{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nJedną z liczb, które spełniają nierówność\n5\n3\n2\nx\nx\nx\n< -, jest\nA. 1\nB.\n1\nC. 2\nD.\n2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający oblicza\nwartość liczbową wyrażenia wymiernego dla\ndanej wartości zmiennej (2.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(-12\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia + szukanie minimum\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** wyrażenie \\((x-y)(x+y)\\) to wzór skróconego mnożenia:\n\\[(x-y)(x+y) = x^2 - y^2\\]\n\nTeraz zadanie sprowadza się do: znaleźć **najmniejszą wartość** \\(x^2 - y^2\\) dla \\(x, y \\in \\{2, 3, 4\\}\\).\n\nŻeby \\(x^2 - y^2\\) było jak najmniejsze (jak najbardziej ujemne), potrzebujemy:\n- **\\(x^2\\) jak najmniejsze** → \\(x = 2\\), bo \\(2^2 = 4\\)\n- **\\(y^2\\) jak największe** → \\(y = 4\\), bo \\(4^2 = 16\\)\n\nWynik:\n\\[x^2 - y^2 = 4 - 16 = \\mathbf{-12}\\]\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie wszystkich 9 kombinacji (brute force)\n\nZbiór \\(\\{2, 3, 4\\}\\) ma 3 elementy, więc możliwych par \\((x, y)\\) jest \\(3 \\times 3 = 9\\). Policzymy każdą:\n\n| \\(x\\) | \\(y\\) | \\(x^2 - y^2\\) |\n| 2 | 2 | \\(4 - 4 = 0\\) |\n| 2 | 3 | \\(4 - 9 = -5\\) |\n| **2** | **4** | \\(\\mathbf{4 - 16 = -12}\\) ← minimum |\n| 3 | 2 | \\(9 - 4 = 5\\) |\n| 3 | 3 | \\(9 - 9 = 0\\) |\n| 3 | 4 | \\(9 - 16 = -7\\) |\n| 4 | 2 | \\(16 - 4 = 12\\) |\n| 4 | 3 | \\(16 - 9 = 7\\) |\n| 4 | 4 | \\(16 - 16 = 0\\) |\n\nNajmniejsza wartość to \\(-12\\), osiągana dla \\(x = 2, y = 4\\). Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego wzoru \"od prawej do lewej\" - rozpoznaliśmy \\((x-y)(x+y)\\) jako \\(x^2 - y^2\\), co uprościło całe zadanie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(2\\) | Żadna z 9 par nie daje wartości \\(2\\). Prawdopodobnie uczeń pomylił \"najmniejsza wartość wyrażenia\" z \"najmniejsza liczba ze zbioru\" |\n| B - \\(-24\\) | Typowy błąd: uczeń liczy \\(\\min(x-y) \\cdot \\max(x+y)\\) **jako oddzielne minima/maxima**, nie z tej samej pary. \\(\\min(x-y) = 2-4 = -2\\), \\(\\max(x+y) = 4+4 = 8\\), wynik \\(-2 \\cdot 8 = -16\\). Albo jeszcze inny błąd arytmetyczny prowadzący do \\(-24\\) |\n| C - \\(0\\) | Wartość \\(0\\) jest osiągalna (np. \\(x = y = 3\\)), ale to nie jest **najmniejsza** wartość. Uczeń szuka zera zamiast minimum |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie stosuj wzoru skróconego mnożenia \"na odwrót\" - wielu uczniów liczy \\((x-y)(x+y)\\) bezpośrednio, mnożąc nawiasami. To działa, ale tracisz czas. Rozpoznanie \\(x^2 - y^2\\) od razu wskazuje strategię minimalizacji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Aby zminimalizować \\(x^2 - y^2\\), musisz wziąć **tę samą parę** \\((x, y)\\). Nie można brać \\(x = 2\\) z jednej kombinacji i \\(y = 4\\) z innej - obydwie zmienne muszą być z **jednej** pary \\((x, y)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"najmniejsza\" z \"o wartości bezwzględnej najmniejszej\". Najmniejsza wartość to ta najbardziej ujemna, czyli \\(-12\\), a nie \\(0\\) (które jest bliżej zera).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Uproszczenie i analiza\n\\((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\\). Szukamy minimum dla \\(x, y \\in \\{2, 3, 4\\}\\). Wartość minimalna to minimalne \\(x^2\\) minus maksymalne \\(y^2\\):\n\\[\\min = 2^2 - 4^2 = 4 - 16 = -12.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie wszystkich możliwości\nDla każdej pary \\((x, y)\\):\n- najmniejsze \\(x^2 - y^2\\) gdy \\(x\\) jak najmniejsze, a \\(y\\) jak największe: \\(x=2, y=4\\) → \\(4 - 16 = -12\\).\n- Inne skrajne: \\((2, 3) \\to -5\\), \\((3, 4) \\to -7\\), \\((2, 2) \\to 0\\) itd.\n\nNajmniejsza wartość: \\(-12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to wartość dodatnia, nie najmniejsza.\n- **B. \\(-24\\)** - za mała; wymagałoby \\(x=0, y=\\sqrt{24}\\) co nie jest w zbiorze.\n- **C. \\(0\\)** - wartość przy \\(x = y\\), ale nie najmniejsza.\n\n**Trik:** w wyrażeniach \\(x^2 - y^2\\) minimum osiąga się dla minimalnego \\(x^2\\) i maksymalnego \\(y^2\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (1 pkt)<br>Jedną z liczb, które spełniają nierówność<br>5<br>3<br>2<br>x<br>x<br>x<br>&lt; -, jest<br>A. 1<br>B.<br>1<br>C. 2<br>D.