{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nPrzekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od\nwysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną\npodstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).\nPłaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze\nA.\n°\n30\nB.\n°\n45\nC.\n°\n60\nD.\n°\n75","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach z zastosowaniem\ntrygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(30\\)\n\n## Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny (wzór na \\(n\\)-ty wyraz)\n\nSzukamy liczby dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \\(3\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz pierwszą i ostatnią taką liczbę.**\n\nLiczby dwucyfrowe to liczby od \\(10\\) do \\(99\\).\n\n- Pierwsza liczba dwucyfrowa podzielna przez \\(3\\): \\(12\\) (bo \\(10 \\div 3\\) i \\(11 \\div 3\\) dają resztę, natomiast \\(12 = 3 \\cdot 4\\) ✓)\n- Ostatnia liczba dwucyfrowa podzielna przez \\(3\\): \\(99\\) (bo \\(99 = 3 \\cdot 33\\) ✓, a \\(100\\) jest już trzycyfrowa)\n\n**Krok 2: Rozpoznaj ciąg arytmetyczny.**\n\nLiczby \\(12, 15, 18, 21, \\ldots, 99\\) tworzą **ciąg arytmetyczny** o:\n- pierwszym wyrazie \\(a_1 = 12\\)\n- różnicy \\(r = 3\\)\n- ostatnim wyrazie \\(a_n = 99\\)\n\n**Krok 3: Oblicz liczbę wyrazów.**\n\nZe wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\\[99 = 12 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\\[87 = (n-1) \\cdot 3\\]\n\\[n - 1 = 29\\]\n\\[\\boxed{n = 30}\\]\n\nWszystkich takich liczb jest **30**.\n\n## Sposób 2 - Dzielenie zakresów (bez ciągu)\n\nKażda \\(3\\)-ta liczba naturalna jest podzielna przez \\(3\\). Ile wielokrotności \\(3\\) mieści się w zbiorze \\(\\{10, 11, \\ldots, 99\\}\\)?\n\n**Wielokrotności \\(3\\) od \\(1\\) do \\(99\\):**\n\\[\\left\\lfloor \\frac{99}{3} \\right\\rfloor = 33\\]\nSą to: \\(3, 6, 9, \\ldots, 99\\) - łącznie \\(33\\) liczby.\n\n**Wielokrotności \\(3\\) od \\(1\\) do \\(9\\)** (jednocyfrowe):\n\\[\\left\\lfloor \\frac{9}{3} \\right\\rfloor = 3\\]\nSą to: \\(3, 6, 9\\) - łącznie \\(3\\) liczby.\n\n**Wielokrotności \\(3\\) dwucyfrowe:**\n\\[33 - 3 = \\boxed{30}\\]\n\nWynik potwierdzony: **30**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia liczby wyrazów ciągu \\(12, 15, \\ldots, 99\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(12\\) | Uczeń liczy tylko wielokrotności \\(3\\) w zakresie \\(10\\)-\\(39\\), czyli zatrzymuje się zbyt wcześnie |\n| B. \\(24\\) | Błędne wyznaczenie pierwszego wyrazu: uczeń zaczyna od \\(15\\) zamiast \\(12\\), albo liczy wielokrotności \\(3\\) od \\(12\\) do \\(81\\) - o jeden \"blok\" za mało |\n| C. \\(29\\) | Klasyczny błąd o \\(1\\): uczeń dostaje \\(n - 1 = 29\\) i zapomina dodać \\(1\\) na końcu (błąd \"płotu\" - \\(n\\) odcinków to \\(n+1\\) słupków!) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd o \\(1\\) - najczęstszy błąd w tym typie zadań! Jeśli ze wzoru wychodzi \\(n - 1 = 29\\), to \\(n = 30\\), nie \\(29\\). Sprawdź: pierwsza liczba (\\(12\\)) też jest jedną z szukanych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że liczby dwucyfrowe zaczynają się od \\(10\\), nie od \\(1\\). Nie licz wielokrotności \\(3\\) od początku, bo wliczysz jednocyfrowe \\(3, 6, 9\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki test poprawności: \\(12 = 3 \\cdot 4\\), \\(99 = 3 \\cdot 33\\). Liczba wielokrotności \\(3\\) od \\(3\\cdot4\\) do \\(3\\cdot33\\) to \\(33 - 4 + 1 = 30\\). ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez \\(3\\): najmniejsza \\(12\\), największa \\(99\\). Różnica \\(r=3\\).\nLiczba wyrazów:\n\\[n = \\dfrac{99-12}{3}+1 = \\dfrac{87}{3}+1 = 29+1 = 30.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez podzielenie\nWszystkich liczb od \\(10\\) do \\(99\\) jest \\(99 - 10 + 1 = 90\\). Dokładnie co trzecia jest podzielna przez \\(3\\): \\(\\tfrac{90}{3} = 30\\).\n\n### Sposób 3 - Liczenie ilorazu\nLiczba podzielna przez \\(3\\) to \\(3k\\). \\(10\\leq 3k\\leq 99\\Leftrightarrow \\tfrac{10}{3}\\leq k\\leq 33\\), czyli \\(k\\in\\{4,5,\\ldots,33\\}\\). Liczba takich \\(k\\): \\(33-4+1=30\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)** - to najmniejsza dwucyfrowa podzielna przez \\(3\\), a nie ich liczba.\n- **B. \\(24\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C. \\(29\\)** - pominięto, że liczymy włącznie obu końców (\\(99\\) też się liczy).\n\n**Pamiętaj:** w ciągu arytmetycznym od \\(a\\) do \\(b\\) z różnicą \\(r\\) jest \\(\\tfrac{b-a}{r}+1\\) wyrazów.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (1 pkt)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od
wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A.
°
30
B.
°
45
C.
°
60
D.
°
75

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający wyznacza związki
\n

miarowe w wielościanach z zastosowaniem
trygonometrii (9.b).
Wersja
I
Wersja
II
B
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(30\\)

\n

Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny (wzór na \\(n\\)-ty wyraz)

\n

Szukamy liczby dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \\(3\\).

