{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW skończonym ciągu arytmetycznym (\n)\nna\npierwszy wyraz\n1a jest równy 7 oraz ostatni\nwyraz\nna jest równy 89. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 2016.\nOblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego (5.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWykorzystujemy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nrównanie z niewiadomą n:\n7\n89\n2016\n2\nn\nS\nn\n⋅\nObliczamy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego n:\n42\nn =\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\nrównanie z niewiadomą n: 7\n89\n2016\n2\nn\n⋅\nalbo\nukład równań z niewiadomymi n i r:\n(\n)\n(\n)\n7\n1\n89\n2 7\n1\n2016\n2\nn\nr\nn\nr n\n\n\n⋅+\n⋅\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego: 42.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S = 676\\,368\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ostatniego dodatniego wyrazu i wzór na sumę\n\n**Krok 1: Znajdź, które wyrazy są dodatnie.**\n\n\\[a_n > 0 \\implies 2016 - 3n > 0 \\implies 3n < 2016 \\implies n < 672\\]\n\nZatem wyrazy dodatnie to \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{671}\\).\n\n**Krok 2: Sprawdź graniczne wartości.**\n\n\\[a_{671} = 2016 - 3 \\cdot 671 = 2016 - 2013 = 3 > 0 \\checkmark\\]\n\\[a_{672} = 2016 - 3 \\cdot 672 = 2016 - 2016 = 0 \\quad \\text{(nie dodatni!)}\\]\n\nPierwszy wyraz: \\(a_1 = 2016 - 3 = 2013\\). Ostatni dodatni: \\(a_{671} = 3\\).\n\n**Krok 3: Oblicz sumę wzorem na sumę ciągu arytmetycznego.**\n\n\\[S_{671} = \\frac{a_1 + a_{671}}{2} \\cdot 671 = \\frac{2013 + 3}{2} \\cdot 671 = \\frac{2016}{2} \\cdot 671 = 1008 \\cdot 671\\]\n\n\\[\\boxed{S_{671} = 1008 \\cdot 671 = 676\\,368}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór z różnicą \\(r\\)\n\nOdczytaj parametry ciągu z wzoru ogólnego \\(a_n = -3n + 2016\\):\n- pierwszy wyraz: \\(a_1 = 2013\\)\n- różnica: \\(r = -3\\) (współczynnik przy \\(n\\))\n\nZastosuj drugi wariant wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\n\\[S_{671} = \\frac{2 \\cdot 2013 + 670 \\cdot (-3)}{2} \\cdot 671 = \\frac{4026 - 2010}{2} \\cdot 671 = \\frac{2016}{2} \\cdot 671 = 1008 \\cdot 671 = 676\\,368\\]\n\nWynik zgodny - **\\(S = 676\\,368\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny i sumę ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy formy \\(\\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) (średnia skrajnych wyrazów razy liczba wyrazów). W Sposobie 2 użyliśmy formy \\(\\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) - obie są na karcie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a_{672} = 0\\) - zero **nie jest** wyrazem dodatnim! Łatwo wziąć 672 zamiast 671 wyrazów i uzyskać błędny wynik \\(S_{672} = \\frac{2013 + 0}{2} \\cdot 672 = 676\\,368\\) - tu wynik wychodzi taki sam przez przypadek (bo \\(a_{672} = 0\\)), ale przy podobnych zadaniach z inną granicą błąd jest kosztowny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica ciągu to \\(r = -3\\), bo ciąg jest **malejący** (wyrazy maleją o 3). Wiele osób czyta \\(r = 3\\) i szuka wyrazów „coraz większych\" - w tym ciągu jest odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba wyrazów to \\(671\\), a nie \\(670\\) ani \\(672\\) - pamiętaj, że wyrazy dodatnie to \\(a_1\\) przez \\(a_{671}\\), czyli łącznie \\(671\\) wyrazów (nie \\(671 - 1 = 670\\)!).