<br>2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Wyrażenia algebraiczne. Zdający oblicza</li></ol>\n<p>wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla<br>danej wartości zmiennej (2.e).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(-12\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia + szukanie minimum</h4>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> wyrażenie \\((x-y)(x+y)\\) to wzór skróconego mnożenia:<br>\\[(x-y)(x+y) = x^2 - y^2\\]</p>\n<p>Teraz zadanie sprowadza się do: znaleźć <strong>najmniejszą wartość</strong> \\(x^2 - y^2\\) dla \\(x, y \\in \\{2, 3, 4\\}\\).</p>\n<p>Żeby \\(x^2 - y^2\\) było jak najmniejsze (jak najbardziej ujemne), potrzebujemy:</p>\n<ul><li><strong>\\(x^2\\) jak najmniejsze</strong> → \\(x = 2\\), bo \\(2^2 = 4\\)</li><li><strong>\\(y^2\\) jak największe</strong> → \\(y = 4\\), bo \\(4^2 = 16\\)</li></ul>\n<p>Wynik:<br>\\[x^2 - y^2 = 4 - 16 = \\mathbf{-12}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Sprawdzenie wszystkich 9 kombinacji (brute force)</h4>\n<p>Zbiór \\(\\{2, 3, 4\\}\\) ma 3 elementy, więc możliwych par \\((x, y)\\) jest \\(3 \\times 3 = 9\\). Policzymy każdą:</p>\n<p>| \\(x\\) | \\(y\\) | \\(x^2 - y^2\\) |<br>| 2 | 2 | \\(4 - 4 = 0\\) |<br>| 2 | 3 | \\(4 - 9 = -5\\) |<br>| <strong>2</strong> | <strong>4</strong> | \\(\\mathbf{4 - 16 = -12}\\) ← minimum |<br>| 3 | 2 | \\(9 - 4 = 5\\) |<br>| 3 | 3 | \\(9 - 9 = 0\\) |<br>| 3 | 4 | \\(9 - 16 = -7\\) |<br>| 4 | 2 | \\(16 - 4 = 12\\) |<br>| 4 | 3 | \\(16 - 9 = 7\\) |<br>| 4 | 4 | \\(16 - 16 = 0\\) |</p>\n<p>Najmniejsza wartość to \\(-12\\), osiągana dla \\(x = 2, y = 4\\). Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy tego wzoru &quot;od prawej do lewej&quot; - rozpoznaliśmy \\((x-y)(x+y)\\) jako \\(x^2 - y^2\\), co uprościło całe zadanie.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(2\\) | Żadna z 9 par nie daje wartości \\(2\\). Prawdopodobnie uczeń pomylił &quot;najmniejsza wartość wyrażenia&quot; z &quot;najmniejsza liczba ze zbioru&quot; |<br>| B - \\(-24\\) | Typowy błąd: uczeń liczy \\(\\min(x-y) \\cdot \\max(x+y)\\) <strong>jako oddzielne minima/maxima</strong>, nie z tej samej pary. \\(\\min(x-y) = 2-4 = -2\\), \\(\\max(x+y) = 4+4 = 8\\), wynik \\(-2 \\cdot 8 = -16\\). Albo jeszcze inny błąd arytmetyczny prowadzący do \\(-24\\) |<br>| C - \\(0\\) | Wartość \\(0\\) jest osiągalna (np. \\(x = y = 3\\)), ale to nie jest <strong>najmniejsza</strong> wartość. Uczeń szuka zera zamiast minimum |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie stosuj wzoru skróconego mnożenia &quot;na odwrót&quot; - wielu uczniów liczy \\((x-y)(x+y)\\) bezpośrednio, mnożąc nawiasami. To działa, ale tracisz czas. Rozpoznanie \\(x^2 - y^2\\) od razu wskazuje strategię minimalizacji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Aby zminimalizować \\(x^2 - y^2\\), musisz wziąć <strong>tę samą parę</strong> \\((x, y)\\). Nie można brać \\(x = 2\\) z jednej kombinacji i \\(y = 4\\) z innej - obydwie zmienne muszą być z <strong>jednej</strong> pary \\((x, y)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić &quot;najmniejsza&quot; z &quot;o wartości bezwzględnej najmniejszej&quot;. Najmniejsza wartość to ta najbardziej ujemna, czyli \\(-12\\), a nie \\(0\\) (które jest bliżej zera).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Uproszczenie i analiza</h5>\n<p>\\((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\\). Szukamy minimum dla \\(x, y \\in \\{2, 3, 4\\}\\). Wartość minimalna to minimalne \\(x^2\\) minus maksymalne \\(y^2\\):<br>\\[\\min = 2^2 - 4^2 = 4 - 16 = -12.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzanie wszystkich możliwości</h5>\n<p>Dla każdej pary \\((x, y)\\):</p>\n<ul><li>najmniejsze \\(x^2 - y^2\\) gdy \\(x\\) jak najmniejsze, a \\(y\\) jak największe: \\(x=2, y=4\\) → \\(4 - 16 = -12\\).</li><li>Inne skrajne: \\((2, 3) \\to -5\\), \\((3, 4) \\to -7\\), \\((2, 2) \\to 0\\) itd.</li></ul>\n<p>Najmniejsza wartość: \\(-12\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - to wartość dodatnia, nie najmniejsza.</li><li><strong>B. \\(-24\\)</strong> - za mała; wymagałoby \\(x=0, y=\\sqrt{24}\\) co nie jest w zbiorze.</li><li><strong>C. \\(0\\)</strong> - wartość przy \\(x = y\\), ale nie najmniejsza.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w wyrażeniach \\(x^2 - y^2\\) minimum osiąga się dla minimalnego \\(x^2\\) i maksymalnego \\(y^2\\).</p>"}]}