Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
3
2
6
0
x
x
x
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 27. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
wielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania
wyrazów
(
)
(
)
2
3
2
3
0
x
x
x
lub
(
)
(
)
2
2
2
3
2
0
x x
x
, stąd (
)(
)
2
3
2
0
x
x
Ponieważ wyrażenie
2
2
x +
jest dodatnie, więc
3
x = -.
II sposób
Stwierdzamy, że liczba
3
3
2
3
2
6
x
x
x
. Dzielimy ten
wielomian przez dwumian (
)
3
x +
i otrzymujemy iloraz (
)
2
2
x +
. Mamy więc równanie
postaci (
)(
)
2
3
2
0
x
x
, a stąd otrzymujemy
3
x = -.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
• gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynowej, np.: (
)(
)
2
3
2
0
x
x
albo
• gdy podzieli wielomian
3
2
3
2
6
x
x
x
przez dwumian (
)
3
x +
, otrzyma iloraz
(
)
2
2
x +
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy rozwiązanie równania:
3
x = -.
a
c
b
α
Oznaczamy szukaną licznik i mianownik.
\nNiech szukany ułamek to \\(\\dfrac{p}{q}\\), gdzie \\(\\gcd(p, q) = 1\\) (ułamek nieskracalny).
\nWarunek 1: Do licznika dodajemy \\(32\\), mianownik bez zmian → wynik to \\(2\\):
\n\\[\\frac{p + 32}{q} = 2\\]
\nWarunek 2: Od licznika i mianownika odejmujemy \\(6\\) → wynik to \\(\\dfrac{8}{17}\\):
\n\\[\\frac{p - 6}{q - 6} = \\frac{8}{17}\\]
\nZ warunku 1 wyznaczamy \\(p\\):
\n\\[p + 32 = 2q \\implies p = 2q - 32\\]
\nPodstawiamy do warunku 2:
\n\\[\\frac{(2q - 32) - 6}{q - 6} = \\frac{8}{17}\\]
\n\\[\\frac{2q - 38}{q - 6} = \\frac{8}{17}\\]
\nMnożymy na krzyż:
\n\\[17(2q - 38) = 8(q - 6)\\]
\n\\[34q - 646 = 8q - 48\\]
\n\\[26q = 598\\]
\n\\[\\boxed{q = 23}\\]
\nWyznaczamy \\(p\\):
\n\\[p = 2 \\cdot 23 - 32 = 46 - 32 = \\boxed{14}\\]
\nSzukany ułamek to \\(\\dfrac{14}{23}\\).
\nSprawdzamy oba warunki dla \\(\\dfrac{14}{23}\\):
\nWarunek 1:
\\[\\frac{14 + 32}{23} = \\frac{46}{23} = 2 \\checkmark\\]
Warunek 2:
\\[\\frac{14 - 6}{23 - 6} = \\frac{8}{17} \\checkmark\\]
Sprawdzamy nieskracalność:
\n\\(23\\) jest liczbą pierwszą. \\(14 = 2 \\times 7\\), więc \\(\\gcd(14, 23) = 1\\). Ułamek jest nieskracalny. \\(\\checkmark\\)
\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność tworzenia i rozwiązywania układu dwóch równań liniowych oraz mnożenia proporcji "na krzyż".
\n⚠️ Uwaga: Warunek „dodajemy 32 do licznika, mianownik niezmieniony → wynik równy 2" oznacza, że cały nowy ułamek wynosi 2, nie że sam licznik wzrasta do 2. Łatwo tu o błędne równanie.\n
⚠️ Uwaga: Przy warunku drugim odejmujemy 6 od obu - zarówno licznika, jak i mianownika. Błędem jest odjęcie tylko od jednego.\n
⚠️ Uwaga: Zadanie wymaga sprawdzenia nieskracalności wyniku! Gdybyśmy dostali ułamek skracalny, to albo popełniliśmy błąd w obliczeniach, albo zadanie byłoby sprzeczne z założeniem.\n
Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{14}{23}\\)
\nNiech \\(\\tfrac{x}{y}\\) oznacza szukany ułamek nieskracalny. Z treści:
\\[\\dfrac{x+32}{y} = 2 \\quad\\text{oraz}\\quad \\dfrac{x-6}{y-6} = \\dfrac{8}{17}.\\]
Z pierwszego: \\(x + 32 = 2y\\), czyli \\(x = 2y - 32\\).
Z drugiego: \\(17(x-6) = 8(y-6)\\), czyli \\(17x - 102 = 8y - 48\\), stąd \\(17x - 8y = 54\\).
Podstawiamy \\(x = 2y - 32\\):
\\[17(2y-32) - 8y = 54,\\]
\\[34y - 544 - 8y = 54,\\]
\\[26y = 598,\\]
\\[y = 23.\\]
Wtedy \\(x = 2\\cdot 23 - 32 = 14\\). Szukany ułamek: \\(\\dfrac{14}{23}\\). Sprawdzenie: \\(\\gcd(14,23)=1\\) - nieskracalny ✓.
Dodając \\(6\\) do licznika i mianownika \\(\\tfrac{8}{17}\\) otrzymujemy \\(\\tfrac{14}{23}\\). Sprawdzamy: \\(\\tfrac{14+32}{23} = \\tfrac{46}{23} = 2\\) ✓.
\nDla \\(\\tfrac{14}{23}\\):
\nTrik: zamiast rozwiązywać pełny układ, można wyjść od \\(\\tfrac{8}{17}\\), dodać 6 do obu (\\(\\tfrac{14}{23}\\)) i sprawdzić warunek pierwszy.
"}]}