{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że\nA.\n1,5\nc\na\nB.\n1,6\nc\na\nC.\n0,8\nc\na\nD.\n0,16\nc\na","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego\nw obliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana na potęgi ułamkowe\n\nZamieniamy wszystko na potęgi z wykładnikami ułamkowymi, żeby łatwo mnożyć wykładniki.\n\n**Krok 1:** Rozbijamy wyrażenie od środka.\n\\[\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]\n\\[3\\sqrt{3} = 3 \\cdot 3^{\\frac{1}{2}} = 3^{1 + \\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\]\n\n**Krok 2:** Teraz bierzemy pierwiastek sześcienny z całości.\n\\[\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt[3]{3^{\\frac{3}{2}}} = \\left(3^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]\n\n**Krok 3:** Zamieniamy z powrotem na pierwiastek.\n\\[3^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{3}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\sqrt{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do potęgi\n\nSprawdzamy, czy \\(\\left(\\sqrt{3}\\right)^3 = 3\\sqrt{3}\\).\n\n\\[\\left(\\sqrt{3}\\right)^3 = \\left(\\sqrt{3}\\right)^2 \\cdot \\sqrt{3} = 3 \\cdot \\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\]\n\nTak! Czyli \\(\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\), bo sześcian \\(\\sqrt{3}\\) daje właśnie \\(3\\sqrt{3}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór \\(a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\) - użyliśmy go do zamiany pierwiastków na potęgi ułamkowe.\n\nWzór \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) - użyliśmy w kroku 2, mnożąc wykładniki \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{2}\\).\n\nWzór \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\) - użyliśmy przy łączeniu \\(3^1 \\cdot 3^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\sqrt[6]{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt[3]{\\sqrt{3}} = (3^{\\frac{1}{2}})^{\\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{1}{6}}\\), zapominając o czyniku \\(3\\) przed \\(\\sqrt{3}\\) |\n| B \\(\\sqrt[4]{3}\\) | Błędne dodawanie wykładników - np. mylenie \\(\\frac{1}{3} + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{6}\\) z \\(\\frac{1}{4}\\) przez niedokładne liczenie |\n| C \\(\\sqrt[3]{3}\\) | Uczeń \"wyjął\" \\(\\sqrt[3]{3}\\) przed nawias, pomijając \\(\\sqrt{3}\\) wewnątrz, lub zgubił jeden z wykładników |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu wykładników \\(1 + \\frac{1}{2}\\) wielu uczniów błędnie zapisuje \\(\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{3}{2}\\). Zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika: \\(1 + \\frac{1}{2} = \\frac{2}{2} + \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno \"wyciągać\" pierwiastka sześciennego bezpośrednio z \\(3\\sqrt{3}\\) bez wcześniejszego uproszczenia. Najpierw zamień na jedną potęgę \\(3^{\\frac{3}{2}}\\), a dopiero potem działaj z zewnętrznym pierwiastkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie wykładników \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3}\\) - pamiętaj, że \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{6}\\) ani \\(\\frac{1}{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Przez potęgi wymierne\nZapisujemy pierwiastki jako potęgi:\n\\[3\\sqrt{3} = 3\\cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}.\\]\nStąd:\n\\[\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt[3]{3^{3/2}} = (3^{3/2})^{1/3} = 3^{(3/2)\\cdot(1/3)} = 3^{1/2} = \\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podnoszenie do sześcianu\nNiech \\(x = \\sqrt[3]{3\\sqrt{3}}\\). Wtedy \\(x^3 = 3\\sqrt{3}\\). Sprawdzamy \\(x = \\sqrt{3}\\):\n\\[(\\sqrt{3})^3 = (\\sqrt{3})^2\\cdot\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}.\\ \\checkmark\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sqrt[6]{3}\\)** = \\(3^{1/6}\\) - za mała wartość; \\((3^{1/6})^3 = 3^{1/2} \\ne 3\\sqrt{3}\\).\n- **B. \\(\\sqrt[4]{3}\\)** = \\(3^{1/4}\\) - też za mała.\n- **C. \\(\\sqrt[3]{3}\\)** = \\(3^{1/3}\\) - \\((3^{1/3})^3 = 3 \\ne 3\\sqrt{3}\\).\n\n**Trik:** przy zagnieżdżonych pierwiastkach zawsze zamieniaj na potęgi wymierne i mnóż wykładniki.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że
A.
1,5
c
a
B.
1,6
c
a
C.
0,8
c
a
D.
0,16
c
a

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie
\n

procentu i punktu procentowego
w obliczeniach (1.d).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Zamiana na potęgi ułamkowe

\n

Zamieniamy wszystko na potęgi z wykładnikami ułamkowymi, żeby łatwo mnożyć wykładniki.

