{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nDany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano\nodpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że\n90\nDEC\nBGF\n°\n\n\n(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do\ntrójkąta FBG.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\n⋅\n⋅\n⋅\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur podobnych\nw zadaniach (7.b).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\n\nα\nACB\nPonieważ\n90\n°\nCAB\n, więc\n90\n° -\n\nα\nABC\nW ΔCDE :\n90\n°\nDEC\n, więc\n90\n°-\n\nα\nCDE\nTrójkąt CDE jest prostokątny oraz\n90\n°\nDEC\n, więc\n90\n°-\n\nα\nCDE\nPodobnie trójkąt BFG jest prostokątny i\n90\nFGB =\n\n, więc\n\nα\nBFG\nPonieważ trójkąty CDE i BFG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk\nsą podobne.\nII sposób\nNiech\nACB\nDCE\nα\n\n\ni\nABC\nFBG\nβ\n\n\nTrójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC (cecha kkk), bo\nACB\nDCE\nα\n\n\noraz\n90\nCAB\nDEC\n°\n\n\nPodobnie trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, (cecha kkk), bo\nABC\nFBG\nβ\n\n\noraz\n90\nCAB\nFGB\n°\n\n\nStąd trójkąt CED jest podobny do trójkąta FBG (z przechodniości relacji podobieństwa).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów CBA, CDE i FBG jedną parę równych\nkątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy\nwierzchołku B musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach CBA i FBG,\nnp. zdający zapisze\nFBG\nCBA\n\n\nlub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów\nCBA i FBG (analogicznie z kątem przy wierzchołku C w trójkątach CBA i CDE)\nalbo\n• zapisze, że trójkąt CBA jest podobny do trójkąta FBG i do trójkąta CDE i stąd\nwywnioskuje, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG, ale nie wskaże żadnej\npary równych kątów ostrych w tych trójkątach\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-\\frac{121}{4}\\)\n\nNajmniejsza wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle -6, 6 \\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{-\\frac{121}{4}}\\) i jest przyjmowana w punkcie \\(x = \\frac{11}{2}\\).\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek paraboli\n\nMamy \\(f(x) = x^2 - 11x\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -11\\), \\(c = 0\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz odcięte wierzchołka.**\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-11}{2 \\cdot 1} = \\frac{11}{2} = 5{,}5\\]\n\n**Krok 2: Sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale.**\n\nPytamy: czy \\(\\frac{11}{2} \\in \\langle -6,\\, 6 \\rangle\\)?\n\n\\[-6 \\leq \\frac{11}{2} \\leq 6\\]\n\nTak - \\(\\frac{11}{2} = 5{,}5 \\leq 6\\). **Wierzchołek leży w przedziale.**\n\n**Krok 3: Wyznacz wartość funkcji w wierzchołku.**\n\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami ku górze - wierzchołek to **globalne minimum**. Skoro wierzchołek jest w przedziale, to tam też leży minimum na \\(\\langle -6, 6 \\rangle\\).\n\n\\[q = f\\!\\left(\\frac{11}{2}\\right) = \\left(\\frac{11}{2}\\right)^2 - 11 \\cdot \\frac{11}{2} = \\frac{121}{4} - \\frac{121}{2} = \\frac{121}{4} - \\frac{242}{4} = -\\frac{121}{4}\\]\n\n**Minimalna wartość funkcji:** \\(\\displaystyle f\\!\\left(\\frac{11}{2}\\right) = -\\frac{121}{4}\\)\n\n## Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\nDopełniam do kwadratu, żeby wyrazić \\(f\\) w postaci kanonicznej:\n\n\\[f(x) = x^2 - 11x = \\left(x^2 - 11x + \\frac{121}{4}\\right) - \\frac{121}{4} = \\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\]\n\nTeraz widać wprost:\n\n- Składnik \\(\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\).\n- Minimum tego wyrażenia wynosi \\(0\\) i jest osiągane gdy \\(x = \\frac{11}{2}\\).\n- Ponieważ \\(\\frac{11}{2} \\in \\langle -6, 6 \\rangle\\), minimum na tym przedziale to:\n\n\\[\\boxed{f\\!\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = 0 - \\frac{121}{4} = -\\frac{121}{4}}\\]\n\n**Kontrola wartości na końcach przedziału** (minimum globalne zawsze porównujemy z krańcami, gdy wierzchołek jest w przedziale):\n\n\\[f(-6) = 36 - 11 \\cdot (-6) = 36 + 66 = 102\\]\n\\[f(6) = 36 - 66 = -30\\]\n\nSprawdzamy: \\(-\\frac{121}{4} = -30{,}25 < -30 < 102\\). Potwierdzamy - minimum to \\(-\\frac{121}{4}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nUżyliśmy obu wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia wierzchołka - czyli punktu, w którym parabola przyjmuje minimum (bo \\(a > 0\\)).\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nZastosowana wprost w Sposobie 2 - dopełnienie do kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale! Gdyby \\(p \\notin \\langle -6, 6 \\rangle\\), minimum szukalibyśmy na odpowiednim końcu przedziału - to zupełnie inny przypadek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myL minimum z wartościami na krańcach. Tu \\(f(6) = -30\\) jest większe niż \\(f(5{,}5) = -30{,}25\\) - różnica wydaje się mała, ale zadanie pyta o wartość dokładną, a nie przybliżoną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek \\(-\\frac{121}{4}\\) łatwo pomylić z \\(-\\frac{11}{2}\\) (odciętą wierzchołka). Jedna to \\(x\\), druga to \\(f(x)\\) - to różne rzeczy!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(f\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = -\\dfrac{121}{4} = -30\\tfrac{1}{4}\\)\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek paraboli w przedziale (karta wzorów)\n\\(f(x) = x^{2} - 11x\\), \\(a=1>0\\), parabola ramionami w górę.\nPierwsza współrzędna wierzchołka: \\(x_{w} = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-11}{2\\cdot 1} = \\dfrac{11}{2} = 5{,}5\\).\n\nSprawdzamy: \\(\\tfrac{11}{2}\\in\\langle -6, 6\\rangle\\)? Tak, bo \\(-6\\leq 5{,}5\\leq 6\\). ✓\n\nPonieważ parabola jest ramionami w górę, najmniejsza wartość jest osiągnięta w wierzchołku:\n\\[f\\left(\\dfrac{11}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{11}{2}\\right)^{2} - 11\\cdot \\dfrac{11}{2} = \\dfrac{121}{4} - \\dfrac{242}{4} = -\\dfrac{121}{4} = -30\\dfrac{1}{4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[f(x) = \\left(x - \\dfrac{11}{2}\\right)^{2} - \\dfrac{121}{4}.\\]\nNajmniejsza wartość wyrażenia w kwadracie to \\(0\\) (dla \\(x=\\tfrac{11}{2}\\)), więc minimum całej funkcji: \\(-\\tfrac{121}{4}\\).\n\n### Sposób 3 - Pochodna\n\\(f'(x) = 2x - 11 = 0 \\Rightarrow x = 5{,}5\\). W tym punkcie \\(f''(x)=2>0\\), więc to minimum. Wartość: \\(f(5{,}5) = 5{,}5^{2} - 11\\cdot 5{,}5 = 30{,}25 - 60{,}5 = -30{,}25 = -\\tfrac{121}{4}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: obliczenie \\(x_{w} = \\tfrac{11}{2}\\) i stwierdzenie, że należy do przedziału.\n- 2 p.: podanie wartości \\(f\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = -\\tfrac{121}{4}\\).\n- Sprawdzenie tylko wartości na końcach przedziału bez argumentacji: wg CKE można dostać 2 pkt, jeśli wypiszesz wszystkie trzy (\\(f(-6)=102, f(\\tfrac{11}{2})=-30\\tfrac{1}{4}, f(6)=-30\\)) i podasz prawidłową odpowiedź.\n\n**Trik:** zawsze najpierw sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale. Jeśli tak, a parabola jest ramionami w górę, to wierzchołek daje minimum.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano
odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że
90
DEC
BGF
°


