{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nProste o równaniach 2\n3\n4\nx\ny\ni 5\n6\n7\nx\ny\nprzecinają się w punkcie P . Stąd wynika, że\nA.\n(\n)\n1,2\nP =\nB.\n(\n)\n1,2\nP = -\nC.\n(\n)\n1,\n2\nP = -\nD.\n(\n)\n1,\n2\nP =","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający interpretuje geometrycznie układ\ndwóch równań liniowych z dwiema\nniewiadomymi (8.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(-1\\)\n\n## Sposób 1 - własność logarytmu iloczynu\n\nKluczowa własność: logarytmy o tej samej podstawie możemy **dodać**, zamieniając sumę na logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\]\n\nStosujemy:\n\\[\\log_{3}\\frac{3}{2} + \\log_{3}\\frac{2}{9} = \\log_{3}\\left(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9}\\right)\\]\n\nMnożymy ułamki:\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9} = \\frac{3 \\cdot 2}{2 \\cdot 9} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\]\n\nZatem:\n\\[\\log_{3}\\frac{1}{3} = \\log_{3} 3^{-1} = -1\\]\n\n**Odpowiedź: \\(-1\\)**, czyli opcja A.\n\n## Sposób 2 - rozbicie każdego logarytmu osobno\n\nKażdy logarytm ilorazu rozbijamy wzorem \\(\\log_a\\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\):\n\n\\[\\log_{3}\\frac{3}{2} = \\log_{3}3 - \\log_{3}2 = 1 - \\log_{3}2\\]\n\n\\[\\log_{3}\\frac{2}{9} = \\log_{3}2 - \\log_{3}9 = \\log_{3}2 - \\log_{3}3^2 = \\log_{3}2 - 2\\]\n\nDodajemy:\n\\[(1 - \\log_{3}2) + (\\log_{3}2 - 2) = 1 - \\log_{3}2 + \\log_{3}2 - 2 = 1 - 2 = -1\\]\n\nCzłony \\(\\log_{3}2\\) znoszą się wzajemnie - **wynik: \\(-1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasność logarytmu iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\n\nWłasność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\n\nWłasność logarytmu potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\n\nUżyliśmy pierwszej własności w Sposobie 1 (suma → iloczyn), a drugiej i trzeciej w Sposobie 2 (rozbicie ilorazów + \\(\\log_3 3^2 = 2\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(-2\\)) | Obliczono tylko \\(\\log_3\\frac{2}{9} = -2\\) i zignorowano pierwszy składnik, lub przy dodawaniu logarytmów pomnożono zamiast wymnożyć argumenty: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} \\approx \\frac{31}{18}\\), a potem błędnie uproszczono do \\(-2\\) |\n| C (\\(\\log_3\\frac{5}{11}\\)) | Błąd polegający na **dodaniu mianowników i liczników** zamiast mnożenia: \\(\\frac{3+2}{2+9} = \\frac{5}{11}\\) - to nie jest własność logarytmów! |\n| D (\\(\\log_3\\frac{31}{18}\\)) | Błąd polegający na **dodaniu ułamków** jako argumentów zamiast ich mnożenia: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} = \\frac{27}{18} + \\frac{4}{18} = \\frac{31}{18}\\) - to błąd zamiany sumy logarytmów na logarytm sumy |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\), **NIE** \\(\\log_a(x + y)\\). Suma logarytmów to logarytm **iloczynu** - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\log_3 3^{-1} = -1\\) - potęga wychodzi przed logarytm. Wynik może być liczbą całkowitą nawet gdy argumenty wyglądają skomplikowanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozbijaniu \\(\\log_3\\frac{2}{9}\\) trzeba zauważyć, że \\(9 = 3^2\\), więc \\(\\log_3 9 = 2\\). Nie warto liczyć \\(\\log_3 9\\) \"na czuja\" - sprawdź, czy mianownik/licznik jest potęgą podstawy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Prawo logarytmu sumy\nWzór: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).\n\\[\\log_3\\dfrac{3}{2} + \\log_3\\dfrac{2}{9} = \\log_3\\left(\\dfrac{3}{2}\\cdot\\dfrac{2}{9}\\right) = \\log_3\\dfrac{6}{18} = \\log_3\\dfrac{1}{3} = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozłożenie na części\n\\[\\log_3\\dfrac{3}{2} = \\log_3 3 - \\log_3 2 = 1 - \\log_3 2,\\]\n\\[\\log_3\\dfrac{2}{9} = \\log_3 2 - \\log_3 9 = \\log_3 2 - 2.\\]\nSuma: \\((1 - \\log_3 2) + (\\log_3 2 - 2) = 1 - 2 = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-2\\)** - ktoś błędnie odjął zamiast dodać, lub wziął \\(\\log_3 9 = 2\\).\n- **C. \\(\\log_3\\tfrac{5}{11}\\)** - ktoś dodał liczniki i mianowniki (typowy błąd).\n- **D. \\(\\log_3\\tfrac{31}{18}\\)** - ktoś dodał ułamki jak \\(\\tfrac{3}{2} + \\tfrac{2}{9} = \\tfrac{31}{18}\\) zamiast mnożyć argumenty.\n\n**Pamiętaj:** dodawanie logarytmów → **mnożenie** argumentów.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (1 pkt)
Proste o równaniach 2
3
4
x
y
i 5
6
7
x
y
przecinają się w punkcie P . Stąd wynika, że
A.
(
)
1,2
P =
B.
(
)
1,2
P = -
C.
(
)
1,
2
P = -
D.
(
)
1,
2
P =

