{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (5 pkt)\nGrupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy\n960 złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy\nwyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu\nprzypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o 16 złotych. Oblicz, ile osób wyjechało\nna biwak.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje zadania (również\numieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do równań\ni nierówności kwadratowych (3.b).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia:\nx - początkowa liczba osób planujących wyjazd, gdzie x jest liczbą naturalną dodatnią;\ny - początkowy koszt wynajęcia busa przypadający na jednego uczestnika biwaku,\n16\ny >\nZapisujemy zależność między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe,\na ostatecznym jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: (\n) (\n)\n2\n16\n960\nx\ny\n⋅\nZapisujemy układ równań, np. (\n) (\n)\n960\n2\n16\n960\nx y\nx\ny\n⋅\n\n⋅\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n960\ny\nx\n,\n960\nx\ny\n,\npodstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy\n(\n)\n960\n2\n16\n960\nx\nx\n\n\n⋅\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.:\n2\n2\n120\n0\nx\nx\nObliczamy\n2\n4\n480\n22\nΔ =\n,\n1\n2\n22\n12\n2\nx\n, co jest sprzeczne\nz założeniem\n0\nx >\n,\n2\n2\n22\n10\n2\nx\nObliczamy liczbę osób, które wyjechały\nna biwak\n2\n12\nx +\n(\n)\n960\n2\n16\n960\ny\ny\n\n\n⋅\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.:\n2\n16\n7680\n0\ny\ny\nObliczamy\n2\n256\n30720\n176\nΔ =\n,\n1\n16 176\n80\n2\ny\n, co jest sprzeczne\nz założeniem\n16\ny >\n,\n2\n16 176\n96\n2\ny\nObliczamy początkową liczbę osób\nplanujących wyjazd\n960\n10\n96\nx =\noraz\nobliczamy liczbę osób, które wyjechały na\nbiwak\n2\n12\nx +\nOdpowiedź: Ostatecznie na biwak wyjechało 12 osób.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZapisanie zależności między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe,\na jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: (\n) (\n)\n2\n16\n960\nx\ny\n⋅\n, gdzie x oznacza\npoczątkową liczbę osób planujących wyjazd, a y - jednostkowy początkowy koszt wynajęcia\nbusa.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y - odpowiednio z początkową liczbę osób\nplanujących wyjazd i jednostkowym początkowym kosztem wynajęcia busa:\n(\n) (\n)\n960\n2\n16\n960.\nx y\nx\ny\n⋅\n\n⋅\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający sprowadzi układ równań do równania z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n960\n2\n16\n960\nx\nx\n\n\n⋅\n\n\n\n\nlub\n(\n)\n960\n2\n16\n960\ny\ny\n\n\n⋅\n\n\n\n\n, lub\n2\n2\n120\n0\nx\nx\n,\nlub\n2\n16\n7680\n0\ny\ny\nUwaga:\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.\nZdający\n• rozwiąże równanie z niewiadomą x z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku\nalbo\n• rozwiąże równanie z niewiadomą x i nie obliczy liczby osób uczestniczących\nw biwaku,\nalbo\n• rozwiąże równanie z niewiadomą y i nie obliczy liczby osób uczestniczących\nw biwaku,\nalbo\n• obliczy y z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczy liczbę osób\nuczestniczących w biwaku.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku: 12.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda rozwiązanie, to może otrzymać maksymalnie 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający założy, że koszt jest liczbą całkowitą, rozpatrzy rozkłady liczby 960 na\niloczyn dwóch czynników, wśród których są rozkłady:\n10 96\n960\n12 80\n960\n⋅\n⋅\ni poda poprawną odpowiedź, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający przyjmie x jako liczbę osób, które ostatecznie pojechały na biwak i poda\n2\n14\nx +\n, to może otrzymać maksymalnie 4 punkty.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Jeżeli zdający popełni błąd (np.:\n2\n2\n22\n12\n2\nx\nlub rachunkowy) w wyznaczaniu\npierwiastków równania kwadratowego, przy czym otrzyma przynajmniej jedno\nrozwiązanie naturalne i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać\n5 punktów.