(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do
trójkąta FBG.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
A
B
C
D
E
F
G
⋅
⋅
⋅

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur podobnych
\n

w zadaniach (7.b).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Niech

α
ACB
Ponieważ
90
°
CAB
, więc
90
° -

α
ABC
W ΔCDE :
90
°
DEC
, więc
90
°-

α
CDE
Trójkąt CDE jest prostokątny oraz
90
°
DEC
, więc
90
°-

α
CDE
Podobnie trójkąt BFG jest prostokątny i
90
FGB =

, więc

α
BFG
Ponieważ trójkąty CDE i BFG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk
są podobne.
II sposób
Niech
ACB
DCE
α


i
ABC
FBG
β


Trójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC (cecha kkk), bo
ACB
DCE
α


oraz
90
CAB
DEC
°


Podobnie trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, (cecha kkk), bo
ABC
FBG
β


oraz
90
CAB
FGB
°


Stąd trójkąt CED jest podobny do trójkąta FBG (z przechodniości relacji podobieństwa).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów CBA, CDE i FBG jedną parę równych
kątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy
wierzchołku B musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach CBA i FBG,
np. zdający zapisze
FBG
CBA


lub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów
CBA i FBG (analogicznie z kątem przy wierzchołku C w trójkątach CBA i CDE)
albo
• zapisze, że trójkąt CBA jest podobny do trójkąta FBG i do trójkąta CDE i stąd
wywnioskuje, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG, ale nie wskaże żadnej
pary równych kątów ostrych w tych trójkątach
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.
  2. Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(-\\frac{121}{4}\\)

\n

Najmniejsza wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle -6, 6 \\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{-\\frac{121}{4}}\\) i jest przyjmowana w punkcie \\(x = \\frac{11}{2}\\).

\n

Sposób 1 - Wierzchołek paraboli

\n

Mamy \\(f(x) = x^2 - 11x\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -11\\), \\(c = 0\\).

\n

Krok 1: Wyznacz odcięte wierzchołka.

\n

\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-11}{2 \\cdot 1} = \\frac{11}{2} = 5{,}5\\]

\n

Krok 2: Sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale.

