{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nJeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów,\nktóre różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich (7.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech α oznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\n50\nα +\n° oraz 3α . Suma kątów trójkąta jest równa 180°, więc\n3\n50\n180\nα\nα\nα\n° =\n°,\n5\n130\nα =\n° ,\n26\nα =\n°.\nStąd\n50\n76\nα +\n° =\n° oraz 3\n78\nα =\n° .\nII sposób\nNiech α oznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\n50\n3 +\n°\nα\noraz 3\nα .\nSuma kątów trójkąta jest równa 180°, więc\n50\n180\n3\n3\n°+\n°\nα\nα\nα\n,\n5\n390\n°\nα\n,\n78\n°\nα\nStąd\n26\n3 =\n°\nα\noraz\n50\n76\n3 +\n° =\n°\nα\nIII sposób\nNiech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem\npozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\n50\n°\nα\noraz (\n)\n3\n50\n°\nα\n. Suma kątów trójkąta jest\nrówna 180°, więc\n(\n)\n50\n3\n50\n180\n°+\n° =\n°\nα\nα\nα\n,\n5\n380\n°\nα\n,\n76\n°\nα\nStąd\n50\n26\n° =\n°\nα\noraz (\n)\n3\n50\n78\n° =\n°\nα\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze:\n• kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.:\nα ,\n50\nα +\n° , 3α lub\n,\n50 ,\n3\n3 +\n°\nα α\nα , lub\n(\n)\n50 ,\n, 3\n50\n°\n°\nα\nα\nα\nalbo\n• układ dwóch równań, np.\n50\n180\n3 ,\nα\nα\nβ\nβ\nα\n°+\n°\n\n\n\nalbo\n• układ trzech równań, np.\n180\n3\n50\nα\nβ\nγ\nγ\nα\nβ\nα\n°\n\n=\n\n\n°\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n3\n50\n180\nα\nα\nα\n° =\n° lub\n50\n180\n3\n3\n°+\n°\nα\nα\nα\n, lub\n(\n)\n50\n3\n50\n180\n° +\n° =\n°\nα\nα\nα\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.:\n26\nα =\n° lub\n78\n°\nα\n, lub\n76\n°\nα\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy wszystkie kąty trójkąta.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda kąty (26°,76°,78°), to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje\n2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B = (7, 4,5) i |AB| = 12,5\n\n*(Zadanie otwarte - \"A\" w kluczu to oznaczenie wersji arkusza, nie opcja wyboru.)*\n\n## Sposób 1 - prosta prostopadła przez C\n\n**Krok 1: Ustalamy, gdzie leży kąt prosty.**\n\nAB to **przeciwprostokątna**, więc kąt prosty leży przy wierzchołku **C**. Oznacza to:\n\\[CB \\perp CA\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy kierunek prostej CA.**\n\n\\[\\vec{CA} = A - C = (-3-2,\\ -3-7) = (-5,\\ -10)\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej CA:\n\\[a_{CA} = \\frac{-10}{-5} = 2\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy kierunek prostej CB (prostopadłej do CA).**\n\nZ warunku prostopadłości \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):\n\\[a_{CB} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 4: Piszemy równanie prostej CB** (przez C = (2, 7)):\n\\[y - 7 = -\\frac{1}{2}(x - 2)\\]\n\\[y = -\\frac{1}{2}x + 1 + 7 = -\\frac{1}{2}x + 8\\]\n\n**Krok 5: Szukamy punktu B** - przecięcie prostej CB z prostą AB \\(\\left(y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4}\\right)\\):\n\\[\\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4} = -\\frac{1}{2}x + 8\\]\n\\[\\frac{3}{4}x + \\frac{2}{4}x = 8 + \\frac{3}{4}\\]\n\\[\\frac{5}{4}x = \\frac{35}{4}\\]\n\\[x = 7\\]\n\n\\[y = -\\frac{1}{2} \\cdot 7 + 8 = -\\frac{7}{2} + 8 = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]\n\n\\[\\boxed{B = \\left(7,\\ \\frac{9}{2}\\right)}\\]\n\n**Krok 6: Obliczamy długość AB.