{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i (\n)\n2\n3\nsin\ncos\n2\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Trygonometria. Zdający stosuje proste związki między\nfunkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (6.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy wyrażenie (\n)\n2\nsin\ncos\nα\nα\n, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat\nsumy i otrzymujemy\n2\n2\nsin\n2sin\ncos\ncos\nα\nα\nα\nα\nKorzystając z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= , otrzymujemy\n3\n1\n2sin\ncos\n2\nα\nα\n, a stąd\n1\n2sin\ncos\n2\nα\nα =\n, a zatem\n1\nsin\ncos\n4\nα\nα =\nII sposób\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz\nzaznaczamy kąt ostry α taki, że sin\na\nc\nα =\nlub cos\nb\nc\nα =\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:\n2\n2\n2\nc\na\nb\nPonieważ\n(\n)\n2\n3\nsin\ncos\n2\nα\nα\n,\nwięc\n2\n3\n2\na\nb\nc\nc\n\n\n\n\n\n\n,\nczyli\n2\n2\n2\n2\n3\n2\na\nab\nb\nc\nStąd\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n2\nc\nab\nab\nc\nc\n, zatem\n2\n1\n4\nab\nc\nPonieważ sin\na\nc\nα =\ni cos\nb\nc\nα =\n, to\n2\n1\n4\nab\nc\n. Zatem\n1\nsin\ncos\n4\nα\nα =\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\n• gdy przekształci wyrażenie (\n)\n2\nsin\ncos\nα\nα\ndo postaci\n2\n2\nsin\n2sin\ncos\ncos\nα\nα\nα\nα\nalbo\n• gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym\ntrójkącie kąt α i zapisze sin\na\nc\nα =\n, cos\nb\nc\nα =\noraz\n2\n2\n2\n2\n3\n2\na\nab\nb\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy, że\n1\nsin\ncos\n4\nα\nα =\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie wyznaczy funkcje trygonometryczne do kąta wskazanego\nna rysunku i z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nNależy wykazać, że przy założeniu \\(abc = 1\\) zachodzi równość:\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = ab + ac + bc\\]\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie lewej strony do wspólnego mianownika\n\n**Od czego zaczynamy:** Kluczowa obserwacja - \\(a^{-1} = \\frac{1}{a}\\), więc lewa strona to suma ułamków. Sprowadzamy je do wspólnego mianownika \\(abc\\).\n\n**Krok 1.** Zapisujemy lewą stronę bez potęg ujemnych:\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}\\]\n\n**Krok 2.** Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(abc\\):\n\\[\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c} = \\frac{bc}{abc} + \\frac{ac}{abc} + \\frac{ab}{abc} = \\frac{ab + ac + bc}{abc}\\]\n\n**Krok 3.** Korzystamy z założenia \\(abc = 1\\):\n\\[\\frac{ab + ac + bc}{abc} = \\frac{ab + ac + bc}{1} = ab + ac + bc\\]\n\n**Zatem:**\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = ab + ac + bc \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(c = \\frac{1}{ab}\\)\n\nPonieważ \\(abc = 1\\) i \\(a, b, c \\neq 0\\), możemy wyrazić \\(c\\) przez \\(a\\) i \\(b\\):\n\\[c = \\frac{1}{ab}\\]\n\n**Obliczamy lewą stronę:**\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{\\frac{1}{ab}} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + ab\\]\n\n**Obliczamy prawą stronę:**\n\\[ab + ac + bc = ab + a \\cdot \\frac{1}{ab} + b \\cdot \\frac{1}{ab} = ab + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a}\\]\n\nObie strony są równe:\n\\[\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + ab = ab + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a} \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - definicja potęgi o wykładniku ujemnym:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy tego w obu sposobach, zamieniając \\(a^{-1} = \\frac{1}{a}\\), \\(b^{-1} = \\frac{1}{b}\\), \\(c^{-1} = \\frac{1}{c}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(abc = 1\\) gwarantuje, że \\(a, b, c \\neq 0\\) - gdyby któraś z liczb była zerem, iloczyn byłby zerem. Nie trzeba tego sprawdzać osobno, ale warto o tym wspomnieć w dowodzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd - zakładanie z góry, że równość zachodzi, i „działanie na obu stronach\" jednocześnie. Poprawny dowód startuje **z jednej strony** i przekształca ją do postaci drugiej (lub - jak w Sposobie 2 - oblicza obie strony niezależnie i porównuje).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(a^{-1}\\) z \\((-a)\\) - to nie minus \\(a\\), tylko **odwrotność** liczby \\(a\\), czyli \\(\\frac{1}{a}\\). Ta pomyłka uniemożliwia prawidłowe przekształcenie.\n\n**Zadanie typu \"wykaż\" - dowód**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika\nLewa strona:\n\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\dfrac{1}{a} + \\dfrac{1}{b} + \\dfrac{1}{c} = \\dfrac{bc + ac + ab}{abc}.\\]\nZ warunku \\(abc = 1\\):\n\\[\\dfrac{ab + ac + bc}{abc} = \\dfrac{ab + ac + bc}{1} = ab + ac + bc.\\]\nCo należało wykazać.\n\n### Sposób 2 - Z \\(abc = 1\\) wyznaczamy iloczyny dwóch\n\\[bc = \\dfrac{1}{a}, \\quad ac = \\dfrac{1}{b}, \\quad ab = \\dfrac{1}{c}.\\]\nZatem:\n\\[ab + ac + bc = \\dfrac{1}{c} + \\dfrac{1}{b} + \\dfrac{1}{a} = a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}.\\]\nCo należało wykazać.\n\n### Sposób 3 - Pomnożenie obu stron przez \\(abc\\)\nRówność \\(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}+\\tfrac{1}{c} = ab+ac+bc\\) mnożymy obustronnie przez \\(abc\\):\nLewa strona: \\(bc+ac+ab\\). Prawa: \\(abc(ab+ac+bc) = ab+ac+bc\\) (bo \\(abc=1\\)). Obie strony równe.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: zapisanie lewej strony w postaci \\(\\tfrac{bc+ac+ab}{abc}\\) lub wyznaczenie \\(bc=\\tfrac{1}{a}\\) itp.\n- 2 p.: pełne uzasadnienie.\n- Sprawdzenie na przykładzie (np. \\(a=b=c=1\\)): **0 pkt** - to nie jest dowód ogólny.\n\n**Trik:** w zadaniach \"wykaż\" często warto sprowadzić do wspólnego mianownika - struktura iloczynu \\(abc\\) wprost wchodzi w odpowiedź.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Kąt α jest ostry i (
)
2
3
sin
cos
2
α
α
. Oblicz wartość wyrażenia sin
cos
α
α
⋅
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji

\n
  1. Trygonometria. Zdający stosuje proste związki między
\n

funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (6.c).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przekształcamy wyrażenie (
)
2
sin
cos
α
α
, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat
sumy i otrzymujemy
2
2
sin
2sin
cos
cos
α
α
α
α
Korzystając z tożsamości
2
2
sin
cos
1
α
α
= , otrzymujemy
3
1
2sin
cos
2
α
α
, a stąd
1
2sin
cos
2
α
α =
, a zatem
1
sin
cos
4
α
α =
II sposób
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz
zaznaczamy kąt ostry α taki, że sin
a
c
α =
lub cos
b
c
α =
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:
2
2
2
c
a
b
Ponieważ
(
)
2
3
sin
cos
2
α
α
,
więc
2
3
2
a
b
c
c






,
czyli
2
2
2
2
3
2
a
ab
b
c
Stąd
2
2
2
2
2
3
1
2
c
ab
ab
c
c
, zatem
2
1
4
ab
c
Ponieważ sin
a
c
α =
i cos
b
c
α =
, to
2
1
4
ab
c
. Zatem
1
sin
cos
4
α
α =
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
• gdy przekształci wyrażenie (
)
2
sin
cos
α
α
do postaci
2
2
sin
2sin
cos
cos
α
α
α
α
albo
• gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym
trójkącie kąt α i zapisze sin
a
c
α =
, cos
b
c
α =
oraz
2
2
2
2
3
2
a
ab
b
c
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy, że
1
sin
cos
4
α
α =
Uwaga:
Jeżeli zdający błędnie wyznaczy funkcje trygonometryczne do kąta wskazanego
na rysunku i z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)

\n

Należy wykazać, że przy założeniu \\(abc = 1\\) zachodzi równość:
\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = ab + ac + bc\\]

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie lewej strony do wspólnego mianownika

\n

Od czego zaczynamy: Kluczowa obserwacja - \\(a^{-1} = \\frac{1}{a}\\), więc lewa strona to suma ułamków. Sprowadzamy je do wspólnego mianownika \\(abc\\).