\n

Krok 1: Rozbijamy wyrażenie od środka.
\\[\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]
\\[3\\sqrt{3} = 3 \\cdot 3^{\\frac{1}{2}} = 3^{1 + \\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\]

\n

Krok 2: Teraz bierzemy pierwiastek sześcienny z całości.
\\[\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt[3]{3^{\\frac{3}{2}}} = \\left(3^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]

\n

Krok 3: Zamieniamy z powrotem na pierwiastek.
\\[3^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{3}\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do potęgi

\n

Sprawdzamy, czy \\(\\left(\\sqrt{3}\\right)^3 = 3\\sqrt{3}\\).

\n

\\[\\left(\\sqrt{3}\\right)^3 = \\left(\\sqrt{3}\\right)^2 \\cdot \\sqrt{3} = 3 \\cdot \\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\]

\n

Tak! Czyli \\(\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\), bo sześcian \\(\\sqrt{3}\\) daje właśnie \\(3\\sqrt{3}\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Wzór \\(a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\) - użyliśmy go do zamiany pierwiastków na potęgi ułamkowe.

\n

Wzór \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) - użyliśmy w kroku 2, mnożąc wykładniki \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{2}\\).

\n

Wzór \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\) - użyliśmy przy łączeniu \\(3^1 \\cdot 3^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(\\sqrt[6]{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt[3]{\\sqrt{3}} = (3^{\\frac{1}{2}})^{\\frac{1}{3}} = 3^{\\frac{1}{6}}\\), zapominając o czyniku \\(3\\) przed \\(\\sqrt{3}\\) |
| B \\(\\sqrt[4]{3}\\) | Błędne dodawanie wykładników - np. mylenie \\(\\frac{1}{3} + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{6}\\) z \\(\\frac{1}{4}\\) przez niedokładne liczenie |
| C \\(\\sqrt[3]{3}\\) | Uczeń "wyjął" \\(\\sqrt[3]{3}\\) przed nawias, pomijając \\(\\sqrt{3}\\) wewnątrz, lub zgubił jeden z wykładników |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy dodawaniu wykładników \\(1 + \\frac{1}{2}\\) wielu uczniów błędnie zapisuje \\(\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{3}{2}\\). Zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika: \\(1 + \\frac{1}{2} = \\frac{2}{2} + \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno "wyciągać" pierwiastka sześciennego bezpośrednio z \\(3\\sqrt{3}\\) bez wcześniejszego uproszczenia. Najpierw zamień na jedną potęgę \\(3^{\\frac{3}{2}}\\), a dopiero potem działaj z zewnętrznym pierwiastkiem.
\n
⚠️ Uwaga: Mnożenie wykładników \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3}\\) - pamiętaj, że \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{6}\\) ani \\(\\frac{1}{3}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Przez potęgi wymierne
\n

Zapisujemy pierwiastki jako potęgi:
\\[3\\sqrt{3} = 3\\cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}.\\]
Stąd:
\\[\\sqrt[3]{3\\sqrt{3}} = \\sqrt[3]{3^{3/2}} = (3^{3/2})^{1/3} = 3^{(3/2)\\cdot(1/3)} = 3^{1/2} = \\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Podnoszenie do sześcianu
\n

Niech \\(x = \\sqrt[3]{3\\sqrt{3}}\\). Wtedy \\(x^3 = 3\\sqrt{3}\\). Sprawdzamy \\(x = \\sqrt{3}\\):
\\[(\\sqrt{3})^3 = (\\sqrt{3})^2\\cdot\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}.\\ \\checkmark\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: przy zagnieżdżonych pierwiastkach zawsze zamieniaj na potęgi wymierne i mnóż wykładniki.

"}]}