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(S_{671} = 676\\,368\\)\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)\nPierwszy wyraz: \\(a_{1} = 2016 - 3 = 2013\\). Różnica ciągu: z \\(a_{n+1} - a_{n} = -3\\), czyli \\(r = -3\\).\n\nWyraz dodatni: \\(a_{n} > 0\\):\n\\[2016 - 3n > 0 \\Rightarrow n < 672.\\]\nWyrazy dodatnie: \\(n = 1, 2, \\ldots, 671\\). \\(a_{672} = 2016 - 2016 = 0\\) (nie jest dodatni).\n\nOstatni wyraz dodatni: \\(a_{671} = 2016 - 3\\cdot 671 = 2016 - 2013 = 3\\).\n\nSuma:\n\\[S_{671} = \\dfrac{a_{1}+a_{671}}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2013+3}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2016}{2}\\cdot 671 = 1008\\cdot 671.\\]\n\\(1008\\cdot 671 = 1008\\cdot 700 - 1008\\cdot 29 = 705\\,600 - 29\\,232 = 676\\,368.\\)\n\n### Sposób 2 - Wzór ze wzoru z różnicą\n\\[S_{n} = \\dfrac{2a_{1} + (n-1)r}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n=671, a_{1}=2013, r=-3\\):\n\\[S_{671} = \\dfrac{2\\cdot 2013 + 670\\cdot(-3)}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{4026 - 2010}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2016}{2}\\cdot 671 = 1008\\cdot 671 = 676\\,368.\\]\n\n### Sposób 3 - Przez sumę do 672\nMożna też zauważyć, że \\(a_{672}=0\\), więc \\(S_{672}=S_{671}\\). Obliczając \\(S_{672}\\):\n\\[S_{672} = \\dfrac{2013+0}{2}\\cdot 672 = \\tfrac{2013}{2}\\cdot 672 = 2013\\cdot 336 = 676\\,368.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: obliczenie \\(a_{1}=2013\\) lub \\(r=-3\\), lub zapisanie warunku \\(2016-3n>0\\).\n- 2 p.: obliczenie \\(a_{1}=2013\\) **oraz** \\(r=-3\\) (lub \\(n<672\\)).\n- 3 p.: obliczenie liczby wyrazów dodatnich \\(n=671\\).\n- 4 p.: obliczenie sumy \\(S_{671} = 676\\,368\\).\n\n**Trik:** warto zauważyć, że \\(a_{672}=0\\), więc dodanie go do sumy niczego nie zmienia - można użyć wygodniejszej liczby wyrazów.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
W skończonym ciągu arytmetycznym (
)
na
pierwszy wyraz
1a jest równy 7 oraz ostatni
wyraz
na jest równy 89. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 2016.
Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n
\n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego (5.c).
Przykładowe rozwiązanie
Wykorzystujemy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
równanie z niewiadomą n:
7
89
2016
2
n
S
n
⋅
Obliczamy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego n:
42
n =
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze
równanie z niewiadomą n: 7
89
2016
2
n
⋅
albo
układ równań z niewiadomymi n i r:
(
)
(
)
7
1
89
2 7
1
2016
2
n
r
n
r n