\n

Krok 1: Wyznacz pierwszą i ostatnią taką liczbę.

\n

Liczby dwucyfrowe to liczby od \\(10\\) do \\(99\\).

\n\n

Krok 2: Rozpoznaj ciąg arytmetyczny.

\n

Liczby \\(12, 15, 18, 21, \\ldots, 99\\) tworzą ciąg arytmetyczny o:

\n\n

Krok 3: Oblicz liczbę wyrazów.

\n

Ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]
\\[99 = 12 + (n-1) \\cdot 3\\]
\\[87 = (n-1) \\cdot 3\\]
\\[n - 1 = 29\\]
\\[\\boxed{n = 30}\\]

\n

Wszystkich takich liczb jest 30.

\n

Sposób 2 - Dzielenie zakresów (bez ciągu)

\n

Każda \\(3\\)-ta liczba naturalna jest podzielna przez \\(3\\). Ile wielokrotności \\(3\\) mieści się w zbiorze \\(\\{10, 11, \\ldots, 99\\}\\)?

\n

Wielokrotności \\(3\\) od \\(1\\) do \\(99\\):
\\[\\left\\lfloor \\frac{99}{3} \\right\\rfloor = 33\\]
Są to: \\(3, 6, 9, \\ldots, 99\\) - łącznie \\(33\\) liczby.

\n

Wielokrotności \\(3\\) od \\(1\\) do \\(9\\) (jednocyfrowe):
\\[\\left\\lfloor \\frac{9}{3} \\right\\rfloor = 3\\]
Są to: \\(3, 6, 9\\) - łącznie \\(3\\) liczby.

\n

Wielokrotności \\(3\\) dwucyfrowe:
\\[33 - 3 = \\boxed{30}\\]

\n

Wynik potwierdzony: 30.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia liczby wyrazów ciągu \\(12, 15, \\ldots, 99\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A. \\(12\\) | Uczeń liczy tylko wielokrotności \\(3\\) w zakresie \\(10\\)-\\(39\\), czyli zatrzymuje się zbyt wcześnie |
| B. \\(24\\) | Błędne wyznaczenie pierwszego wyrazu: uczeń zaczyna od \\(15\\) zamiast \\(12\\), albo liczy wielokrotności \\(3\\) od \\(12\\) do \\(81\\) - o jeden "blok" za mało |
| C. \\(29\\) | Klasyczny błąd o \\(1\\): uczeń dostaje \\(n - 1 = 29\\) i zapomina dodać \\(1\\) na końcu (błąd "płotu" - \\(n\\) odcinków to \\(n+1\\) słupków!) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Błąd o \\(1\\) - najczęstszy błąd w tym typie zadań! Jeśli ze wzoru wychodzi \\(n - 1 = 29\\), to \\(n = 30\\), nie \\(29\\). Sprawdź: pierwsza liczba (\\(12\\)) też jest jedną z szukanych.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że liczby dwucyfrowe zaczynają się od \\(10\\), nie od \\(1\\). Nie licz wielokrotności \\(3\\) od początku, bo wliczysz jednocyfrowe \\(3, 6, 9\\).
\n
⚠️ Uwaga: Szybki test poprawności: \\(12 = 3 \\cdot 4\\), \\(99 = 3 \\cdot 33\\). Liczba wielokrotności \\(3\\) od \\(3\\cdot4\\) do \\(3\\cdot33\\) to \\(33 - 4 + 1 = 30\\). ✓
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny
\n

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \\(3\\): najmniejsza \\(12\\), największa \\(99\\). Różnica \\(r=3\\).
Liczba wyrazów:
\\[n = \\dfrac{99-12}{3}+1 = \\dfrac{87}{3}+1 = 29+1 = 30.\\]

\n
Sposób 2 - Przez podzielenie
\n

Wszystkich liczb od \\(10\\) do \\(99\\) jest \\(99 - 10 + 1 = 90\\). Dokładnie co trzecia jest podzielna przez \\(3\\): \\(\\tfrac{90}{3} = 30\\).

\n
Sposób 3 - Liczenie ilorazu
\n

Liczba podzielna przez \\(3\\) to \\(3k\\). \\(10\\leq 3k\\leq 99\\Leftrightarrow \\tfrac{10}{3}\\leq k\\leq 33\\), czyli \\(k\\in\\{4,5,\\ldots,33\\}\\). Liczba takich \\(k\\): \\(33-4+1=30\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: w ciągu arytmetycznym od \\(a\\) do \\(b\\) z różnicą \\(r\\) jest \\(\\tfrac{b-a}{r}+1\\) wyrazów.

"}]}