Zadanie 34. (4 pkt)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej
liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma
wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego
nieskracalnego.
Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Zadanie 34. (0-4)
III. Modelowanie
matematyczne.
i kombinatoryka. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach
kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów
kombinatorycznych; stosuje zasadę mnożenia, wykorzystuje
własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako
klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń (10.b,d).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para (
)
,x y dwóch różnych liczb ze zbioru
{
}
10,11,12, ,99 , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest
równa
90 89
Ω =
⋅
. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne. Mamy więc
do czynienia z modelem klasycznym.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem
zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(
)
10,20 , (
)
11,19 , (
)
12,18 , (
)
13,17 , (
)
14,16 , (
)
16,14 , (
)
17,13 , (
)
18,12 , (
)
19,11 , (
)
20,10 .
Ich liczba jest równa
10
A
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
10
1
1
90 89
9 89
801
Ω
⋅
⋅
A
P A
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1
801.
II sposób
Zdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy {
}
,x y dwóch różnych liczb ze zbioru
{
}
10,11,12, ,99 , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest
równa
( )
90
2
90!
90 89
4005
88! 2!
2
⋅
Ω =
⋅
. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo
prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem
zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
{
}
10,20 , {
}
11,19 , {
}
12,18 , {
}
13,17 , {
}
14,16 .
Ich liczba jest równa
5
A =
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
5
1
1
45 89
9 89
801
A
P A =
Ω
⋅
⋅
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1
801.
III sposób
Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji
sprzyjających zdarzeniu A (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie
równa 30).
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
1
1
1
1
10 90 89
9 89
801
P A =
⋅
⋅
⋅
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1
801 .
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90
albo
wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
(
)
10,20 , (
)
11,19 , (
)
12,18 , (
)
13,17 , (
)
14,16 , (
)
16,14 , (
)
17,13 , (
)
18,12 , (
)
19,11 ,
(
)
20,10
lub {
}
10,20 , {
}
11,19 , {
}
12,18 , {
}
13,17 , {
}
14,16 ,
albo
• zapisze, że
10
A
lub
5
A =
,
1
90
1
90
1
90
1
90
1
90
1
90
1
90
1
90
1
90
1
90
1
89
1
89
1
89
1
89
1
89
1
89
1
89
1
89
1
89
1
89
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
albo
• narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić
wszystkie istotne gałęzie)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90
oraz wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
(
)
10,20 , (
)
11,19 , (
)
12,18 , (
)
13,17 , (
)
14,16 , (
)
16,14 , (
)
17,13 , (
)
18,12 , (
)
19,11 ,
(
)
20,10
lub {
}
10,20 , {
}
11,19 , {
}
12,18 , {
}
13,17 , {
}
14,16
albo
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz zapisze, że
10
A
lub
5
A =
,
albo
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
90 89
Ω =
⋅
lub
( )
90
2
Ω =
, lub
90 89
2
⋅
Ω =
, lub
4005
Ω =
,
albo
• narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na
wszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
90 89
Ω =
⋅
oraz zapisze, że
10
A
albo
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
( )
90
2
Ω =
lub
90 89
2
⋅
Ω =
, lub
4005
Ω =
oraz zapisze, że
5
A =
,
albo
• obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa:
1
1
90 89
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
( )
1
801
A
P A =
Ω
Uwagi:
przy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie
elementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje
3 punkty.
rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.
\notrzymać, co najwyżej 2 punkty.
\nsprzyjających zdarzeniu A zapisze następujące sumy 10
20
, 11 19
, 12 18
, 13 17
,
14 16
, 16 14
, 17 13
, 18 12
, 19 11
, 20 10
(lub tylko 10
20
, 11 19
, 12 18
,
13 17
, 14 16
).
wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, zapisuje sumę 15 15
i na
tym zakończy to otrzymuje 1 punkt.
1
801 , to otrzymuje za całe
rozwiązanie 1 punkt.
Krok 1: Policz przestrzeń zdarzeń elementarnych
\nLosujemy 2 różne liczby ze zbioru 7-elementowego, kolejność nie ma znaczenia (para \\(\\{1, 5\\}\\) to to samo co \\(\\{5, 1\\}\\)), więc:
\n\\[|\\Omega| = \\binom{7}{2} = \\frac{7 \\cdot 6}{2} = 21\\]
\nKrok 2: Policz zdarzenia sprzyjające
\nChcemy, żeby większa z dwóch wylosowanych liczb wynosiła dokładnie 5.