\n2. Jeżeli zdający otrzyma poprawne równanie wymierne, a następnie przekształci je\nz błędem do równania kwadratowego i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\nmoże otrzymać 5 punktów, o ile otrzymane równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie\nnaturalne.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 21\\sqrt{7}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie boku podstawy z kąta nachylenia i krawędzi bocznej\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(a\\) - bok trójkąta równobocznego \\(ABC\\)\n- \\(H\\) - wysokość ostrosłupa\n- \\(O\\) - środek podstawy (który jest też środkiem ciężkości i środkiem okręgu wpisanego)\n- \\(M\\) - środek krawędzi \\(AB\\)\n\n**Krok 1 - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.**\n\nKąt dwuścienny między ścianą boczną \\(SAB\\) a podstawą mierzymy wzdłuż krawędzi \\(AB\\). Prostopadłe do \\(AB\\) w obu płaszczyznach - ze strony podstawy to odcinek \\(MO\\) (apotema podstawy), ze strony ściany to odcinek \\(MS\\) (apotema boczna ostrosłupa).\n\nSzukany kąt to \\(\\angle OMS = 60°\\) (w trójkącie prostokątnym \\(OMS\\), kąt prosty w \\(O\\)).\n\nApotema podstawy (promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)):\n\\[r = \\frac{a}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]\n\nZ trójkąta \\(OMS\\):\n\\[\\operatorname{tg}60° = \\frac{H}{r} \\implies \\sqrt{3} = \\frac{H}{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}} \\implies H = \\sqrt{3} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{3a}{6} = \\frac{a}{2}\\]\n\n**Zatem \\(H = \\dfrac{a}{2}\\).**\n\n**Krok 2 - wyznaczenie \\(a\\) z długości krawędzi bocznej.**\n\nKrawędź boczna \\(SC = 7\\). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (odległość od środka do wierzchołka):\n\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(SOC\\) (kąt prosty w \\(O\\)):\n\\[SC^2 = H^2 + R^2\\]\n\\[49 = \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{3a^2}{9} = \\frac{a^2}{4} + \\frac{a^2}{3}\\]\n\\[49 = a^2\\left(\\frac{3}{12} + \\frac{4}{12}\\right) = a^2 \\cdot \\frac{7}{12}\\]\n\\[a^2 = 49 \\cdot \\frac{12}{7} = 84\\]\n\n**Krok 3 - wysokość ostrosłupa.**\n\\[H = \\frac{a}{2} \\implies H^2 = \\frac{a^2}{4} = \\frac{84}{4} = 21 \\implies H = \\sqrt{21}\\]\n\n**Krok 4 - pole podstawy.**\n\\[P_{ABC} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{84\\sqrt{3}}{4} = 21\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 5 - objętość ostrosłupa.**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_{ABC} \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 21\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{21}\\]\n\\[V = 7\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{21} = 7\\sqrt{63} = 7 \\cdot 3\\sqrt{7}\\]\n\\[\\boxed{V = 21\\sqrt{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie krawędzi bocznej\n\nZe znalezionych wartości \\(a^2 = 84\\), \\(H = \\sqrt{21}\\):\n\n\\[R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}, \\quad R^2 = \\frac{3a^2}{9} = \\frac{a^2}{3} = \\frac{84}{3} = 28\\]\n\nSprawdzamy krawędź boczną:\n\\[SC^2 = H^2 + R^2 = 21 + 28 = 49 \\implies SC = 7 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy kąt nachylenia ściany:\n\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}, \\quad r^2 = \\frac{3 \\cdot 84}{36} = 7 \\implies r = \\sqrt{7}\\]\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle OMS) = \\frac{H}{r} = \\frac{\\sqrt{21}}{\\sqrt{7}} = \\sqrt{3} \\implies \\angle OMS = 60° \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny: \\(V = 21\\sqrt{7}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\quad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia pola podstawy oraz apotemy \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\nPodstawowy wzór zastosowany w kroku 5.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\):\nUżyliśmy do powiązania wysokości ostrosłupa z apotema podstawy przez kąt nachylenia ściany.