**\n\n\\(A = (-3,\\ -3)\\), \\(B = \\left(7,\\ \\frac{9}{2}\\right)\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(7-(-3))^2 + \\left(\\frac{9}{2}-(-3)\\right)^2} = \\sqrt{10^2 + \\left(\\frac{15}{2}\\right)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{100 + \\frac{225}{4}} = \\sqrt{\\frac{400+225}{4}} = \\sqrt{\\frac{625}{4}} = \\frac{25}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{|AB| = \\frac{25}{2} = 12{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - warunek prostopadłości przez iloczyn skalarny\n\n**Parametryzujemy punkt B** leżący na prostej \\(y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4}\\):\n\\[B = \\left(t,\\ \\frac{3t-3}{4}\\right)\\]\n\n**Warunek kąta prostego w C** - wektory \\(\\vec{CA}\\) i \\(\\vec{CB}\\) muszą być prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarny = 0:\n\\[\\vec{CA} = (-5,\\ -10), \\qquad \\vec{CB} = \\left(t-2,\\ \\frac{3t-3}{4}-7\\right) = \\left(t-2,\\ \\frac{3t-31}{4}\\right)\\]\n\n\\[\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = (-5)(t-2) + (-10)\\cdot\\frac{3t-31}{4} = 0\\]\n\\[-5(t-2) - \\frac{10(3t-31)}{4} = 0\\quad \\Big/\\cdot 4\\]\n\\[-20(t-2) - 10(3t-31) = 0\\]\n\\[-20t + 40 - 30t + 310 = 0\\]\n\\[-50t + 350 = 0\\]\n\\[t = 7\\]\n\nStąd:\n\\[y_B = \\frac{3 \\cdot 7 - 3}{4} = \\frac{18}{4} = \\frac{9}{2}\\]\n\nWynik identyczny: **B = (7, 4,5)**, \\(|AB| = \\frac{25}{2}\\).\n\n**Weryfikacja kąta prostego:**\n\\[\\vec{CA} = (-5,\\ -10), \\quad \\vec{CB} = (5,\\ -\\frac{5}{2})\\]\n\\[\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = (-5)(5) + (-10)\\left(-\\frac{5}{2}\\right) = -25 + 25 = 0 \\ \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- Długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AB|\\) w kroku 6.\n\n- Warunek prostopadłości prostych (współczynniki kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte do wyznaczenia kierunku prostej CB.\n\n- Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\)\nUżyte do zapisania prostej CB.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest **przy C**, nie przy B! \"Przeciwprostokątna\" to najdłuższy bok naprzeciwko kąta prostego - skoro przeciwprostokątna to AB, kąt prosty musi być przy C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\frac{9}{2} - (-3) = \\frac{9}{2} + 3 = \\frac{15}{2}\\), nie \\(\\frac{9}{2} - 3 = \\frac{3}{2}\\). Mylenie znaku w tym miejscu daje błędne \\(|AB|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to **odwrotność ze zmianą znaku**: jeśli \\(a_1 = 2\\), to \\(a_2 = -\\frac{1}{2}\\), a nie \\(-2\\) ani \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(B = \\left(7, 4\\tfrac{1}{2}\\right)\\), \\(|AB| = \\dfrac{25}{2} = 12\\tfrac{1}{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Prostopadłość prostych (karta wzorów)\nWspółczynnik kierunkowy \\(AC\\):\n\\[a_{AC} = \\dfrac{7-(-3)}{2-(-3)} = \\dfrac{10}{5} = 2.