\nTo znaczy:
\nMożliwe pary: \\(\\{1, 5\\},\\ \\{2, 5\\},\\ \\{3, 5\\},\\ \\{4, 5\\}\\)
\n\\[|A| = 4\\]
\nKrok 3: Oblicz prawdopodobieństwo
\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{21}\\]
\nWypisujemy wszystkie \\(\\binom{7}{2} = 21\\) par i sprawdzamy, w których większa wynosi 5.
\nPary zawierające 5:
\\[\\{1,5\\},\\ \\{2,5\\},\\ \\{3,5\\},\\ \\{4,5\\},\\ \\{5,6\\},\\ \\{5,7\\}\\]
W parach \\(\\{5,6\\}\\) i \\(\\{5,7\\}\\) liczba 5 nie jest większa (bo 6 > 5 i 7 > 5) - te nie należą do zdarzenia \\(A\\).
\nZdarzenia sprzyjające to tylko:
\\[\\{1,5\\},\\ \\{2,5\\},\\ \\{3,5\\},\\ \\{4,5\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 4 \\text{ pary}\\]
\\[\\boxed{P(A) = \\frac{4}{21}}\\]
\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓
\nDział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - kombinacje:
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyliśmy tego do policzenia liczby wszystkich możliwych par: \\(\\binom{7}{2} = 21\\).
Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Podstawowy wzór użyty w Kroku 3.
⚠️ Uwaga: Nie mylić warunku "większa wynosi 5" z "5 jest wylosowana". Parę \\(\\{5, 6\\}\\) też zawiera 5 - ale tu 5 nie jest większa! Takie pary nie należą do zdarzenia.\n
⚠️ Uwaga: Losowanie bez zwracania i bez kolejności → używamy kombinacji \\(\\binom{n}{k}\\), nie wariacji. Para \\(\\{2, 5\\}\\) to jeden wynik, nie dwa!\n
⚠️ Uwaga: Łatwy błąd to wzięcie \\(|\\Omega| = 7 \\cdot 6 = 42\\) (z uwzględnieniem kolejności). Wtedy licznik to \\(4 \\cdot 2 = 8\\) (bo \\(\\{5,1\\}\\) i \\(\\{1,5\\}\\) to różne wyniki) - i też wychodzi \\(\\frac{8}{42} = \\frac{4}{21}\\). Ale bezpieczniej od razu użyć kombinacji, żeby uniknąć pomyłki.\n
Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{4}{21}\\)
\nLiczymy wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru 7-elementowego:
\\[|\\Omega| = \\binom{7}{2} = \\dfrac{7!}{2!\\cdot 5!} = \\dfrac{7\\cdot 6}{2} = 21.\\]
Zdarzenie sprzyjające \\(A\\) = "5 jest większą z wylosowanych" oznacza, że drugą wylosowaną liczbę wybieramy spośród \\(\\{1, 2, 3, 4\\}\\):
\\[A = \\{\\{1,5\\}, \\{2,5\\}, \\{3,5\\}, \\{4,5\\}\\}, \\quad |A| = 4.\\]
\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{4}{21}.\\]
\nRozważamy uporządkowane pary \\((a,b)\\), \\(a\\ne b\\). \\(|\\Omega|=7\\cdot 6=42\\).
Zdarzenie \\(A\\): większa z dwóch to 5, czyli druga liczba \\(\\in\\{1,2,3,4\\}\\). Dla każdego z czterech elementów \\(\\{1,2,3,4\\}\\) są dwa porządki: \\((1,5), (5,1)\\), itd. Razem: \\(4\\cdot 2 = 8\\).
\\[P(A) = \\dfrac{8}{42} = \\dfrac{4}{21}.\\]
Pierwsza liczba losuje się z prawdopodobieństwem \\(\\tfrac{1}{7}\\). Przypadki:
\nSuma: \\(\\tfrac{4+4}{42} = \\tfrac{8}{42} = \\tfrac{4}{21}\\).
\nTrik: zdarzenie "większą jest liczba \\(k\\)" to liczba podzbiorów \\(\\{a, k\\}\\), gdzie \\(a < k\\). Dla \\(k=5\\) w zbiorze \\(\\{1,\\ldots,7\\}\\) mamy \\(4\\) takie zbiory, więc prawdopodobieństwo \\(\\tfrac{4}{\\binom{7}{2}} = \\tfrac{4}{21}\\).
"}]}