{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nRówność (\n)\n2\n2 2\n17 12 2\na\njest prawdziwa dla\nA.\n3\na =\nB.\n1\na =\nC.\n2\na = -\nD.\n3\na = -","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje\nsię wzorami skróconego mnożenia: (a ± b)2\n(2.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(200\\,000\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że mamy różnicę kwadratów dwóch liczb. Zamiast liczyć potęgi na piechotę (co dałoby ogromne liczby!), używamy wzoru skróconego mnożenia:\n\n\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 50001\\), \\(b = 49999\\):\n\n\\[50001^2 - 49999^2 = (50001 - 49999)(50001 + 49999)\\]\n\n\\[= 2 \\cdot 100000\\]\n\n\\[= \\mathbf{200\\,000}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie symetryczne\n\nMożemy zapisać obie liczby jako odchylenia od liczby środkowej \\(50000\\):\n\n\\[50001 = 50000 + 1, \\quad 49999 = 50000 - 1\\]\n\nOznaczamy \\(n = 50000\\), wtedy:\n\n\\[(n+1)^2 - (n-1)^2\\]\n\nRozwijamy każdy nawias ze wzoru \\((a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\):\n\n\\[(n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)\\]\n\n\\[= n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1\\]\n\n\\[= 4n\\]\n\n\\[= 4 \\cdot 50000 = \\mathbf{200\\,000}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - świetna weryfikacja!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n\\[(a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 przy rozwijaniu nawiasów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(2\\,000\\,000\\) | Pomyłka o rząd wielkości; np. błędne pomnożenie \\(2 \\cdot 1\\,000\\,000\\) zamiast \\(2 \\cdot 100\\,000\\) |\n| C - \\(20\\,000\\) | Pomyłka o rząd wielkości w drugą stronę; np. przyjęcie \\(a + b = 10\\,000\\) zamiast \\(100\\,000\\) |\n| D - \\(4\\) | Zapomniano o \\((a+b)\\) i wzięto tylko \\((a-b)^2 = 4\\), albo pomylono różnicę kwadratów z kwadratem różnicy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \\(50001^2\\) i \\(49999^2\\) oddzielnie - to ogromne liczby i łatwo o błąd arytmetyczny. Wzór na różnicę kwadratów pozwala ominąć całe to liczenie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić różnicę kwadratów \\(a^2 - b^2\\) z kwadratem różnicy \\((a-b)^2\\). To zupełnie różne wyrażenia - tu mamy \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu \\(50001 + 49999\\) uważaj na wynik - to \\(100\\,000\\), a nie \\(10\\,000\\). Jeden zero robi różnicę całego rzędu wielkości!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)\n\\[50001^2 - 49999^2 = (50001 - 49999)(50001 + 49999) = 2\\cdot 100000 = 200\\,000.\\]\n\n### Sposób 2 - Z rozwinięcia dwumianów\nNiech \\(a = 50000\\). Wtedy:\n\\[50001^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1,\\]\n\\[49999^2 = (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1.\\]\nRóżnica: \\((a^2 + 2a + 1) - (a^2 - 2a + 1) = 4a = 4\\cdot 50000 = 200\\,000\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\,000\\,000\\)** - za duża wartość; błąd w mnożeniu.\n- **C. \\(20\\,000\\)** - za mała.\n- **D. \\(4\\)** - ktoś zrobił \\((a+1)^2 - (a-1)^2\\) dla \\(a=1\\).\n\n**Trik:** ZAWSZE stosuj \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - to niesamowicie szybki sposób.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (1 pkt)<br>Równość (<br>)<br>2<br>2 2<br>17 12 2<br>a<br>jest prawdziwa dla<br>A.<br>3<br>a =<br>B.<br>1<br>a =<br>C.<br>2<br>a = -<br>D.<br>3<br>a = -</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje</li></ol>\n<p>się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b)2<br>(2.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(200\\,000\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów</h4>\n<p>Zauważamy, że mamy różnicę kwadratów dwóch liczb. Zamiast liczyć potęgi na piechotę (co dałoby ogromne liczby!), używamy wzoru skróconego mnożenia:</p>\n<p>\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = 50001\\), \\(b = 49999\\):</p>\n<p>\\[50001^2 - 49999^2 = (50001 - 49999)(50001 + 49999)\\]</p>\n<p>\\[= 2 \\cdot 100000\\]</p>\n<p>\\[= \\mathbf{200\\,000}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Podstawienie symetryczne</h4>\n<p>Możemy zapisać obie liczby jako odchylenia od liczby środkowej \\(50000\\):</p>\n<p>\\[50001 = 50000 + 1, \\quad 49999 = 50000 - 1\\]</p>\n<p>Oznaczamy \\(n = 50000\\), wtedy:</p>\n<p>\\[(n+1)^2 - (n-1)^2\\]</p>\n<p>Rozwijamy każdy nawias ze wzoru \\((a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\):</p>\n<p>\\[(n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)\\]</p>\n<p>\\[= n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1\\]</p>\n<p>\\[= 4n\\]</p>\n<p>\\[= 4 \\cdot 50000 = \\mathbf{200\\,000}\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik - świetna weryfikacja!</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<p>\\[(a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2 przy rozwijaniu nawiasów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(2\\,000\\,000\\) | Pomyłka o rząd wielkości; np. błędne pomnożenie \\(2 \\cdot 1\\,000\\,000\\) zamiast \\(2 \\cdot 100\\,000\\) |<br>| C - \\(20\\,000\\) | Pomyłka o rząd wielkości w drugą stronę; np. przyjęcie \\(a + b = 10\\,000\\) zamiast \\(100\\,000\\) |<br>| D - \\(4\\) | Zapomniano o \\((a+b)\\) i wzięto tylko \\((a-b)^2 = 4\\), albo pomylono różnicę kwadratów z kwadratem różnicy |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie licz \\(50001^2\\) i \\(49999^2\\) oddzielnie - to ogromne liczby i łatwo o błąd arytmetyczny. Wzór na różnicę kwadratów pozwala ominąć całe to liczenie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić różnicę kwadratów \\(a^2 - b^2\\) z kwadratem różnicy \\((a-b)^2\\). To zupełnie różne wyrażenia - tu mamy \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dodawaniu \\(50001 + 49999\\) uważaj na wynik - to \\(100\\,000\\), a nie \\(10\\,000\\). Jeden zero robi różnicę całego rzędu wielkości!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)</h5>\n<p>\\[50001^2 - 49999^2 = (50001 - 49999)(50001 + 49999) = 2\\cdot 100000 = 200\\,000.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Z rozwinięcia dwumianów</h5>\n<p>Niech \\(a = 50000\\). Wtedy:<br>\\[50001^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1,\\]<br>\\[49999^2 = (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1.\\]<br>Różnica: \\((a^2 + 2a + 1) - (a^2 - 2a + 1) = 4a = 4\\cdot 50000 = 200\\,000\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\,000\\,000\\)</strong> - za duża wartość; błąd w mnożeniu.</li><li><strong>C. \\(20\\,000\\)</strong> - za mała.</li><li><strong>D. \\(4\\)</strong> - ktoś zrobił \\((a+1)^2 - (a-1)^2\\) dla \\(a=1\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> ZAWSZE stosuj \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - to niesamowicie szybki sposób.</p>"}]}