{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nKąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego\nstożka jest równa\nA. 36π\nB. 18π\nC. 24π\nD. 8π","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w bryłach obrotowych\nz zastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -51\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie ze średnich\n\n**Oznaczenia:** zestaw wyjściowy to \\(\\{4, 7, 8, x\\}\\) (4 liczby), po dołączeniu \\(2\\) mamy \\(\\{4, 7, 8, x, 2\\}\\) (5 liczb).\n\nZapisujemy obie średnie:\n\n\\[\\bar{a}_1 = \\frac{4 + 7 + 8 + x}{4} = \\frac{19 + x}{4}\\]\n\n\\[\\bar{a}_2 = \\frac{4 + 7 + 8 + x + 2}{5} = \\frac{21 + x}{5}\\]\n\nWarunek zadania - **średnia wzrośnie o 2**, czyli nowa jest o 2 większa od starej:\n\n\\[\\bar{a}_2 = \\bar{a}_1 + 2\\]\n\n\\[\\frac{21 + x}{5} = \\frac{19 + x}{4} + 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(20\\) (NWW z \\(4\\) i \\(5\\)):\n\n\\[4(21 + x) = 5(19 + x) + 40\\]\n\n\\[84 + 4x = 95 + 5x + 40\\]\n\n\\[84 + 4x = 135 + 5x\\]\n\n\\[84 - 135 = 5x - 4x\\]\n\n\\[\\boxed{x = -51}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem\n\nSprawdzamy, czy \\(x = -51\\) spełnia warunek zadania.\n\n**Zestaw wyjściowy** \\(\\{4, 7, 8, -51\\}\\):\n\n\\[\\bar{a}_1 = \\frac{4 + 7 + 8 + (-51)}{4} = \\frac{-32}{4} = -8\\]\n\n**Zestaw po dołączeniu 2** - \\(\\{4, 7, 8, -51, 2\\}\\):\n\n\\[\\bar{a}_2 = \\frac{4 + 7 + 8 + (-51) + 2}{5} = \\frac{-30}{5} = -6\\]\n\nRóżnica: \\(-6 - (-8) = 2\\) ✓\n\nWarunek zadania jest spełniony - średnia rzeczywiście wzrosła o \\(2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru dwukrotnie - dla zestawu 4-elementowego (dzielimy przez \\(4\\)) i 5-elementowego (dzielimy przez \\(5\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\((x = -6)\\) | Uczeń może pomylić \\(x\\) z wartością **nowej średniej** \\((-6)\\) - \"skoro nowa średnia to \\(-6\\), to \\(x = -6\\)\" |\n| **C** \\((x = 10)\\) | Błędne ustawienie równania np. \\(\\frac{19+x}{4} = \\frac{21+x}{5} + 2\\) (odwrócone strony - stara \\(=\\) nowa \\(+2\\) zamiast nowa \\(=\\) stara \\(+2\\)) |\n| **D** \\((x = 29)\\) | Błąd znaku: uczeń liczy \\(\\bar{a}_1 = \\bar{a}_2 + 2\\) zamiast \\(\\bar{a}_2 = \\bar{a}_1 + 2\\) - czyli przyjmuje, że stara średnia jest o 2 większa od nowej. Prowadzi do \\(x = 29\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Średnia wzrośnie o 2\" znaczy **nowa = stara + 2**, a nie odwrotnie. Pomylenie kierunku nierówności daje \\(x = 29\\) zamiast \\(x = -51\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nowy zestaw ma **5 elementów** - mianownik to \\(5\\), nie \\(4\\)! Dołączamy \\(2\\) i do sumy, i do liczby wyrazów. Zapomnienie o zmianie mianownika to jeden z najczęstszych błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(x = -51\\) wygląda \"za duży\" - uczniowie często odrzucają go jako błąd. Tutaj dodanie bardzo małej liczby (\\(-51\\)) sprawia, że dołączenie \\(2\\) znacząco podnosi średnią. Zawsze warto zweryfikować wynik podstawieniem!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Równanie średnich\nŚrednia z czterech liczb: \\(\\overline{m} = \\dfrac{4+7+8+x}{4} = \\dfrac{19+x}{4}\\).\nPo dodaniu \\(2\\) (pięć liczb): \\(\\overline{m}' = \\dfrac{4+7+8+x+2}{5} = \\dfrac{21+x}{5}\\).\nWarunek: \\(\\overline{m}' = \\overline{m} + 2\\):\n\\[\\dfrac{21+x}{5} = \\dfrac{19+x}{4} + 2.\\]\nMnożymy obustronnie przez 20:\n\\[4(21+x) = 5(19+x) + 40,\\]\n\\[84+4x = 95+5x+40,\\]\n\\[84+4x = 135+5x,\\]\n\\[-51 = x.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x = -51\\): zestaw \\(4,7,8,-51\\), suma \\(-32\\), średnia \\(-8\\). Po dodaniu \\(2\\): suma \\(-30\\), średnia \\(-6\\). Różnica: \\(-6 - (-8) = 2\\) ✓\n\n### Sposób 3 - Rozumowanie w odwrotną stronę\nŚrednia wzrosła o \\(2\\), dlatego że nowa liczba \\(2\\) jest **dużo powyżej** starej średniej \\(\\overline{m}\\). Dokładnie: różnica między \\(2\\) a starą średnią razy nowa liczba/nowa liczność daje przyrost. \\(\\Delta\\overline{m} = \\tfrac{2 - \\overline{m}}{5} = 2\\Rightarrow \\overline{m} = -8\\). Stara średnia \\(-8\\) daje sumę \\(4\\cdot(-8) = -32 = 19+x\\Rightarrow x = -51\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(x=-6\\)** - to stara średnia w innych rozwiązaniach; błąd przy wyrażaniu.\n- **C. \\(x=10\\)** - ktoś pomylił się w kierunku zmiany średniej.\n- **D. \\(x=29\\)** - błąd rachunkowy, zły znak.\n\n**Pamiętaj:** średnia wzrasta o \\(2\\) po dodaniu liczby **większej** od średniej; skoro dodano \\(2\\), a średnia wzrosła, to stara musiała być bardzo mała.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (1 pkt)
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego
stożka jest równa
A. 36π
B. 18π
C. 24π
D. 8π

