{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa 2\nx . Mediana\ntych liczb jest równa\nA. 26\nB. 27\nC. 28\nD. 29\nα\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią\nzadania.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\ndanych; interpretuje te parametry dla danych\nempirycznych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{24}\\)\n\n## Sposób 1 - Reguła mnożenia prawdopodobieństw (zdarzenia niezależne)\n\nDoświadczenie składa się z **trzech niezależnych rzutów**: moneta 1, moneta 2, kostka.\n\n**Krok 1 - prawdopodobieństwo orła na jednej monecie:**\n\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2 - prawdopodobieństwo orła na drugiej monecie:**\n\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3 - prawdopodobieństwo wypadnięcia 6 na kostce:**\n\\[P(6) = \\frac{1}{6}\\]\n\n**Krok 4 - zdarzenia są niezależne**, więc mnożymy:\n\\[P(\\text{dwa orły i szóstka}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{6} = \\boxed{\\frac{1}{24}}\\]\n\n## Sposób 2 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (zliczanie wyników)\n\n**Krok 1 - policz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia.**\n\nKażda moneta daje 2 wyniki, kostka daje 6 wyników:\n\\[|\\Omega| = 2 \\cdot 2 \\cdot 6 = 24\\]\n\n**Krok 2 - policz wyniki sprzyjające.**\n\nSzukamy: orzeł na monecie 1 **i** orzeł na monecie 2 **i** szóstka na kostce.\nTaki wynik jest dokładnie **jeden**: \\((\\text{O}, \\text{O}, 6)\\).\n\\[|A| = 1\\]\n\n**Krok 3 - oblicz prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{1}{24}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia prawdopodobieństwa jako stosunku liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich wyników.\n\n**Dział 14 (s. 29-30)** - niezależność zdarzeń (reguła mnożenia):\nDla zdarzeń niezależnych \\(A\\) i \\(B\\):\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]\nUżyte w Sposobie 1 - trzy rzuty są niezależne, więc mnożymy ich prawdopodobieństwa.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\(\\frac{1}{48}\\) | Uczeń zakłada, że każda moneta ma 4 możliwe wyniki zamiast 2, lub liczy przestrzeń zdarzeń jako \\(4 \\cdot 2 \\cdot 6 = 48\\) - błędne podwojenie |\n| C \\(\\frac{1}{12}\\) | Uczeń liczy tylko **jedną** monetę zamiast dwóch: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{12}\\) - zapomina o drugiej monecie |\n| D \\(\\frac{1}{3}\\) | Uczeń dodaje prawdopodobieństwa zamiast mnożyć: \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{6} \\approx \\frac{1}{3} \\cdot 2\\) - błędne użycie reguły sumy zamiast iloczynu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla zdarzeń **niezależnych** mnożymy prawdopodobieństwa - nie dodajemy. Reguła sumy działa tylko dla zdarzeń wzajemnie wykluczających się.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie monety to **dwa osobne rzuty** - każdy z prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{2}\\). Nie myśl o tym jako \"jedno zdarzenie rzutu dwiema monetami\" z jednym wspólnym prawdopodobieństwem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy przestrzeń zdarzeń jest dobrze policzona. Tu \\(|\\Omega| = 2 \\cdot 2 \\cdot 6 = 24\\), a nie np. \\(2 + 2 + 6 = 10\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zdarzenia niezależne (karta wzorów)\nTrzy niezależne zdarzenia: orzeł na 1. monecie, orzeł na 2. monecie, 6 oczek na kostce.\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{1}{24}.\\]\n\n### Sposób 2 - Model klasyczny\nLiczba wszystkich zdarzeń: \\(2\\cdot 2\\cdot 6 = 24\\). Zdarzenie sprzyjające: \\((O, O, 6)\\) - dokładnie \\(1\\) kombinacja.\n\\[P = \\dfrac{1}{24}.\\]\n\n### Sposób 3 - Drzewo zdarzeń\nZ dwóch monet prawdopodobieństwo \\(OO\\) to \\(\\tfrac{1}{4}\\). Prawdopodobieństwo 6 na kostce: \\(\\tfrac{1}{6}\\). Razem: \\(\\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{6}=\\tfrac{1}{24}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{48}\\)** - ktoś pomnożył \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{6}\\) (4 rzuty).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{12}\\)** - wzięto jedną monetę (\\(\\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{6}\\)).\n- **D. \\(\\tfrac{1}{3}\\)** - brak sensu; prawdopodobnie dodano ułamki zamiast pomnożyć.\n\n**Pamiętaj:** dla zdarzeń niezależnych \\(P(A\\cap B) = P(A)\\cdot P(B)\\). Tutaj trzy niezależne rzuty.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa 2
x . Mediana
tych liczb jest równa
A. 26
B. 27
C. 28
D. 29
α

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią
zadania.