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany bocznej NIE jest kątem między krawędzią boczną \\(SC\\) a podstawą! To kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą - mierzymy go przez apotemy (prostopadle do krawędzi wspólnej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić promień okręgu opisanego \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) z promieniem wpisanego \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\). Do kąta nachylenia ściany używamy \\(r\\) (apotema podstawy), do długości krawędzi bocznej używamy \\(R\\) (odległość od środka do wierzchołka).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{63} = \\sqrt{9 \\cdot 7} = 3\\sqrt{7}\\) - nie zostawiaj wyniku w formie \\(7\\sqrt{63}\\), zawsze upraszczaj pierwiastek!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = 21\\sqrt{7}\\)\n\n### Sposób 1 - Przez wysokość ostrosłupa (karta wzorów)\nOstrosłup prawidłowy: podstawa - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Niech \\(O\\) to spodek wysokości (środek okręgu wpisanego/opisanego na podstawie). \\(D\\) - środek krawędzi podstawy (np. \\(BC\\)).\n\nW trójkącie równobocznym:\n\\[|AO| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{3} \\quad\\text{(promień okręgu opisanego)},\\]\n\\[|OD| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6} \\quad\\text{(promień okręgu wpisanego)}.\\]\n\nKąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt \\(\\measuredangle SDO = 60^{\\circ}\\):\n\\[\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\dfrac{H}{|OD|} \\Rightarrow H = |OD|\\cdot \\sqrt{3} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\cdot \\sqrt{3} = \\dfrac{a}{2}.\\]\n\nZ trójkąta \\(AOS\\) (prostokątnego): \\(|AO|^{2} + H^{2} = |AS|^{2}\\):\n\\[\\left(\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} + \\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^{2} = 7^{2},\\]\n\\[\\dfrac{a^{2}}{3} + \\dfrac{a^{2}}{4} = 49,\\]\n\\[\\dfrac{4a^{2}+3a^{2}}{12} = 49 \\Rightarrow 7a^{2} = 49\\cdot 12 \\Rightarrow a^{2} = 84 \\Rightarrow a = 2\\sqrt{21}.\\]\n\nWysokość: \\(H = \\tfrac{a}{2} = \\sqrt{21}\\).\nPole podstawy: \\(P = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{84\\sqrt{3}}{4} = 21\\sqrt{3}\\).\nObjętość:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P\\cdot H = \\dfrac{1}{3}\\cdot 21\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{21} = 7\\sqrt{3\\cdot 21} = 7\\sqrt{63} = 7\\cdot 3\\sqrt{7} = 21\\sqrt{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Oznaczenie \\(|OD|=x\\)\nWysokość ściany bocznej \\(h = 2x\\) (bo \\(\\cos 60^{\\circ} = \\tfrac{|OD|}{h} = \\tfrac{x}{2x}\\)). Wysokość ostrosłupa: \\(H = x\\sqrt{3}\\). Promień opisany na podstawie: \\(|OA|=2x\\) (bo \\(|OA|=2|OD|\\)). Bok \\(a = 2x\\sqrt{3}\\).\n\nZ Pitagorasa w trójkącie \\(AOS\\): \\((2x)^{2}+(x\\sqrt{3})^{2}=7^{2}\\):\n\\(4x^{2}+3x^{2}=49 \\Rightarrow x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\sqrt{7}\\).\n\nZatem \\(H=\\sqrt{21}\\), \\(a=2\\sqrt{21}\\), \\(V=21\\sqrt{7}\\) (jak wyżej).\n\n### Sposób 3 - Przybliżenie\n\\(V = 21\\sqrt{7} \\approx 21\\cdot 2{,}6458 \\approx 55{,}56\\). (Wg CKE to dopuszczalna postać.)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 p.: zaznaczenie kąta nachylenia lub \\(|AO|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\) lub \\(|OD|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\).\n- 2 p.: wyznaczenie zależności w zależności od jednej zmiennej (np. \\(H=\\tfrac{a}{2}\\)).\n- 3 p.: pokonanie zasadniczych trudności (wyznaczenie wysokości \\(H\\) w zależności od \\(a\\)).\n- 4 p.: obliczenie \\(H=\\sqrt{21}\\) i \\(a=2\\sqrt{21}\\).\n- 5 p.: obliczenie \\(V=21\\sqrt{7}\\).\n\n**Trik:** w ostrosłupie prawidłowym **trójkątnym**: spodek wysokości to środek okręgu zarówno wpisanego, jak i opisanego na podstawie (bo trójkąt równoboczny). \\(|OA|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\), \\(|OD|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (5 pkt)
Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy
960 złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy
wyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu
przypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o 16 złotych. Oblicz, ile osób wyjechało
na biwak.