\\]\nSkoro \\(\\measuredangle ACB = 90^{\\circ}\\) (prosty), to \\(CB\\perp AC\\). Współczynnik \\(a_{CB}\\cdot a_{AC} = -1 \\Rightarrow a_{CB} = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\nProsta \\(CB\\) przez \\(C=(2,7)\\): \\(y - 7 = -\\tfrac{1}{2}(x-2)\\), czyli \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 8\\).\n\nWspółrzędne \\(B\\) z układu:\n\\[y = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{3}{4}, \\quad y = -\\tfrac{1}{2}x + 8.\\]\n\\[\\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{3}{4} = -\\tfrac{1}{2}x + 8.\\]\nMnożymy przez 4: \\(3x - 3 = -2x + 32 \\Rightarrow 5x = 35 \\Rightarrow x = 7\\).\n\\(y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 7 + 8 = -3{,}5 + 8 = 4{,}5 = 4\\tfrac{1}{2}\\).\nZatem \\(B = \\left(7, 4\\tfrac{1}{2}\\right)\\).\n\nDługość \\(AB\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(7-(-3))^{2} + (4{,}5-(-3))^{2}} = \\sqrt{100 + 7{,}5^{2}} = \\sqrt{100 + 56{,}25} = \\sqrt{156{,}25} = 12{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez Pitagorasa i wektory\n\\(|AC| = \\sqrt{5^{2}+10^{2}} = \\sqrt{125} = 5\\sqrt{5}\\). Punkt \\(B\\) leży na \\(y=\\tfrac{3}{4}x-\\tfrac{3}{4}\\), i z warunku prostopadłości \\(\\vec{CA}\\cdot\\vec{CB}=0\\) wyznaczamy \\(B\\), jak w sposobie 1.\n\n### Sposób 3 - Symetralna\n\\(AB\\) to przeciwprostokątna, więc \\(S\\) (środek \\(AB\\)) = środek okręgu opisanego na \\(ABC\\). \\(S\\) jest na symetralnej boku \\(AC\\) oraz na prostej \\(AB\\). Środek \\(AC\\): \\(M=\\left(-\\tfrac{1}{2},2\\right)\\). Symetralna \\(MS\\): \\(y=-\\tfrac{1}{2}x+\\tfrac{7}{4}\\). Z układu z \\(AB\\) dostajemy \\(S=\\left(2,\\tfrac{3}{4}\\right)\\). Z \\(S=\\left(\\tfrac{-3+x_{B}}{2},\\tfrac{-3+y_{B}}{2}\\right)\\) wyznaczamy \\(B=\\left(7,4\\tfrac{1}{2}\\right)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: wyznaczenie \\(a_{AC}=2\\) lub równania \\(CB\\).\n- 2 p.: wyznaczenie równania \\(CB: y=-\\tfrac{1}{2}x+8\\).\n- 3 p.: obliczenie współrzędnych \\(B=(7,4\\tfrac{1}{2})\\).\n- 4 p.: obliczenie \\(|AB|=12\\tfrac{1}{2}\\).\n- **Błędna interpretacja** (przyjęcie \\(B\\) jako wierzchołka kąta prostego): 0 pkt.\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym wierzchołek kąta prostego to \\(C\\) (bo \\(AB\\) jest przeciwprostokątną); boki \\(CA\\) i \\(CB\\) są prostopadłe.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 32. (4 pkt)<br>Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów,<br>które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>32.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 32. (0-4)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach</li></ol>\n<p>płaskich (7.c).<br>Przykładowe rozwiązania<br>I sposób<br>Niech α oznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są<br>50<br>α +<br>° oraz 3α . Suma kątów trójkąta jest równa 180°, więc<br>3<br>50<br>180<br>α<br>α<br>α<br>° =<br>°,<br>5<br>130<br>α =<br>° ,<br>26<br>α =<br>°.<br>Stąd<br>50<br>76<br>α +<br>° =<br>° oraz 3<br>78<br>α =<br>° .