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią
ważoną, medianę i odchylenie standardowe
danych; interpretuje te parametry dla danych
empirycznych (10.a).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{24}\\)

\n

Sposób 1 - Reguła mnożenia prawdopodobieństw (zdarzenia niezależne)

\n

Doświadczenie składa się z trzech niezależnych rzutów: moneta 1, moneta 2, kostka.

\n

Krok 1 - prawdopodobieństwo orła na jednej monecie:
\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 2 - prawdopodobieństwo orła na drugiej monecie:
\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 3 - prawdopodobieństwo wypadnięcia 6 na kostce:
\\[P(6) = \\frac{1}{6}\\]

\n

Krok 4 - zdarzenia są niezależne, więc mnożymy:
\\[P(\\text{dwa orły i szóstka}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{6} = \\boxed{\\frac{1}{24}}\\]

\n

Sposób 2 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (zliczanie wyników)

\n

Krok 1 - policz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia.

\n

Każda moneta daje 2 wyniki, kostka daje 6 wyników:
\\[|\\Omega| = 2 \\cdot 2 \\cdot 6 = 24\\]

\n

Krok 2 - policz wyniki sprzyjające.

\n

Szukamy: orzeł na monecie 1 i orzeł na monecie 2 i szóstka na kostce.
Taki wynik jest dokładnie jeden: \\((\\text{O}, \\text{O}, 6)\\).
\\[|A| = 1\\]

\n

Krok 3 - oblicz prawdopodobieństwo:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{1}{24}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyte w Sposobie 2 do obliczenia prawdopodobieństwa jako stosunku liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich wyników.

\n

Dział 14 (s. 29-30) - niezależność zdarzeń (reguła mnożenia):
Dla zdarzeń niezależnych \\(A\\) i \\(B\\):
\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]
Użyte w Sposobie 1 - trzy rzuty są niezależne, więc mnożymy ich prawdopodobieństwa.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A \\(\\frac{1}{48}\\) | Uczeń zakłada, że każda moneta ma 4 możliwe wyniki zamiast 2, lub liczy przestrzeń zdarzeń jako \\(4 \\cdot 2 \\cdot 6 = 48\\) - błędne podwojenie |
| C \\(\\frac{1}{12}\\) | Uczeń liczy tylko jedną monetę zamiast dwóch: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{12}\\) - zapomina o drugiej monecie |
| D \\(\\frac{1}{3}\\) | Uczeń dodaje prawdopodobieństwa zamiast mnożyć: \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{6} \\approx \\frac{1}{3} \\cdot 2\\) - błędne użycie reguły sumy zamiast iloczynu |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dla zdarzeń niezależnych mnożymy prawdopodobieństwa - nie dodajemy. Reguła sumy działa tylko dla zdarzeń wzajemnie wykluczających się.
\n
⚠️ Uwaga: Dwie monety to dwa osobne rzuty - każdy z prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{2}\\). Nie myśl o tym jako "jedno zdarzenie rzutu dwiema monetami" z jednym wspólnym prawdopodobieństwem.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, czy przestrzeń zdarzeń jest dobrze policzona. Tu \\(|\\Omega| = 2 \\cdot 2 \\cdot 6 = 24\\), a nie np. \\(2 + 2 + 6 = 10\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Zdarzenia niezależne (karta wzorów)
\n

Trzy niezależne zdarzenia: orzeł na 1. monecie, orzeł na 2. monecie, 6 oczek na kostce.
\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{1}{24}.\\]

\n
Sposób 2 - Model klasyczny
\n

Liczba wszystkich zdarzeń: \\(2\\cdot 2\\cdot 6 = 24\\). Zdarzenie sprzyjające: \\((O, O, 6)\\) - dokładnie \\(1\\) kombinacja.
\\[P = \\dfrac{1}{24}.\\]

\n
Sposób 3 - Drzewo zdarzeń
\n

Z dwóch monet prawdopodobieństwo \\(OO\\) to \\(\\tfrac{1}{4}\\). Prawdopodobieństwo 6 na kostce: \\(\\tfrac{1}{6}\\). Razem: \\(\\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{6}=\\tfrac{1}{24}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: dla zdarzeń niezależnych \\(P(A\\cap B) = P(A)\\cdot P(B)\\). Tutaj trzy niezależne rzuty.

"}]}