Zadanie 30. (2 pkt)
Ciąg (
)
na
jest określony wzorem
2
2
2
na
n
n
dla
1
n ≥. Wykaż, że suma każdych dwóch
kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 30. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.
skróconego mnożenia: (a ± b)2 (2.a).
Przykładowe rozwiązanie
Rozważmy wyraz
2
2
2
na
n
n
Wyraz
1
na + można zapisać, jako
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
6
4
na
n
n
n
n
Wtedy
2
2
2
1
2
2
2
6
4
4
8
4
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
Zatem
(
)
2
1
2
2
n
n
a
a
n
Liczba 2
2
n
jest naturalna. To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np:
(
)
(
)
2
2
1
2
2
2
1
2
1
n
n
a
a
n
n
n
n
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwaga:
Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje
0 punktów.
Dano: \\(|AS| = \\dfrac{5}{6}|AC|\\). Należy wykazać, że \\(P(\\triangle ABS) = 25 \\cdot P(\\triangle DCS)\\).
\nKrok 1: Wyznaczamy stosunek |AS| do |SC|
\nSkoro \\(|AS| = \\dfrac{5}{6}|AC|\\) oraz \\(|SC| = |AC| - |AS|\\), to:
\\[|SC| = |AC| - \\frac{5}{6}|AC| = \\frac{1}{6}|AC|\\]
Stąd:
\\[\\frac{|AS|}{|SC|} = \\frac{\\frac{5}{6}|AC|}{\\frac{1}{6}|AC|} = 5\\]
Krok 2: Dowodzimy, że trójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) są podobne
\nPonieważ \\(AB \\parallel CD\\) (podstawy trapezu), proste \\(AB\\) i \\(CD\\) są przecięte przez sieczne \\(AC\\) i \\(BD\\). Zatem:
\nZ warunku kąt-kąt (KK) wynika:
\\[\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\]
Krok 3: Wyznaczamy współczynnik podobieństwa
\nOdpowiadające sobie boki to \\(AS\\) i \\(CS\\), zatem współczynnik podobieństwa:
\\[k = \\frac{|AS|}{|CS|} = 5\\]
Krok 4: Stosunek pól trójkątów podobnych
\nPola figur podobnych mają się jak kwadrat współczynnika podobieństwa (Dział 10, s. 21):
\\[\\frac{P(\\triangle ABS)}{P(\\triangle CDS)} = k^2 = 5^2 = 25\\]
Zatem:
\\[\\boxed{P(\\triangle ABS) = 25 \\cdot P(\\triangle DCS)}\\]
co należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)
\nDobieramy konkretny trapez spełniający warunek i sprawdzamy wynik liczbowo.
\nBudujemy trapez: niech \\(D = (0,0)\\), \\(C = (2,0)\\), \\(A = (-4,6)\\), \\(B = (6,6)\\)
(wówczas \\(AB \\parallel CD\\), \\(|AB| = 10\\), \\(|CD| = 2\\)).
Sprawdzamy, gdzie przecinają się przekątne:
\nPunkt \\(S\\) leży na \\(AC\\): używamy \\(S = A + t(C - A)\\) dla \\(t = \\dfrac{5}{6}\\):
\\[S = (-4,6) + \\frac{5}{6}\\cdot(6,-6) = (-4+5,\\; 6-5) = (1,1)\\]
Sprawdzamy czy \\(S\\) leży na \\(BD\\): \\(S = B + t(D-B)\\) dla \\(t = \\dfrac{5}{6}\\):
\\[(6,6) + \\frac{5}{6}(-6,-6) = (1,1) \\checkmark\\]
Liczymy pola wzorem ze współrzędnych:
\n\\[P(\\triangle ABS) = \\frac{1}{2}\\left|\\det\\begin{pmatrix}B_x-A_x & S_x-A_x \\\\ B_y-A_y & S_y-A_y\\end{pmatrix}\\right| = \\frac{1}{2}\\left|\\det\\begin{pmatrix}10 & 5 \\\\ 0 & -5\\end{pmatrix}\\right| = \\frac{1}{2}\\cdot 50 = 25\\]
\n\\[P(\\triangle DCS) = \\frac{1}{2}\\left|\\det\\begin{pmatrix}-2 & -1 \\\\ 0 & 1\\end{pmatrix}\\right| = \\frac{1}{2}\\cdot 2 = 1\\]
\nStosunek:
\\[\\frac{P(\\triangle ABS)}{P(\\triangle DCS)} = \\frac{25}{1} = 25 \\checkmark\\]
Dział 10 (Planimetria, s. 21) - Pola figur podobnych:
\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]
gdzie \\(k\\) to współczynnik podobieństwa. Użyliśmy tego w Kroku 4 Sposobu 1.