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający interpretuje geometrycznie układ
dwóch równań liniowych z dwiema
niewiadomymi (8.d).
Wersja
I
Wersja
II
C
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(-1\\)

\n

Sposób 1 - własność logarytmu iloczynu

\n

Kluczowa własność: logarytmy o tej samej podstawie możemy dodać, zamieniając sumę na logarytm iloczynu:
\\[\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\]

\n

Stosujemy:
\\[\\log_{3}\\frac{3}{2} + \\log_{3}\\frac{2}{9} = \\log_{3}\\left(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9}\\right)\\]

\n

Mnożymy ułamki:
\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9} = \\frac{3 \\cdot 2}{2 \\cdot 9} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Zatem:
\\[\\log_{3}\\frac{1}{3} = \\log_{3} 3^{-1} = -1\\]

\n

Odpowiedź: \\(-1\\), czyli opcja A.

\n

Sposób 2 - rozbicie każdego logarytmu osobno

\n

Każdy logarytm ilorazu rozbijamy wzorem \\(\\log_a\\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\):

\n

\\[\\log_{3}\\frac{3}{2} = \\log_{3}3 - \\log_{3}2 = 1 - \\log_{3}2\\]

\n

\\[\\log_{3}\\frac{2}{9} = \\log_{3}2 - \\log_{3}9 = \\log_{3}2 - \\log_{3}3^2 = \\log_{3}2 - 2\\]

\n

Dodajemy:
\\[(1 - \\log_{3}2) + (\\log_{3}2 - 2) = 1 - \\log_{3}2 + \\log_{3}2 - 2 = 1 - 2 = -1\\]

\n

Człony \\(\\log_{3}2\\) znoszą się wzajemnie - wynik: \\(-1\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Własność logarytmu iloczynu:
\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]

\n

Własność logarytmu ilorazu:
\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]

\n

Własność logarytmu potęgi:
\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]

\n

Użyliśmy pierwszej własności w Sposobie 1 (suma → iloczyn), a drugiej i trzeciej w Sposobie 2 (rozbicie ilorazów + \\(\\log_3 3^2 = 2\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B (\\(-2\\)) | Obliczono tylko \\(\\log_3\\frac{2}{9} = -2\\) i zignorowano pierwszy składnik, lub przy dodawaniu logarytmów pomnożono zamiast wymnożyć argumenty: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} \\approx \\frac{31}{18}\\), a potem błędnie uproszczono do \\(-2\\) |
| C (\\(\\log_3\\frac{5}{11}\\)) | Błąd polegający na dodaniu mianowników i liczników zamiast mnożenia: \\(\\frac{3+2}{2+9} = \\frac{5}{11}\\) - to nie jest własność logarytmów! |
| D (\\(\\log_3\\frac{31}{18}\\)) | Błąd polegający na dodaniu ułamków jako argumentów zamiast ich mnożenia: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} = \\frac{27}{18} + \\frac{4}{18} = \\frac{31}{18}\\) - to błąd zamiany sumy logarytmów na logarytm sumy |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\), NIE \\(\\log_a(x + y)\\). Suma logarytmów to logarytm iloczynu - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(\\log_3 3^{-1} = -1\\) - potęga wychodzi przed logarytm. Wynik może być liczbą całkowitą nawet gdy argumenty wyglądają skomplikowanie.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozbijaniu \\(\\log_3\\frac{2}{9}\\) trzeba zauważyć, że \\(9 = 3^2\\), więc \\(\\log_3 9 = 2\\). Nie warto liczyć \\(\\log_3 9\\) "na czuja" - sprawdź, czy mianownik/licznik jest potęgą podstawy.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Prawo logarytmu sumy
\n

Wzór: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).
\\[\\log_3\\dfrac{3}{2} + \\log_3\\dfrac{2}{9} = \\log_3\\left(\\dfrac{3}{2}\\cdot\\dfrac{2}{9}\\right) = \\log_3\\dfrac{6}{18} = \\log_3\\dfrac{1}{3} = -1.\\]

\n
Sposób 2 - Rozłożenie na części
\n

\\[\\log_3\\dfrac{3}{2} = \\log_3 3 - \\log_3 2 = 1 - \\log_3 2,\\]
\\[\\log_3\\dfrac{2}{9} = \\log_3 2 - \\log_3 9 = \\log_3 2 - 2.\\]
Suma: \\((1 - \\log_3 2) + (\\log_3 2 - 2) = 1 - 2 = -1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: dodawanie logarytmów → mnożenie argumentów.

"}]}