<br>II sposób<br>Niech α oznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są<br>50<br>3 +<br>°<br>α<br>oraz 3<br>α .<br>Suma kątów trójkąta jest równa 180°, więc<br>50<br>180<br>3<br>3<br>°+<br>°<br>α<br>α<br>α<br>,<br>5<br>390<br>°<br>α<br>,<br>78<br>°<br>α<br>Stąd<br>26<br>3 =<br>°<br>α<br>oraz<br>50<br>76<br>3 +<br>° =<br>°<br>α<br>III sposób<br>Niech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem<br>pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są<br>50<br>°<br>α<br>oraz (<br>)<br>3<br>50<br>°<br>α<br>. Suma kątów trójkąta jest<br>równa 180°, więc<br>(<br>)<br>50<br>3<br>50<br>180<br>°+<br>° =<br>°<br>α<br>α<br>α<br>,<br>5<br>380<br>°<br>α<br>,<br>76<br>°<br>α<br>Stąd<br>50<br>26<br>° =<br>°<br>α<br>oraz (<br>)<br>3<br>50<br>78<br>° =<br>°<br>α<br>Schemat punktowania<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1 p.<br>Zdający zapisze:<br>• kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.:<br>α ,<br>50<br>α +<br>° , 3α lub<br>,<br>50 ,<br>3<br>3 +<br>°<br>α α<br>α , lub<br>(<br>)<br>50 ,<br>, 3<br>50<br>°<br>°<br>α<br>α<br>α<br>albo<br>• układ dwóch równań, np.<br>50<br>180<br>3 ,<br>α<br>α<br>β<br>β<br>α<br>°+<br>°<br><br><br><br>albo<br>• układ trzech równań, np.<br>180<br>3<br>50<br>α<br>β<br>γ<br>γ<br>α<br>β<br>α<br>°<br><br>=<br><br><br>°<br><br>i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.<br>Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.<br>Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:<br>3<br>50<br>180<br>α<br>α<br>α<br>° =<br>° lub<br>50<br>180<br>3<br>3<br>°+<br>°<br>α<br>α<br>α<br>, lub<br>(<br>)<br>50<br>3<br>50<br>180<br>° +<br>° =<br>°<br>α<br>α<br>α<br>i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.<br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.<br>Zdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.:<br>26<br>α =<br>° lub<br>78<br>°<br>α<br>, lub<br>76<br>°<br>α<br>i na tym<br>zakończy lub dalej popełnia błędy.<br>Rozwiązanie pełne 4 p.<br>Zdający obliczy wszystkie kąty trójkąta.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający tylko poda kąty (26°,76°,78°), to otrzymuje 1 punkt.</li><li>Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje</li></ol>\n<p>2 punkty.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B = (7, 4,5) i |AB| = 12,5</h4>\n<p><em>(Zadanie otwarte - &quot;A&quot; w kluczu to oznaczenie wersji arkusza, nie opcja wyboru.)</em></p>\n<h4>Sposób 1 - prosta prostopadła przez C</h4>\n<p><strong>Krok 1: Ustalamy, gdzie leży kąt prosty.</strong></p>\n<p>AB to <strong>przeciwprostokątna</strong>, więc kąt prosty leży przy wierzchołku <strong>C</strong>. Oznacza to:<br>\\[CB \\perp CA\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy kierunek prostej CA.</strong></p>\n<p>\\[\\vec{CA} = A - C = (-3-2,\\ -3-7) = (-5,\\ -10)\\]</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy prostej CA:<br>\\[a_{CA} = \\frac{-10}{-5} = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy kierunek prostej CB (prostopadłej do CA).