⋅+
⋅

i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego: 42.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(S = 676\\,368\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie ostatniego dodatniego wyrazu i wzór na sumę

\n

Krok 1: Znajdź, które wyrazy są dodatnie.

\n

\\[a_n > 0 \\implies 2016 - 3n > 0 \\implies 3n < 2016 \\implies n < 672\\]

\n

Zatem wyrazy dodatnie to \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{671}\\).

\n

Krok 2: Sprawdź graniczne wartości.

\n

\\[a_{671} = 2016 - 3 \\cdot 671 = 2016 - 2013 = 3 > 0 \\checkmark\\]
\\[a_{672} = 2016 - 3 \\cdot 672 = 2016 - 2016 = 0 \\quad \\text{(nie dodatni!)}\\]

\n

Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 2016 - 3 = 2013\\). Ostatni dodatni: \\(a_{671} = 3\\).

\n

Krok 3: Oblicz sumę wzorem na sumę ciągu arytmetycznego.

\n

\\[S_{671} = \\frac{a_1 + a_{671}}{2} \\cdot 671 = \\frac{2013 + 3}{2} \\cdot 671 = \\frac{2016}{2} \\cdot 671 = 1008 \\cdot 671\\]

\n

\\[\\boxed{S_{671} = 1008 \\cdot 671 = 676\\,368}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór z różnicą \\(r\\)

\n

Odczytaj parametry ciągu z wzoru ogólnego \\(a_n = -3n + 2016\\):

\n\n

Zastosuj drugi wariant wzoru na sumę:

\n

\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

\\[S_{671} = \\frac{2 \\cdot 2013 + 670 \\cdot (-3)}{2} \\cdot 671 = \\frac{4026 - 2010}{2} \\cdot 671 = \\frac{2016}{2} \\cdot 671 = 1008 \\cdot 671 = 676\\,368\\]

\n

Wynik zgodny - \\(S = 676\\,368\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na wyraz ogólny i sumę ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]

\n

W Sposobie 1 użyliśmy formy \\(\\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) (średnia skrajnych wyrazów razy liczba wyrazów). W Sposobie 2 użyliśmy formy \\(\\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) - obie są na karcie.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(a_{672} = 0\\) - zero nie jest wyrazem dodatnim! Łatwo wziąć 672 zamiast 671 wyrazów i uzyskać błędny wynik \\(S_{672} = \\frac{2013 + 0}{2} \\cdot 672 = 676\\,368\\) - tu wynik wychodzi taki sam przez przypadek (bo \\(a_{672} = 0\\)), ale przy podobnych zadaniach z inną granicą błąd jest kosztowny.
\n
⚠️ Uwaga: Różnica ciągu to \\(r = -3\\), bo ciąg jest malejący (wyrazy maleją o 3). Wiele osób czyta \\(r = 3\\) i szuka wyrazów „coraz większych" - w tym ciągu jest odwrotnie.
\n
⚠️ Uwaga: Liczba wyrazów to \\(671\\), a nie \\(670\\) ani \\(672\\) - pamiętaj, że wyrazy dodatnie to \\(a_1\\) przez \\(a_{671}\\), czyli łącznie \\(671\\) wyrazów (nie \\(671 - 1 = 670\\)!).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(S_{671} = 676\\,368\\)

\n
Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)
\n

Pierwszy wyraz: \\(a_{1} = 2016 - 3 = 2013\\). Różnica ciągu: z \\(a_{n+1} - a_{n} = -3\\), czyli \\(r = -3\\).

\n

Wyraz dodatni: \\(a_{n} > 0\\):
\\[2016 - 3n > 0 \\Rightarrow n < 672.\\]
Wyrazy dodatnie: \\(n = 1, 2, \\ldots, 671\\). \\(a_{672} = 2016 - 2016 = 0\\) (nie jest dodatni).

\n

Ostatni wyraz dodatni: \\(a_{671} = 2016 - 3\\cdot 671 = 2016 - 2013 = 3\\).

\n

Suma:
\\[S_{671} = \\dfrac{a_{1}+a_{671}}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2013+3}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2016}{2}\\cdot 671 = 1008\\cdot 671.\\]
\\(1008\\cdot 671 = 1008\\cdot 700 - 1008\\cdot 29 = 705\\,600 - 29\\,232 = 676\\,368.\\)

\n
Sposób 2 - Wzór ze wzoru z różnicą
\n

\\[S_{n} = \\dfrac{2a_{1} + (n-1)r}{2}\\cdot n.\\]
Dla \\(n=671, a_{1}=2013, r=-3\\):
\\[S_{671} = \\dfrac{2\\cdot 2013 + 670\\cdot(-3)}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{4026 - 2010}{2}\\cdot 671 = \\dfrac{2016}{2}\\cdot 671 = 1008\\cdot 671 = 676\\,368.\\]

\n
Sposób 3 - Przez sumę do 672
\n

Można też zauważyć, że \\(a_{672}=0\\), więc \\(S_{672}=S_{671}\\). Obliczając \\(S_{672}\\):
\\[S_{672} = \\dfrac{2013+0}{2}\\cdot 672 = \\tfrac{2013}{2}\\cdot 672 = 2013\\cdot 336 = 676\\,368.\\]

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: warto zauważyć, że \\(a_{672}=0\\), więc dodanie go do sumy niczego nie zmienia - można użyć wygodniejszej liczby wyrazów.

"}]}