{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nRzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania\ndokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy\nA. 0\n0,2\np\n≤\n<\nB. 0,2\n0,35\np\n≤\n≤\nC. 0,35\n0,5\np\n<\n≤\nD. 0,5\n1\np\n<\n≤","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje\ntwierdzenie znane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - dwunastokąt\n\n## Sposób 1 - wzory na krawędzie i wierzchołki ostrosłupa\n\n**Kluczowy krok:** Wyraź liczbę krawędzi i wierzchołków przez \\(n\\) - liczbę boków podstawy.\n\nDla ostrosłupa o podstawie będącej \\(n\\)-kątem:\n\n| Element | Liczba |\n| Wierzchołki | \\(n\\) (podstawa) \\(+ 1\\) (wierzchołek) \\(= n + 1\\) |\n| Krawędzie | \\(n\\) (podstawa) \\(+ n\\) (boczne) \\(= 2n\\) |\n\nUkładamy równanie z warunkiem zadania:\n\n\\[\\text{krawędzie} - \\text{wierzchołki} = 11\\]\n\n\\[2n - (n+1) = 11\\]\n\n\\[2n - n - 1 = 11\\]\n\n\\[n - 1 = 11\\]\n\n\\[\\boxed{n = 12}\\]\n\n**Podstawą jest dwunastokąt.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wzór Eulera\n\nWzór Eulera dla wielościanów: \\(W - K + \\acute{S} = 2\\), gdzie \\(W\\) = wierzchołki, \\(K\\) = krawędzie, \\(\\acute{S}\\) = ściany.\n\nDla ostrosłupa o podstawie \\(n\\)-kącie:\n- \\(W = n + 1\\)\n- \\(K = 2n\\)\n- \\(\\acute{S} = n + 1\\) (n ścian bocznych \\(+\\) 1 podstawa)\n\nSprawdzamy wzór Eulera dla \\(n = 12\\):\n\n\\[(12+1) - 2 \\cdot 12 + (12+1) = 13 - 24 + 13 = 2 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy warunek zadania:\n\n\\[K - W = 2 \\cdot 12 - (12+1) = 24 - 13 = 11 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa i przeliczenie jego elementów. Wzór Eulera jest wiedzą spoza karty, ale służy tu tylko do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń liczy \\(K - W = n = 11\\), zapominając o \\(-1\\) przy upraszczaniu: \\(2n - (n+1) = n - 1\\), nie \\(n\\) |\n| B | Uczeń rozwiązuje \\(n - 1 = 11\\) poprawnie, ale liczy błędnie: \\(n = 11\\) zamiast \\(n = 12\\) (błąd arytmetyczny) |\n| D | Uczeń myli liczbę krawędzi podstawy z liczbą wszystkich krawędzi i stosuje \\(K = 3n\\) zamiast \\(2n\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek ostrosłupa to **\\(n + 1\\)**, nie \\(n\\) - nie zapomnij o wierzchołku górnym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krawędzi jest **\\(2n\\)** (n krawędzi podstawy \\(+\\) n krawędzi bocznych), nie \\(3n\\) (ściany boczne mają po 3 boki, ale krawędzie się współdzielą).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(2n - (n+1) = n - 1\\), więc \\(n = 12\\), a nie \\(11\\) - nie zgub tej jedynki!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Relacje w ostrosłupie \\(n\\)-kątnym\nOstrosłup, którego podstawą jest \\(n\\)-kąt, ma:\n- **wierzchołki**: \\(n\\) w podstawie + 1 wierzchołek = \\(n+1\\)\n- **krawędzie**: \\(n\\) w podstawie + \\(n\\) bocznych = \\(2n\\)\n\nRóżnica: \\(2n - (n+1) = n - 1 = 11\\Rightarrow n = 12\\). Podstawą jest **dwunastokąt**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie opcji\n- \\(n=10\\): krawędzie \\(20\\), wierzchołki \\(11\\), różnica \\(9\\) ✗\n- \\(n=11\\): krawędzie \\(22\\), wierzchołki \\(12\\), różnica \\(10\\) ✗\n- \\(n=12\\): krawędzie \\(24\\), wierzchołki \\(13\\), różnica \\(11\\) ✓\n- \\(n=13\\): krawędzie \\(26\\), wierzchołki \\(14\\), różnica \\(12\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Dziesięciokąt** - daje różnicę \\(9\\).\n- **B. Jedenastokąt** - daje różnicę \\(10\\).\n- **D. Trzynastokąt** - daje różnicę \\(12\\).\n\n**Pamiętaj:** w ostrosłupie \\(n\\)-kątnym: wierzchołki = \\(n+1\\), krawędzie = \\(2n\\), różnica = \\(n-1\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania<br>dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy<br>A. 0<br>0,2<br>p<br>≤<br>&lt;<br>B. 0,2<br>0,35<br>p<br>≤<br>≤<br>C. 0,35<br>0,5<br>p<br>&lt;<br>≤<br>D. 0,5<br>1<br>p<br>&lt;<br>≤</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka.<br>Zdający wykorzystuje własności<br>prawdopodobieństwa i stosuje<br>twierdzenie znane jako klasyczna definicja<br>prawdopodobieństwa do obliczania<br>prawdopodobieństw zdarzeń (10.d).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - dwunastokąt</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzory na krawędzie i wierzchołki ostrosłupa</h4>\n<p><strong>Kluczowy krok:</strong> Wyraź liczbę krawędzi i wierzchołków przez \\(n\\) - liczbę boków podstawy.</p>\n<p>Dla ostrosłupa o podstawie będącej \\(n\\)-kątem:</p>\n<p>| Element | Liczba |<br>| Wierzchołki | \\(n\\) (podstawa) \\(+ 1\\) (wierzchołek) \\(= n + 1\\) |<br>| Krawędzie | \\(n\\) (podstawa) \\(+ n\\) (boczne) \\(= 2n\\) |</p>\n<p>Układamy równanie z warunkiem zadania:</p>\n<p>\\[\\text{krawędzie} - \\text{wierzchołki} = 11\\]</p>\n<p>\\[2n - (n+1) = 11\\]</p>\n<p>\\[2n - n - 1 = 11\\]</p>\n<p>\\[n - 1 = 11\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{n = 12}\\]</p>\n<p><strong>Podstawą jest dwunastokąt.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez wzór Eulera</h4>\n<p>Wzór Eulera dla wielościanów: \\(W - K + \\acute{S} = 2\\), gdzie \\(W\\) = wierzchołki, \\(K\\) = krawędzie, \\(\\acute{S}\\) = ściany.</p>\n<p>Dla ostrosłupa o podstawie \\(n\\)-kącie:</p>\n<ul><li>\\(W = n + 1\\)</li><li>\\(K = 2n\\)</li><li>\\(\\acute{S} = n + 1\\) (n ścian bocznych \\(+\\) 1 podstawa)</li></ul>\n<p>Sprawdzamy wzór Eulera dla \\(n = 12\\):</p>\n<p>\\[(12+1) - 2 \\cdot 12 + (12+1) = 13 - 24 + 13 = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy warunek zadania:</p>\n<p>\\[K - W = 2 \\cdot 12 - (12+1) = 24 - 13 = 11 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik potwierdzony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa i przeliczenie jego elementów. Wzór Eulera jest wiedzą spoza karty, ale służy tu tylko do weryfikacji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Uczeń liczy \\(K - W = n = 11\\), zapominając o \\(-1\\) przy upraszczaniu: \\(2n - (n+1) = n - 1\\), nie \\(n\\) |<br>| B | Uczeń rozwiązuje \\(n - 1 = 11\\) poprawnie, ale liczy błędnie: \\(n = 11\\) zamiast \\(n = 12\\) (błąd arytmetyczny) |<br>| D | Uczeń myli liczbę krawędzi podstawy z liczbą wszystkich krawędzi i stosuje \\(K = 3n\\) zamiast \\(2n\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wierzchołek ostrosłupa to <strong>\\(n + 1\\)</strong>, nie \\(n\\) - nie zapomnij o wierzchołku górnym!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Krawędzi jest <strong>\\(2n\\)</strong> (n krawędzi podstawy \\(+\\) n krawędzi bocznych), nie \\(3n\\) (ściany boczne mają po 3 boki, ale krawędzie się współdzielą).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica \\(2n - (n+1) = n - 1\\), więc \\(n = 12\\), a nie \\(11\\) - nie zgub tej jedynki!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Relacje w ostrosłupie \\(n\\)-kątnym</h5>\n<p>Ostrosłup, którego podstawą jest \\(n\\)-kąt, ma:</p>\n<ul><li><strong>wierzchołki</strong>: \\(n\\) w podstawie + 1 wierzchołek = \\(n+1\\)</li><li><strong>krawędzie</strong>: \\(n\\) w podstawie + \\(n\\) bocznych = \\(2n\\)</li></ul>\n<p>Różnica: \\(2n - (n+1) = n - 1 = 11\\Rightarrow n = 12\\). Podstawą jest <strong>dwunastokąt</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie opcji</h5>\n<ul><li>\\(n=10\\): krawędzie \\(20\\), wierzchołki \\(11\\), różnica \\(9\\) ✗</li><li>\\(n=11\\): krawędzie \\(22\\), wierzchołki \\(12\\), różnica \\(10\\) ✗</li><li>\\(n=12\\): krawędzie \\(24\\), wierzchołki \\(13\\), różnica \\(11\\) ✓</li><li>\\(n=13\\): krawędzie \\(26\\), wierzchołki \\(14\\), różnica \\(12\\) ✗</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. Dziesięciokąt</strong> - daje różnicę \\(9\\).</li><li><strong>B. Jedenastokąt</strong> - daje różnicę \\(10\\).</li><li><strong>D. Trzynastokąt</strong> - daje różnicę \\(12\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> w ostrosłupie \\(n\\)-kątnym: wierzchołki = \\(n+1\\), krawędzie = \\(2n\\), różnica = \\(n-1\\).</p>"}]}