\n

Krok 1. Zapisujemy lewą stronę bez potęg ujemnych:
\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}\\]

\n

Krok 2. Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(abc\\):
\\[\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c} = \\frac{bc}{abc} + \\frac{ac}{abc} + \\frac{ab}{abc} = \\frac{ab + ac + bc}{abc}\\]

\n

Krok 3. Korzystamy z założenia \\(abc = 1\\):
\\[\\frac{ab + ac + bc}{abc} = \\frac{ab + ac + bc}{1} = ab + ac + bc\\]

\n

Zatem:
\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = ab + ac + bc \\qquad \\blacksquare\\]

\n

Sposób 2 - Podstawienie \\(c = \\frac{1}{ab}\\)

\n

Ponieważ \\(abc = 1\\) i \\(a, b, c \\neq 0\\), możemy wyrazić \\(c\\) przez \\(a\\) i \\(b\\):
\\[c = \\frac{1}{ab}\\]

\n

Obliczamy lewą stronę:
\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{\\frac{1}{ab}} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + ab\\]

\n

Obliczamy prawą stronę:
\\[ab + ac + bc = ab + a \\cdot \\frac{1}{ab} + b \\cdot \\frac{1}{ab} = ab + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a}\\]

\n

Obie strony są równe:
\\[\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + ab = ab + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a} \\qquad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - definicja potęgi o wykładniku ujemnym:
\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]
Użyliśmy tego w obu sposobach, zamieniając \\(a^{-1} = \\frac{1}{a}\\), \\(b^{-1} = \\frac{1}{b}\\), \\(c^{-1} = \\frac{1}{c}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(abc = 1\\) gwarantuje, że \\(a, b, c \\neq 0\\) - gdyby któraś z liczb była zerem, iloczyn byłby zerem. Nie trzeba tego sprawdzać osobno, ale warto o tym wspomnieć w dowodzie.
\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd - zakładanie z góry, że równość zachodzi, i „działanie na obu stronach" jednocześnie. Poprawny dowód startuje z jednej strony i przekształca ją do postaci drugiej (lub - jak w Sposobie 2 - oblicza obie strony niezależnie i porównuje).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl \\(a^{-1}\\) z \\((-a)\\) - to nie minus \\(a\\), tylko odwrotność liczby \\(a\\), czyli \\(\\frac{1}{a}\\). Ta pomyłka uniemożliwia prawidłowe przekształcenie.
\n

Zadanie typu "wykaż" - dowód

\n
Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika
\n

Lewa strona:
\\[a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = \\dfrac{1}{a} + \\dfrac{1}{b} + \\dfrac{1}{c} = \\dfrac{bc + ac + ab}{abc}.\\]
Z warunku \\(abc = 1\\):
\\[\\dfrac{ab + ac + bc}{abc} = \\dfrac{ab + ac + bc}{1} = ab + ac + bc.\\]
Co należało wykazać.

\n
Sposób 2 - Z \\(abc = 1\\) wyznaczamy iloczyny dwóch
\n

\\[bc = \\dfrac{1}{a}, \\quad ac = \\dfrac{1}{b}, \\quad ab = \\dfrac{1}{c}.\\]
Zatem:
\\[ab + ac + bc = \\dfrac{1}{c} + \\dfrac{1}{b} + \\dfrac{1}{a} = a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}.\\]
Co należało wykazać.

\n
Sposób 3 - Pomnożenie obu stron przez \\(abc\\)
\n

Równość \\(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}+\\tfrac{1}{c} = ab+ac+bc\\) mnożymy obustronnie przez \\(abc\\):
Lewa strona: \\(bc+ac+ab\\). Prawa: \\(abc(ab+ac+bc) = ab+ac+bc\\) (bo \\(abc=1\\)). Obie strony równe.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: w zadaniach "wykaż" często warto sprowadzić do wspólnego mianownika - struktura iloczynu \\(abc\\) wprost wchodzi w odpowiedź.

"}]}