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje zadania (również
\n

umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do równań
i nierówności kwadratowych (3.b).
Przykładowe rozwiązanie
Przyjmujemy oznaczenia:
x - początkowa liczba osób planujących wyjazd, gdzie x jest liczbą naturalną dodatnią;
y - początkowy koszt wynajęcia busa przypadający na jednego uczestnika biwaku,
16
y >
Zapisujemy zależność między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe,
a ostatecznym jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: (
) (
)
2
16
960
x
y
⋅
Zapisujemy układ równań, np. (
) (
)
960
2
16
960
x y
x
y
⋅

⋅

Z pierwszego równania wyznaczamy
960
y
x
,
960
x
y
,
podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy
(
)
960
2
16
960
x
x


⋅




Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.:
2
2
120
0
x
x
Obliczamy
2
4
480
22
Δ =
,
1
2
22
12
2
x
, co jest sprzeczne
z założeniem
0
x >
,
2
2
22
10
2
x
Obliczamy liczbę osób, które wyjechały
na biwak
2
12
x +
(
)
960
2
16
960
y
y


⋅




Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np.:
2
16
7680
0
y
y
Obliczamy
2
256
30720
176
Δ =
,
1
16 176
80
2
y
, co jest sprzeczne
z założeniem
16
y >
,
2
16 176
96
2
y
Obliczamy początkową liczbę osób
planujących wyjazd
960
10
96
x =
oraz
obliczamy liczbę osób, które wyjechały na
biwak
2
12
x +
Odpowiedź: Ostatecznie na biwak wyjechało 12 osób.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zapisanie zależności między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe,
a jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: (
) (
)
2
16
960
x
y
⋅
, gdzie x oznacza
początkową liczbę osób planujących wyjazd, a y - jednostkowy początkowy koszt wynajęcia
busa.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y - odpowiednio z początkową liczbę osób
planujących wyjazd i jednostkowym początkowym kosztem wynajęcia busa:
(
) (
)
960
2
16
960.
x y
x
y
⋅

⋅

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający sprowadzi układ równań do równania z jedną niewiadomą, np.:
(
)
960
2
16
960
x
x


⋅




lub
(
)
960
2
16
960
y
y


⋅




, lub
2
2
120
0
x
x
,
lub
2
16
7680
0
y
y
Uwaga:
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.
Zdający
• rozwiąże równanie z niewiadomą x z błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku
albo
• rozwiąże równanie z niewiadomą x i nie obliczy liczby osób uczestniczących
w biwaku,
albo
• rozwiąże równanie z niewiadomą y i nie obliczy liczby osób uczestniczących
w biwaku,
albo
• obliczy y z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczy liczbę osób
uczestniczących w biwaku.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku: 12.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający tylko poda rozwiązanie, to może otrzymać maksymalnie 1 punkt.
  2. Jeżeli zdający założy, że koszt jest liczbą całkowitą, rozpatrzy rozkłady liczby 960 na
\n

iloczyn dwóch czynników, wśród których są rozkłady:
10 96
960
12 80
960
⋅
⋅
i poda poprawną odpowiedź, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie x jako liczbę osób, które ostatecznie pojechały na biwak i poda
\n

2
14
x +
, to może otrzymać maksymalnie 4 punkty.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd (np.:
\n