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający wyznacza związki
\n

miarowe w bryłach obrotowych
z zastosowaniem trygonometrii (9.b).
Wersja
I
Wersja
II
D
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -51\\)

\n

Sposób 1 - Równanie ze średnich

\n

Oznaczenia: zestaw wyjściowy to \\(\\{4, 7, 8, x\\}\\) (4 liczby), po dołączeniu \\(2\\) mamy \\(\\{4, 7, 8, x, 2\\}\\) (5 liczb).

\n

Zapisujemy obie średnie:

\n

\\[\\bar{a}_1 = \\frac{4 + 7 + 8 + x}{4} = \\frac{19 + x}{4}\\]

\n

\\[\\bar{a}_2 = \\frac{4 + 7 + 8 + x + 2}{5} = \\frac{21 + x}{5}\\]

\n

Warunek zadania - średnia wzrośnie o 2, czyli nowa jest o 2 większa od starej:

\n

\\[\\bar{a}_2 = \\bar{a}_1 + 2\\]

\n

\\[\\frac{21 + x}{5} = \\frac{19 + x}{4} + 2\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(20\\) (NWW z \\(4\\) i \\(5\\)):

\n

\\[4(21 + x) = 5(19 + x) + 40\\]

\n

\\[84 + 4x = 95 + 5x + 40\\]

\n

\\[84 + 4x = 135 + 5x\\]

\n

\\[84 - 135 = 5x - 4x\\]

\n

\\[\\boxed{x = -51}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem

\n

Sprawdzamy, czy \\(x = -51\\) spełnia warunek zadania.