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Kryterium podobieństwa trójkątów KK (kąt-kąt): dwa trójkąty są podobne, gdy mają dwie pary równych kątów. Użyliśmy tego w Kroku 2.
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 24) - Pole trójkąta ze współrzędnych:
\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić stosunek \\(|AS|/|AC|\\) z \\(|AS|/|SC|\\). Dane mówią, że \\(|AS| = \\dfrac{5}{6}|AC|\\), więc \\(|SC| = \\dfrac{1}{6}|AC|\\) - współczynnik podobieństwa to \\(\\dfrac{|AS|}{|SC|} = 5\\), nie \\(\\dfrac{5}{6}\\)!\n
⚠️ Uwaga: Pola figur podobnych mają się jak \\(k^2\\), a nie \\(k\\). Wynik to \\(5^2 = 25\\), nie \\(5\\). To bardzo częsty błąd na maturze.\n
⚠️ Uwaga: Podobieństwo \\(\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\) wymaga kolejności wierzchołków - sprawdź, że porównujesz odpowiadające sobie wierzchołki: \\(A \\leftrightarrow C\\), \\(B \\leftrightarrow D\\), \\(S \\leftrightarrow S\\). Odwrotna kolejność dałaby błędny stosunek boków.\n
Zadanie typu "wykaż" - dowód
\nW trapezie \\(ABCD\\) podstawy \\(AB\\parallel CD\\). Przekątne \\(AC\\) i \\(BD\\) przecinają się w \\(S\\).
\nTrójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) są podobne (cecha KKK):
\nZ warunku \\(|AS| = \\tfrac{5}{6}|AC|\\) wynika, że \\(|CS| = \\tfrac{1}{6}|AC|\\). Skala podobieństwa trójkąta \\(ABS\\) do \\(CDS\\):
\\[k = \\dfrac{|AS|}{|CS|} = \\dfrac{\\tfrac{5}{6}|AC|}{\\tfrac{1}{6}|AC|} = 5.\\]
Stosunek pól podobnych figur równa się kwadratowi skali:
\\[\\dfrac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^{2} = 25.\\]
Zatem \\(P_{ABS} = 25\\cdot P_{CDS}\\). Co należało wykazać.
Kąt \\(\\measuredangle ASB = \\measuredangle CSD = \\varphi\\) (wierzchołkowe). Wzór na pole trójkąta z sinusem:
\\[P_{ABS} = \\dfrac{1}{2}|AS|\\cdot |BS|\\cdot \\sin\\varphi, \\quad P_{CDS} = \\dfrac{1}{2}|CS|\\cdot |DS|\\cdot \\sin\\varphi.\\]
Z twierdzenia Talesa (przy \\(AB\\parallel CD\\)): \\(\\dfrac{|AS|}{|CS|} = \\dfrac{|BS|}{|DS|} = 5\\). Zatem:
\\[\\dfrac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = \\dfrac{|AS|\\cdot |BS|}{|CS|\\cdot |DS|} = 5\\cdot 5 = 25.\\]
Trójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) mają wspólny kąt (wierzchołkowy) w \\(S\\). Stosunek odpowiadających boków: \\(|AS|:|CS| = 5:1\\) i analogicznie \\(|BS|:|DS| = 5:1\\). Stosunek pól podobnych figur = kwadrat skali = \\(25\\).
\nTrik: w trapezie przekątne wyznaczają dwie pary trójkątów podobnych ze wspólnym wierzchołkiem \\(S\\). Skala wynika bezpośrednio z proporcji odcinków.
"}]}