2
2
22
12
2
x
lub rachunkowy) w wyznaczaniu
pierwiastków równania kwadratowego, przy czym otrzyma przynajmniej jedno
rozwiązanie naturalne i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać
5 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający otrzyma poprawne równanie wymierne, a następnie przekształci je
\n

z błędem do równania kwadratowego i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
może otrzymać 5 punktów, o ile otrzymane równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie
naturalne.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(V = 21\\sqrt{7}\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie boku podstawy z kąta nachylenia i krawędzi bocznej

\n

Oznaczenia:

\n\n

Krok 1 - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

\n

Kąt dwuścienny między ścianą boczną \\(SAB\\) a podstawą mierzymy wzdłuż krawędzi \\(AB\\). Prostopadłe do \\(AB\\) w obu płaszczyznach - ze strony podstawy to odcinek \\(MO\\) (apotema podstawy), ze strony ściany to odcinek \\(MS\\) (apotema boczna ostrosłupa).

\n

Szukany kąt to \\(\\angle OMS = 60°\\) (w trójkącie prostokątnym \\(OMS\\), kąt prosty w \\(O\\)).

\n

Apotema podstawy (promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)):
\\[r = \\frac{a}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]

\n

Z trójkąta \\(OMS\\):
\\[\\operatorname{tg}60° = \\frac{H}{r} \\implies \\sqrt{3} = \\frac{H}{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}} \\implies H = \\sqrt{3} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{3a}{6} = \\frac{a}{2}\\]

\n

Zatem \\(H = \\dfrac{a}{2}\\).

\n

Krok 2 - wyznaczenie \\(a\\) z długości krawędzi bocznej.

\n

Krawędź boczna \\(SC = 7\\). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (odległość od środka do wierzchołka):
\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(SOC\\) (kąt prosty w \\(O\\)):
\\[SC^2 = H^2 + R^2\\]
\\[49 = \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{3a^2}{9} = \\frac{a^2}{4} + \\frac{a^2}{3}\\]
\\[49 = a^2\\left(\\frac{3}{12} + \\frac{4}{12}\\right) = a^2 \\cdot \\frac{7}{12}\\]
\\[a^2 = 49 \\cdot \\frac{12}{7} = 84\\]

\n

Krok 3 - wysokość ostrosłupa.
\\[H = \\frac{a}{2} \\implies H^2 = \\frac{a^2}{4} = \\frac{84}{4} = 21 \\implies H = \\sqrt{21}\\]

\n

Krok 4 - pole podstawy.
\\[P_{ABC} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{84\\sqrt{3}}{4} = 21\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 5 - objętość ostrosłupa.
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_{ABC} \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 21\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{21}\\]
\\[V = 7\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{21} = 7\\sqrt{63} = 7 \\cdot 3\\sqrt{7}\\]
\\[\\boxed{V = 21\\sqrt{7}}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie krawędzi bocznej

\n

Ze znalezionych wartości \\(a^2 = 84\\), \\(H = \\sqrt{21}\\):

\n

\\[R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}, \\quad R^2 = \\frac{3a^2}{9} = \\frac{a^2}{3} = \\frac{84}{3} = 28\\]

\n

Sprawdzamy krawędź boczną:
\\[SC^2 = H^2 + R^2 = 21 + 28 = 49 \\implies SC = 7 \\checkmark\\]

\n

Sprawdzamy kąt nachylenia ściany:
\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}, \\quad r^2 = \\frac{3 \\cdot 84}{36} = 7 \\implies r = \\sqrt{7}\\]
\\[\\operatorname{tg}(\\angle OMS) = \\frac{H}{r} = \\frac{\\sqrt{21}}{\\sqrt{7}} = \\sqrt{3} \\implies \\angle OMS = 60° \\checkmark\\]

\n

Wynik zgodny: \\(V = 21\\sqrt{7}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\quad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia pola podstawy oraz apotemy \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\).

