0,\\sqrt{5}),\\quad D' = (0,2,\\sqrt{5})\\]

\n

Identyfikujemy dwie przekątne ścian bocznych wychodzące z wierzchołka \\(A\\).

\n

Z wierzchołka \\(A\\) wychodzą przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych:

\n\n

Wektory tych przekątnych:
\\[\\vec{u} = \\overrightarrow{AB'} = (2, 0, \\sqrt{5}), \\qquad \\vec{v} = \\overrightarrow{AD'} = (0, 2, \\sqrt{5})\\]

\n

Obliczamy kąt \\(\\alpha\\) między wektorami.

\n

Długości wektorów (zgodnie z daną długością przekątnej = 3):
\\[|\\vec{u}| = \\sqrt{4 + 0 + 5} = \\sqrt{9} = 3, \\qquad |\\vec{v}| = \\sqrt{0 + 4 + 5} = \\sqrt{9} = 3\\]

\n

Iloczyn skalarny:
\\[\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 2 \\cdot 0 + 0 \\cdot 2 + \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} = 5\\]

\n

Cosinus kąta:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}||\\vec{v}|} = \\frac{5}{3 \\cdot 3} = \\frac{5}{9}\\]

\n

Wyznaczamy \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\) ze wzoru połowicznego.

\n

\\[\\sin^2\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\dfrac{5}{9}}{2} = \\frac{\\dfrac{4}{9}}{2} = \\frac{2}{9}\\]

\n

\\[\\sin\\frac{\\alpha}{2} = \\sqrt{\\frac{2}{9}} = \\boxed{\\dfrac{\\sqrt{2}}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - twierdzenie cosinusów w trójkącie \\(AB'D'\\)

\n

Znamy już \\(h = \\sqrt{5}\\), wierzchołki \\(A=(0,0,0)\\), \\(B'=(2,0,\\sqrt{5})\\), \\(D'=(0,2,\\sqrt{5})\\).

\n

Obliczamy długość \\(B'D'\\) (podstawy trójkąta):
\\[|B'D'| = \\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2 + (\\sqrt{5}-\\sqrt{5})^2} = \\sqrt{4+4+0} = 2\\sqrt{2}\\]

\n

W trójkącie \\(AB'D'\\) mamy:

\n\n

Z twierdzenia cosinusów:
\\[|B'D'|^2 = |AB'|^2 + |AD'|^2 - 2|AB'||AD'|\\cos\\alpha\\]
\\[8 = 9 + 9 - 18\\cos\\alpha \\implies \\cos\\alpha = \\frac{10}{18} = \\frac{5}{9}\\]

\n

Identycznie jak w Sposobie 1: \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na pierwiastkach:
\\[\\sqrt{\\frac{2}{9}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{9}} = \\frac{\\sqrt{2}}{3}\\]
Użyte przy upraszczaniu wyniku końcowego.

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - brak gotowego wzoru na kąt przekątnych, ale korzystamy z własności graniastosłupa prostego, by wyznaczyć wysokość.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[d^2 = a^2 + h^2\\]
Użyte do wyznaczenia \\(h = \\sqrt{5}\\) z długości przekątnej ściany bocznej.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wzór połowicznego kąta (wywodzona z jedynki trygonometrycznej):
\\[\\sin^2\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos\\alpha}{2}\\]
Kluczowy wzór zamieniający \\(\\cos\\alpha\\) na \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(\\dfrac{2}{3}\\) | Wzięcie \\(\\sin\\alpha\\) zamiast \\(\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\\), lub błąd w wzorze połowicznym (pominięcie dzielenia przez 2) |
| B - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{3}\\) | Błędnie policzony iloczyn skalarny: np. wzięcie długości podstawy \\(2\\) zamiast \\(\\sqrt{5}\\) jako składowej pionowej, co daje \\(\\cos\\alpha = \\frac{4}{9}\\) → \\(\\sin\\frac{\\alpha}{2} = \\frac{\\sqrt{5}}{3}\\), lub inna pomyłka arytmetyczna |
| C - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{7}\\) | Błędnie przyjęta wysokość graniastosłupa (np. \\(h = \\sqrt{7}\\) przez pomylenie \\(d^2 = a^2 + h^2\\) z \\(d^2 = 2a^2 + h^2\\) - użycie przekątnej podstawy zamiast boku) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna ściany bocznej to \\(\\sqrt{a^2 + h^2}\\), a nie \\(\\sqrt{2a^2 + h^2}\\) - ta druga to przekątna całego graniastosłupa. Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd przy wyznaczaniu \\(h\\).
\n
⚠️ Uwaga: Z wierzchołka wychodzą przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych (nie naprzeciwległych!). Gdyby wziąć naprzeciwległe ściany, kąt byłby zupełnie inny.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(\\sin^2\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{1 - \\cos\\alpha}{2}\\) wymaga, by \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) był kątem ostrym (co tu zachodzi, bo \\(\\alpha < 180°\\)), więc bierzemy pierwiastek bez znaku minus.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Trójkąt równoramienny z przekątnymi (karta wzorów)
\n

Dwie przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka mają długość \\(3\\). Drugi wierzchołek każdej z nich to po dwóch ścianach sąsiadujących (obydwie leżą na tej samej krawędzi poziomej długości \\(2\\)). Rozważmy wierzchołek w dolnej podstawie, obie przekątne prowadzą do wierzchołków górnej podstawy sąsiednich ścian.

\n

Te dwa górne końce leżą na ścianach sąsiednich, a odległość między nimi to przekątna kwadratu podstawy: \\(2\\sqrt{2}\\).

\n

Rozważmy trójkąt równoramienny: dwa ramiona po \\(3\\), podstawa \\(2\\sqrt{2}\\). Opuśćmy wysokość z wierzchołka kąta \\(\\alpha\\) do podstawy - dzieli ją na pół: \\(\\sqrt{2}\\). Wtedy w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\dfrac{\\alpha}{2} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Współrzędne
\n

Ustawmy wierzchołek w \\((0,0,0)\\). Dolny kwadrat: \\((0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0)\\). Górny: to samo przesunięte o wysokość \\(h\\). Przekątne bocznych ścian z punktu \\((0,0,0)\\): do \\((2,0,h)\\) i do \\((0,2,h)\\). Obie mają długość \\(\\sqrt{4+h^{2}}=3\\), więc \\(h^{2}=5\\).

\n

Odległość między \\((2,0,h)\\) i \\((0,2,h)\\) to \\(\\sqrt{4+4} = 2\\sqrt{2}\\). Trójkąt równoramienny z bokami \\(3,3,2\\sqrt{2}\\). Jak wyżej: \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2}=\\tfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).

\n
Sposób 3 - Twierdzenie kosinusów
\n

\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3^{2}+3^{2}-(2\\sqrt{2})^{2}}{2\\cdot 3\\cdot 3} = \\dfrac{9+9-8}{18} = \\dfrac{10}{18} = \\dfrac{5}{9}\\).
Ze wzoru \\(\\sin^{2}\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{1-\\cos\\alpha}{2}\\):
\\(\\sin^{2}\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{1-\\tfrac{5}{9}}{2} = \\tfrac{\\tfrac{4}{9}}{2} = \\tfrac{2}{9}\\), więc \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: w trójkącie równoramiennym \\(\\sin\\tfrac{\\alpha}{2} = \\tfrac{\\text{pół podstawy}}{\\text{ramię}}\\).

"}]}