\n

Pytamy: czy \\(\\frac{11}{2} \\in \\langle -6,\\, 6 \\rangle\\)?

\n

\\[-6 \\leq \\frac{11}{2} \\leq 6\\]

\n

Tak - \\(\\frac{11}{2} = 5{,}5 \\leq 6\\). Wierzchołek leży w przedziale.

\n

Krok 3: Wyznacz wartość funkcji w wierzchołku.

\n

Ponieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami ku górze - wierzchołek to globalne minimum. Skoro wierzchołek jest w przedziale, to tam też leży minimum na \\(\\langle -6, 6 \\rangle\\).

\n

\\[q = f\\!\\left(\\frac{11}{2}\\right) = \\left(\\frac{11}{2}\\right)^2 - 11 \\cdot \\frac{11}{2} = \\frac{121}{4} - \\frac{121}{2} = \\frac{121}{4} - \\frac{242}{4} = -\\frac{121}{4}\\]

\n

Minimalna wartość funkcji: \\(\\displaystyle f\\!\\left(\\frac{11}{2}\\right) = -\\frac{121}{4}\\)

\n

Sposób 2 - Postać kanoniczna

\n

Dopełniam do kwadratu, żeby wyrazić \\(f\\) w postaci kanonicznej:

\n

\\[f(x) = x^2 - 11x = \\left(x^2 - 11x + \\frac{121}{4}\\right) - \\frac{121}{4} = \\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\]

\n

Teraz widać wprost:

\n\n

\\[\\boxed{f\\!\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = 0 - \\frac{121}{4} = -\\frac{121}{4}}\\]

\n

Kontrola wartości na końcach przedziału (minimum globalne zawsze porównujemy z krańcami, gdy wierzchołek jest w przedziale):

\n

\\[f(-6) = 36 - 11 \\cdot (-6) = 36 + 66 = 102\\]
\\[f(6) = 36 - 66 = -30\\]

\n

Sprawdzamy: \\(-\\frac{121}{4} = -30{,}25 < -30 < 102\\). Potwierdzamy - minimum to \\(-\\frac{121}{4}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]

\n

Użyliśmy obu wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia wierzchołka - czyli punktu, w którym parabola przyjmuje minimum (bo \\(a > 0\\)).

\n

Postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]

\n

Zastosowana wprost w Sposobie 2 - dopełnienie do kwadratu.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale! Gdyby \\(p \\notin \\langle -6, 6 \\rangle\\), minimum szukalibyśmy na odpowiednim końcu przedziału - to zupełnie inny przypadek.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myL minimum z wartościami na krańcach. Tu \\(f(6) = -30\\) jest większe niż \\(f(5{,}5) = -30{,}25\\) - różnica wydaje się mała, ale zadanie pyta o wartość dokładną, a nie przybliżoną.
\n
⚠️ Uwaga: Ułamek \\(-\\frac{121}{4}\\) łatwo pomylić z \\(-\\frac{11}{2}\\) (odciętą wierzchołka). Jedna to \\(x\\), druga to \\(f(x)\\) - to różne rzeczy!
\n

Poprawna odpowiedź: \\(f\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = -\\dfrac{121}{4} = -30\\tfrac{1}{4}\\)

\n
Sposób 1 - Wierzchołek paraboli w przedziale (karta wzorów)
\n

\\(f(x) = x^{2} - 11x\\), \\(a=1>0\\), parabola ramionami w górę.
Pierwsza współrzędna wierzchołka: \\(x_{w} = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-11}{2\\cdot 1} = \\dfrac{11}{2} = 5{,}5\\).

\n

Sprawdzamy: \\(\\tfrac{11}{2}\\in\\langle -6, 6\\rangle\\)? Tak, bo \\(-6\\leq 5{,}5\\leq 6\\). ✓

\n

Ponieważ parabola jest ramionami w górę, najmniejsza wartość jest osiągnięta w wierzchołku:
\\[f\\left(\\dfrac{11}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{11}{2}\\right)^{2} - 11\\cdot \\dfrac{11}{2} = \\dfrac{121}{4} - \\dfrac{242}{4} = -\\dfrac{121}{4} = -30\\dfrac{1}{4}.\\]

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

\\[f(x) = \\left(x - \\dfrac{11}{2}\\right)^{2} - \\dfrac{121}{4}.\\]
Najmniejsza wartość wyrażenia w kwadracie to \\(0\\) (dla \\(x=\\tfrac{11}{2}\\)), więc minimum całej funkcji: \\(-\\tfrac{121}{4}\\).

\n
Sposób 3 - Pochodna
\n

\\(f'(x) = 2x - 11 = 0 \\Rightarrow x = 5{,}5\\). W tym punkcie \\(f''(x)=2>0\\), więc to minimum. Wartość: \\(f(5{,}5) = 5{,}5^{2} - 11\\cdot 5{,}5 = 30{,}25 - 60{,}5 = -30{,}25 = -\\tfrac{121}{4}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: zawsze najpierw sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale. Jeśli tak, a parabola jest ramionami w górę, to wierzchołek daje minimum.

"}]}