{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n5\n3\n0\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy\nprzedziałów (3.a).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania:\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n2\n5\n3\nx\nx\n• Obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n(\n)\n25\n4\n3\n2\n49\nΔ =\n-⋅-\n⋅\ni stąd\n1\n5\n7\n3\n4\nx\n= - oraz\n2\n5\n7\n1\n4\n2\nx\n,\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n⋅\noraz\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n, stąd\n1\n3\nx = - oraz\n2\n1\n2\nx =\n,\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub zaznaczając je na\nwykresie\n1\n3\nx = -,\n2\n1\n2\nx =\nDrugi etap rozwiązania:\nSzkicujemy parabolę, której ramiona skierowane są ku górze i zaznaczamy na osi Ox miejsca\nzerowe trójmianu.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n1\n, 3\n,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n∞\n\n\n\n\nlub\n(\n)\n1\n, 3\n,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n∞\n\n\n\n\n,\nlub (\n3\nx < - lub\n1\n2\nx >\n).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n2\n5\n3\nx\nx\n-:\n1\n3\nx = -,\n2\n1\n2\nx =\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności\nalbo\n• popełni błędy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie\ndo popełnionych błędów rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: (\n) (\n)\n1\n2\n,\n3\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞ lub\n(\n) (\n)\n1\n2\n,\n3\n,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\nlub (\n3\nx < - lub\n1\n2\nx >\n).\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, parabola) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n3\nx < -,\n1\n2\nx >\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nUwaga:\nJeśli pierwiastki trójmianu są wyznaczone przy zastosowaniu błędnej metody, to za całe\nrozwiązanie zdający otrzymuje 0 punktów.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nAkceptujemy zapis przedziałów nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej lub\nbłędów\nw\nprzepisaniu,\nnp.:\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n,\n3,\n-∞\n∪-\n+ ∞\nlub\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n,\n3,\n-∞\n∪\n+ ∞,\nlub\n(\n) (\n)\n1\n2\n, 3\n,\n-∞\n∪\n+ ∞.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -4, \\, \\text{nie}\\rangle\\)\n\nPoczekaj - to zadanie otwarte, wyznaczam zbiór rozwiązań.\n\n**Wynik:** \\(x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\n**Krok 1: Rozwiń prawą stronę.**\n\n\\[(x-2)(x-8) = x^2 - 10x + 16\\]\n\n**Krok 2: Przenieś wszystko na lewą stronę** (odejmij obie strony od lewej).\n\n\\[3x^2 - 6x \\geq x^2 - 10x + 16\\]\n\\[3x^2 - 6x - x^2 + 10x - 16 \\geq 0\\]\n\\[2x^2 + 4x - 16 \\geq 0\\]\n\n**Krok 3: Uprość - podziel obustronnie przez \\(2 > 0\\)** (znak nierówności się nie zmienia!).\n\n\\[x^2 + 2x - 8 \\geq 0\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.**\n\n\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]\n\\[x_1 = \\frac{-2 - \\sqrt{36}}{2} = \\frac{-2 - 6}{2} = -4\\]\n\\[x_2 = \\frac{-2 + \\sqrt{36}}{2} = \\frac{-2 + 6}{2} = 2\\]\n\n**Krok 5: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nTrójmian \\(x^2 + 2x - 8\\) ma **ramiona skierowane ku górze** (\\(a = 1 > 0\\)), więc jest **nieujemny poza miejscami zerowymi i w nich**:\n\n\\[x^2 + 2x - 8 \\geq 0 \\iff x \\leq -4 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 2\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja bezpośrednia\n\nPo uproszczeniu do \\(x^2 + 2x - 8 \\geq 0\\), zamiast liczyć deltę, możemy **rozłożyć na czynniki \"z głowy\"**:\n\nSzukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(-8\\), a suma to \\(2\\). To \\(4\\) i \\(-2\\):\n\n\\[x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\((x+4)(x-2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8\\) ✓\n\nNierówność \\((x+4)(x-2) \\geq 0\\) jest spełniona, gdy **obydwa czynniki mają ten sam znak** (lub jeden jest zerem):\n\n| Przedział | \\(x+4\\) | \\(x-2\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -4\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = -4\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-4 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 2\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:** \\(x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\) - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -4\\), \\(x_2 = 2\\) trójmianu \\(x^2 + 2x - 8\\).\n\nKluczowa zasada (dział 7): gdy \\(a > 0\\), trójmian kwadratowy jest **nieujemny** dla \\(x \\leq x_1\\) lub \\(x \\geq x_2\\), a **ujemny** między pierwiastkami.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów na lewą stronę łatwo pomylić znaki. Sprawdź każdy wyraz osobno: \\(-(-10x) = +10x\\), \\(-(+16) = -16\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzią jest **suma dwóch przedziałów** - wielu uczniów zapisuje tylko jeden z nich lub błędnie zapisuje przedział środkowy \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) (to byłoby rozwiązanie nierówności **odwrotnej** \\(\\leq 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziałów **wliczamy** do rozwiązania (nierówność niestroga \\(\\geq\\)), więc używamy nawiasów domkniętych \\(\\langle\\rangle\\), nie ostrych \\(()\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x\\in(-\\infty,-4\\rangle \\cup \\langle 2,+\\infty)\\)\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie do postaci \\(ax^{2}+bx+c\\geq 0\\) (karta wzorów)\nRozwijamy prawą stronę:\n\\[(x-2)(x-8) = x^{2} - 10x + 16.\\]\nPrzenosimy wszystko na lewo:\n\\[3x^{2} - 6x - x^{2} + 10x - 16 \\geq 0 \\Rightarrow 2x^{2} + 4x - 16 \\geq 0.\\]\nDzielimy przez \\(2\\):\n\\[x^{2} + 2x - 8 \\geq 0.\\]\nObliczamy wyróżnik: \\(\\Delta = 4 + 32 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=6\\). Pierwiastki:\n\\[x_{1} = \\dfrac{-2-6}{2} = -4, \\quad x_{2} = \\dfrac{-2+6}{2} = 2.\\]\nWspółczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni, więc parabola otwarta w górę. Nierówność \\(\\geq 0\\) spełniona na zewnątrz pierwiastków:\n\\[x\\leq -4 \\text{ lub } x\\geq 2, \\text{ czyli } x\\in(-\\infty,-4\\rangle \\cup \\langle 2,+\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nZ równania \\(x^{2}+2x-8=0\\): \\(x_{1}+x_{2}=-2\\), \\(x_{1}\\cdot x_{2}=-8\\). Szukamy dwóch liczb: \\(2\\) i \\(-4\\). ✓\n\n### Sposób 3 - Rozkład na iloczyn\n\\(x^{2}+2x-8 = (x+4)(x-2)\\). Nierówność \\((x+4)(x-2)\\geq 0\\) - oba czynniki mają ten sam znak lub są zerami.\n- Obie dodatnie: \\(x\\geq 2\\).\n- Obie ujemne: \\(x\\leq -4\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: obliczenie pierwiastków trójmianu.\n- 2 p.: poprawny zbiór \\((-\\infty,-4\\rangle\\cup\\langle 2,+\\infty)\\).\n- Dzielenie stronami przez \\((x-2)\\) bez rozważenia znaku: **0 pkt.**\n\n**Trik:** po przeniesieniu wszystko na jedną stronę i uproszczeniu przez wspólny czynnik, nierówność kwadratowa z dodatnim współczynnikiem wiodącym jest spełniona **na zewnątrz** pierwiastków.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
2
5
3
0
x
x