</strong></p>\n<p>Z warunku prostopadłości \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):<br>\\[a_{CB} = -\\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Piszemy równanie prostej CB</strong> (przez C = (2, 7)):<br>\\[y - 7 = -\\frac{1}{2}(x - 2)\\]<br>\\[y = -\\frac{1}{2}x + 1 + 7 = -\\frac{1}{2}x + 8\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Szukamy punktu B</strong> - przecięcie prostej CB z prostą AB \\(\\left(y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4}\\right)\\):<br>\\[\\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4} = -\\frac{1}{2}x + 8\\]<br>\\[\\frac{3}{4}x + \\frac{2}{4}x = 8 + \\frac{3}{4}\\]<br>\\[\\frac{5}{4}x = \\frac{35}{4}\\]<br>\\[x = 7\\]</p>\n<p>\\[y = -\\frac{1}{2} \\cdot 7 + 8 = -\\frac{7}{2} + 8 = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{B = \\left(7,\\ \\frac{9}{2}\\right)}\\]</p>\n<p><strong>Krok 6: Obliczamy długość AB.</strong></p>\n<p>\\(A = (-3,\\ -3)\\), \\(B = \\left(7,\\ \\frac{9}{2}\\right)\\):<br>\\[|AB| = \\sqrt{(7-(-3))^2 + \\left(\\frac{9}{2}-(-3)\\right)^2} = \\sqrt{10^2 + \\left(\\frac{15}{2}\\right)^2}\\]<br>\\[= \\sqrt{100 + \\frac{225}{4}} = \\sqrt{\\frac{400+225}{4}} = \\sqrt{\\frac{625}{4}} = \\frac{25}{2}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{|AB| = \\frac{25}{2} = 12{,}5}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - warunek prostopadłości przez iloczyn skalarny</h4>\n<p><strong>Parametryzujemy punkt B</strong> leżący na prostej \\(y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{4}\\):<br>\\[B = \\left(t,\\ \\frac{3t-3}{4}\\right)\\]</p>\n<p><strong>Warunek kąta prostego w C</strong> - wektory \\(\\vec{CA}\\) i \\(\\vec{CB}\\) muszą być prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarny = 0:<br>\\[\\vec{CA} = (-5,\\ -10), \\qquad \\vec{CB} = \\left(t-2,\\ \\frac{3t-3}{4}-7\\right) = \\left(t-2,\\ \\frac{3t-31}{4}\\right)\\]</p>\n<p>\\[\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = (-5)(t-2) + (-10)\\cdot\\frac{3t-31}{4} = 0\\]<br>\\[-5(t-2) - \\frac{10(3t-31)}{4} = 0\\quad \\Big/\\cdot 4\\]<br>\\[-20(t-2) - 10(3t-31) = 0\\]<br>\\[-20t + 40 - 30t + 310 = 0\\]<br>\\[-50t + 350 = 0\\]<br>\\[t = 7\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[y_B = \\frac{3 \\cdot 7 - 3}{4} = \\frac{18}{4} = \\frac{9}{2}\\]</p>\n<p>Wynik identyczny: <strong>B = (7, 4,5)</strong>, \\(|AB| = \\frac{25}{2}\\).</p>\n<p><strong>Weryfikacja kąta prostego:</strong><br>\\[\\vec{CA} = (-5,\\ -10), \\quad \\vec{CB} = (5,\\ -\\frac{5}{2})\\]<br>\\[\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = (-5)(5) + (-10)\\left(-\\frac{5}{2}\\right) = -25 + 25 = 0 \\ \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<ul><li>Długość odcinka:</li></ul>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyte do obliczenia \\(|AB|\\) w kroku 6.</p>\n<ul><li>Warunek prostopadłości prostych (współczynniki kierunkowe):</li></ul>\n<p>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyte do wyznaczenia kierunku prostej CB.</p>\n<ul><li>Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\)</li></ul>\n<p>Użyte do zapisania prostej CB.