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]
Podstawowy wzór zastosowany w kroku 5.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartość \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\):
Użyliśmy do powiązania wysokości ostrosłupa z apotema podstawy przez kąt nachylenia ściany.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia ściany bocznej NIE jest kątem między krawędzią boczną \\(SC\\) a podstawą! To kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą - mierzymy go przez apotemy (prostopadle do krawędzi wspólnej).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić promień okręgu opisanego \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) z promieniem wpisanego \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\). Do kąta nachylenia ściany używamy \\(r\\) (apotema podstawy), do długości krawędzi bocznej używamy \\(R\\) (odległość od środka do wierzchołka).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{63} = \\sqrt{9 \\cdot 7} = 3\\sqrt{7}\\) - nie zostawiaj wyniku w formie \\(7\\sqrt{63}\\), zawsze upraszczaj pierwiastek!
\n

Poprawna odpowiedź: \\(V = 21\\sqrt{7}\\)

\n
Sposób 1 - Przez wysokość ostrosłupa (karta wzorów)
\n

Ostrosłup prawidłowy: podstawa - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Niech \\(O\\) to spodek wysokości (środek okręgu wpisanego/opisanego na podstawie). \\(D\\) - środek krawędzi podstawy (np. \\(BC\\)).

\n

W trójkącie równobocznym:
\\[|AO| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{3} \\quad\\text{(promień okręgu opisanego)},\\]
\\[|OD| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6} \\quad\\text{(promień okręgu wpisanego)}.\\]

\n

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt \\(\\measuredangle SDO = 60^{\\circ}\\):
\\[\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\dfrac{H}{|OD|} \\Rightarrow H = |OD|\\cdot \\sqrt{3} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\cdot \\sqrt{3} = \\dfrac{a}{2}.\\]

\n

Z trójkąta \\(AOS\\) (prostokątnego): \\(|AO|^{2} + H^{2} = |AS|^{2}\\):
\\[\\left(\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} + \\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^{2} = 7^{2},\\]
\\[\\dfrac{a^{2}}{3} + \\dfrac{a^{2}}{4} = 49,\\]
\\[\\dfrac{4a^{2}+3a^{2}}{12} = 49 \\Rightarrow 7a^{2} = 49\\cdot 12 \\Rightarrow a^{2} = 84 \\Rightarrow a = 2\\sqrt{21}.\\]

\n

Wysokość: \\(H = \\tfrac{a}{2} = \\sqrt{21}\\).
Pole podstawy: \\(P = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{84\\sqrt{3}}{4} = 21\\sqrt{3}\\).
Objętość:
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P\\cdot H = \\dfrac{1}{3}\\cdot 21\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{21} = 7\\sqrt{3\\cdot 21} = 7\\sqrt{63} = 7\\cdot 3\\sqrt{7} = 21\\sqrt{7}.\\]

\n
Sposób 2 - Oznaczenie \\(|OD|=x\\)
\n

Wysokość ściany bocznej \\(h = 2x\\) (bo \\(\\cos 60^{\\circ} = \\tfrac{|OD|}{h} = \\tfrac{x}{2x}\\)). Wysokość ostrosłupa: \\(H = x\\sqrt{3}\\). Promień opisany na podstawie: \\(|OA|=2x\\) (bo \\(|OA|=2|OD|\\)). Bok \\(a = 2x\\sqrt{3}\\).

\n

Z Pitagorasa w trójkącie \\(AOS\\): \\((2x)^{2}+(x\\sqrt{3})^{2}=7^{2}\\):
\\(4x^{2}+3x^{2}=49 \\Rightarrow x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\sqrt{7}\\).

\n

Zatem \\(H=\\sqrt{21}\\), \\(a=2\\sqrt{21}\\), \\(V=21\\sqrt{7}\\) (jak wyżej).

\n
Sposób 3 - Przybliżenie
\n

\\(V = 21\\sqrt{7} \\approx 21\\cdot 2{,}6458 \\approx 55{,}56\\). (Wg CKE to dopuszczalna postać.)

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym: spodek wysokości to środek okręgu zarówno wpisanego, jak i opisanego na podstawie (bo trójkąt równoboczny). \\(|OA|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\), \\(|OD|=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\).

"}]}