\n
\n

Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy
przedziałów (3.a).
Przykładowe rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap rozwiązania:
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
2
2
5
3
x
x
• Obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
(
)
25
4
3
2
49
Δ =
-⋅-
⋅
i stąd
1
5
7
3
4
x
= - oraz
2
5
7
1
4
2
x
,
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
1
2
3
2
x
x
⋅
oraz
1
2
5
2
x
x
, stąd
1
3
x = - oraz
2
1
2
x =
,
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub zaznaczając je na
wykresie
1
3
x = -,
2
1
2
x =
Drugi etap rozwiązania:
Szkicujemy parabolę, której ramiona skierowane są ku górze i zaznaczamy na osi Ox miejsca
zerowe trójmianu.
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (
)
1
, 3
,
2


-∞-
∪
∞




lub
(
)
1
, 3
,
2
x


∈-∞-
∪
∞




,
lub (
3
x < - lub
1
2
x >
).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
2
2
5
3
x
x
-:
1
3
x = -,
2
1
2
x =
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań
nierówności
albo
• popełni błędy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie
do popełnionych błędów rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności: (
) (
)
1
2
,
3
,
-∞-
∪

\n\n

(
) (
)
1
2
,
3
,
x∈-∞-
∪

\n\n

lub (
3
x < - lub
1
2
x >
).
albo
• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, parabola) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
3
x < -,
1
2
x >
,
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów.
Uwaga:
Jeśli pierwiastki trójmianu są wyznaczone przy zastosowaniu błędnej metody, to za całe
rozwiązanie zdający otrzymuje 0 punktów.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Akceptujemy zapis przedziałów nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej lub
błędów
w
przepisaniu,
np.:
(
)
(
)
1
2
,
3,
-∞
∪-

\n\n

lub
(
)
(
)
1
2
,
3,
-∞
∪

\n\n

lub
(
) (
)
1
2
, 3
,
-∞
∪

\n","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -4, \\, \\text{nie}\\rangle\\)

\n

Poczekaj - to zadanie otwarte, wyznaczam zbiór rozwiązań.

\n

Wynik: \\(x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\)

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego

\n

Krok 1: Rozwiń prawą stronę.

\n

\\[(x-2)(x-8) = x^2 - 10x + 16\\]

\n

Krok 2: Przenieś wszystko na lewą stronę (odejmij obie strony od lewej).