\n

Zestaw wyjściowy \\(\\{4, 7, 8, -51\\}\\):

\n

\\[\\bar{a}_1 = \\frac{4 + 7 + 8 + (-51)}{4} = \\frac{-32}{4} = -8\\]

\n

Zestaw po dołączeniu 2 - \\(\\{4, 7, 8, -51, 2\\}\\):

\n

\\[\\bar{a}_2 = \\frac{4 + 7 + 8 + (-51) + 2}{5} = \\frac{-30}{5} = -6\\]

\n

Różnica: \\(-6 - (-8) = 2\\) ✓

\n

Warunek zadania jest spełniony - średnia rzeczywiście wzrosła o \\(2\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]
Użyliśmy tego wzoru dwukrotnie - dla zestawu 4-elementowego (dzielimy przez \\(4\\)) i 5-elementowego (dzielimy przez \\(5\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B \\((x = -6)\\) | Uczeń może pomylić \\(x\\) z wartością nowej średniej \\((-6)\\) - "skoro nowa średnia to \\(-6\\), to \\(x = -6\\)" |
| C \\((x = 10)\\) | Błędne ustawienie równania np. \\(\\frac{19+x}{4} = \\frac{21+x}{5} + 2\\) (odwrócone strony - stara \\(=\\) nowa \\(+2\\) zamiast nowa \\(=\\) stara \\(+2\\)) |
| D \\((x = 29)\\) | Błąd znaku: uczeń liczy \\(\\bar{a}_1 = \\bar{a}_2 + 2\\) zamiast \\(\\bar{a}_2 = \\bar{a}_1 + 2\\) - czyli przyjmuje, że stara średnia jest o 2 większa od nowej. Prowadzi do \\(x = 29\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: "Średnia wzrośnie o 2" znaczy nowa = stara + 2, a nie odwrotnie. Pomylenie kierunku nierówności daje \\(x = 29\\) zamiast \\(x = -51\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nowy zestaw ma 5 elementów - mianownik to \\(5\\), nie \\(4\\)! Dołączamy \\(2\\) i do sumy, i do liczby wyrazów. Zapomnienie o zmianie mianownika to jeden z najczęstszych błędów.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(x = -51\\) wygląda "za duży" - uczniowie często odrzucają go jako błąd. Tutaj dodanie bardzo małej liczby (\\(-51\\)) sprawia, że dołączenie \\(2\\) znacząco podnosi średnią. Zawsze warto zweryfikować wynik podstawieniem!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Równanie średnich
\n

Średnia z czterech liczb: \\(\\overline{m} = \\dfrac{4+7+8+x}{4} = \\dfrac{19+x}{4}\\).
Po dodaniu \\(2\\) (pięć liczb): \\(\\overline{m}' = \\dfrac{4+7+8+x+2}{5} = \\dfrac{21+x}{5}\\).
Warunek: \\(\\overline{m}' = \\overline{m} + 2\\):
\\[\\dfrac{21+x}{5} = \\dfrac{19+x}{4} + 2.\\]
Mnożymy obustronnie przez 20:
\\[4(21+x) = 5(19+x) + 40,\\]
\\[84+4x = 95+5x+40,\\]
\\[84+4x = 135+5x,\\]
\\[-51 = x.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

\\(x = -51\\): zestaw \\(4,7,8,-51\\), suma \\(-32\\), średnia \\(-8\\). Po dodaniu \\(2\\): suma \\(-30\\), średnia \\(-6\\). Różnica: \\(-6 - (-8) = 2\\) ✓

\n
Sposób 3 - Rozumowanie w odwrotną stronę
\n

Średnia wzrosła o \\(2\\), dlatego że nowa liczba \\(2\\) jest dużo powyżej starej średniej \\(\\overline{m}\\). Dokładnie: różnica między \\(2\\) a starą średnią razy nowa liczba/nowa liczność daje przyrost. \\(\\Delta\\overline{m} = \\tfrac{2 - \\overline{m}}{5} = 2\\Rightarrow \\overline{m} = -8\\). Stara średnia \\(-8\\) daje sumę \\(4\\cdot(-8) = -32 = 19+x\\Rightarrow x = -51\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: średnia wzrasta o \\(2\\) po dodaniu liczby większej od średniej; skoro dodano \\(2\\), a średnia wzrosła, to stara musiała być bardzo mała.

"}]}