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt prosty jest <strong>przy C</strong>, nie przy B! &quot;Przeciwprostokątna&quot; to najdłuższy bok naprzeciwko kąta prostego - skoro przeciwprostokątna to AB, kąt prosty musi być przy C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(\\frac{9}{2} - (-3) = \\frac{9}{2} + 3 = \\frac{15}{2}\\), nie \\(\\frac{9}{2} - 3 = \\frac{3}{2}\\). Mylenie znaku w tym miejscu daje błędne \\(|AB|\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to <strong>odwrotność ze zmianą znaku</strong>: jeśli \\(a_1 = 2\\), to \\(a_2 = -\\frac{1}{2}\\), a nie \\(-2\\) ani \\(\\frac{1}{2}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(B = \\left(7, 4\\tfrac{1}{2}\\right)\\), \\(|AB| = \\dfrac{25}{2} = 12\\tfrac{1}{2}\\)</p>\n<h5>Sposób 1 - Prostopadłość prostych (karta wzorów)</h5>\n<p>Współczynnik kierunkowy \\(AC\\):<br>\\[a_{AC} = \\dfrac{7-(-3)}{2-(-3)} = \\dfrac{10}{5} = 2.\\]<br>Skoro \\(\\measuredangle ACB = 90^{\\circ}\\) (prosty), to \\(CB\\perp AC\\). Współczynnik \\(a_{CB}\\cdot a_{AC} = -1 \\Rightarrow a_{CB} = -\\tfrac{1}{2}\\).</p>\n<p>Prosta \\(CB\\) przez \\(C=(2,7)\\): \\(y - 7 = -\\tfrac{1}{2}(x-2)\\), czyli \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 8\\).</p>\n<p>Współrzędne \\(B\\) z układu:<br>\\[y = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{3}{4}, \\quad y = -\\tfrac{1}{2}x + 8.\\]<br>\\[\\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{3}{4} = -\\tfrac{1}{2}x + 8.\\]<br>Mnożymy przez 4: \\(3x - 3 = -2x + 32 \\Rightarrow 5x = 35 \\Rightarrow x = 7\\).<br>\\(y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 7 + 8 = -3{,}5 + 8 = 4{,}5 = 4\\tfrac{1}{2}\\).<br>Zatem \\(B = \\left(7, 4\\tfrac{1}{2}\\right)\\).</p>\n<p>Długość \\(AB\\):<br>\\[|AB| = \\sqrt{(7-(-3))^{2} + (4{,}5-(-3))^{2}} = \\sqrt{100 + 7{,}5^{2}} = \\sqrt{100 + 56{,}25} = \\sqrt{156{,}25} = 12{,}5.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez Pitagorasa i wektory</h5>\n<p>\\(|AC| = \\sqrt{5^{2}+10^{2}} = \\sqrt{125} = 5\\sqrt{5}\\). Punkt \\(B\\) leży na \\(y=\\tfrac{3}{4}x-\\tfrac{3}{4}\\), i z warunku prostopadłości \\(\\vec{CA}\\cdot\\vec{CB}=0\\) wyznaczamy \\(B\\), jak w sposobie 1.</p>\n<h5>Sposób 3 - Symetralna</h5>\n<p>\\(AB\\) to przeciwprostokątna, więc \\(S\\) (środek \\(AB\\)) = środek okręgu opisanego na \\(ABC\\). \\(S\\) jest na symetralnej boku \\(AC\\) oraz na prostej \\(AB\\). Środek \\(AC\\): \\(M=\\left(-\\tfrac{1}{2},2\\right)\\). Symetralna \\(MS\\): \\(y=-\\tfrac{1}{2}x+\\tfrac{7}{4}\\). Z układu z \\(AB\\) dostajemy \\(S=\\left(2,\\tfrac{3}{4}\\right)\\). Z \\(S=\\left(\\tfrac{-3+x_{B}}{2},\\tfrac{-3+y_{B}}{2}\\right)\\) wyznaczamy \\(B=\\left(7,4\\tfrac{1}{2}\\right)\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>1 p.: wyznaczenie \\(a_{AC}=2\\) lub równania \\(CB\\).</li><li>2 p.: wyznaczenie równania \\(CB: y=-\\tfrac{1}{2}x+8\\).</li><li>3 p.: obliczenie współrzędnych \\(B=(7,4\\tfrac{1}{2})\\).</li><li>4 p.: obliczenie \\(|AB|=12\\tfrac{1}{2}\\).</li><li><strong>Błędna interpretacja</strong> (przyjęcie \\(B\\) jako wierzchołka kąta prostego): 0 pkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w trójkącie prostokątnym wierzchołek kąta prostego to \\(C\\) (bo \\(AB\\) jest przeciwprostokątną); boki \\(CA\\) i \\(CB\\) są prostopadłe.</p>"}]}