\n

\\[3x^2 - 6x \\geq x^2 - 10x + 16\\]
\\[3x^2 - 6x - x^2 + 10x - 16 \\geq 0\\]
\\[2x^2 + 4x - 16 \\geq 0\\]

\n

Krok 3: Uprość - podziel obustronnie przez \\(2 > 0\\) (znak nierówności się nie zmienia!).

\n

\\[x^2 + 2x - 8 \\geq 0\\]

\n

Krok 4: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.

\n

\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]
\\[x_1 = \\frac{-2 - \\sqrt{36}}{2} = \\frac{-2 - 6}{2} = -4\\]
\\[x_2 = \\frac{-2 + \\sqrt{36}}{2} = \\frac{-2 + 6}{2} = 2\\]

\n

Krok 5: Odczytaj rozwiązanie nierówności.

\n

Trójmian \\(x^2 + 2x - 8\\) ma ramiona skierowane ku górze (\\(a = 1 > 0\\)), więc jest nieujemny poza miejscami zerowymi i w nich:

\n

\\[x^2 + 2x - 8 \\geq 0 \\iff x \\leq -4 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 2\\]

\n

Odpowiedź:
\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)}\\]

\n

Sposób 2 - Faktoryzacja bezpośrednia

\n

Po uproszczeniu do \\(x^2 + 2x - 8 \\geq 0\\), zamiast liczyć deltę, możemy rozłożyć na czynniki "z głowy":

\n

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(-8\\), a suma to \\(2\\). To \\(4\\) i \\(-2\\):

\n

\\[x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)\\]

\n

Sprawdzenie: \\((x+4)(x-2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8\\) ✓

\n

Nierówność \\((x+4)(x-2) \\geq 0\\) jest spełniona, gdy obydwa czynniki mają ten sam znak (lub jeden jest zerem):

\n

| Przedział | \\(x+4\\) | \\(x-2\\) | Iloczyn |
| \\(x < -4\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x = -4\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(-4 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x = 2\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Wynik: \\(x \\in (-\\infty, -4\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\) - zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -4\\), \\(x_2 = 2\\) trójmianu \\(x^2 + 2x - 8\\).

\n

Kluczowa zasada (dział 7): gdy \\(a > 0\\), trójmian kwadratowy jest nieujemny dla \\(x \\leq x_1\\) lub \\(x \\geq x_2\\), a ujemny między pierwiastkami.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu wyrazów na lewą stronę łatwo pomylić znaki. Sprawdź każdy wyraz osobno: \\(-(-10x) = +10x\\), \\(-(+16) = -16\\).
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedzią jest suma dwóch przedziałów - wielu uczniów zapisuje tylko jeden z nich lub błędnie zapisuje przedział środkowy \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) (to byłoby rozwiązanie nierówności odwrotnej \\(\\leq 0\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Końce przedziałów wliczamy do rozwiązania (nierówność niestroga \\(\\geq\\)), więc używamy nawiasów domkniętych \\(\\langle\\rangle\\), nie ostrych \\(()\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x\\in(-\\infty,-4\\rangle \\cup \\langle 2,+\\infty)\\)

\n
Sposób 1 - Przekształcenie do postaci \\(ax^{2}+bx+c\\geq 0\\) (karta wzorów)
\n

Rozwijamy prawą stronę:
\\[(x-2)(x-8) = x^{2} - 10x + 16.\\]
Przenosimy wszystko na lewo:
\\[3x^{2} - 6x - x^{2} + 10x - 16 \\geq 0 \\Rightarrow 2x^{2} + 4x - 16 \\geq 0.\\]
Dzielimy przez \\(2\\):
\\[x^{2} + 2x - 8 \\geq 0.\\]
Obliczamy wyróżnik: \\(\\Delta = 4 + 32 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=6\\). Pierwiastki:
\\[x_{1} = \\dfrac{-2-6}{2} = -4, \\quad x_{2} = \\dfrac{-2+6}{2} = 2.\\]
Współczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni, więc parabola otwarta w górę. Nierówność \\(\\geq 0\\) spełniona na zewnątrz pierwiastków:
\\[x\\leq -4 \\text{ lub } x\\geq 2, \\text{ czyli } x\\in(-\\infty,-4\\rangle \\cup \\langle 2,+\\infty).\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Z równania \\(x^{2}+2x-8=0\\): \\(x_{1}+x_{2}=-2\\), \\(x_{1}\\cdot x_{2}=-8\\). Szukamy dwóch liczb: \\(2\\) i \\(-4\\). ✓

\n
Sposób 3 - Rozkład na iloczyn
\n

\\(x^{2}+2x-8 = (x+4)(x-2)\\). Nierówność \\((x+4)(x-2)\\geq 0\\) - oba czynniki mają ten sam znak lub są zerami.

\n\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: po przeniesieniu wszystko na jedną stronę i uproszczeniu przez wspólny czynnik, nierówność kwadratowa z dodatnim współczynnikiem wiodącym jest spełniona na zewnątrz pierwiastków.

"}]}