{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nPunkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek).\nMiara kąta BDC jest równa\nA.\n°\n91\nB.\n°\n5,\n72\nC.\n°\n18\nD.\n°\n32\nD\nA\nB\nC\nS\n27°\n?\n118°\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków\nmiędzy kątem środkowym, kątem wpisanym\ni kątem między styczną a cięciwą okręgu\n(7.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(g(x) = 2x + 2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór analityczny f, potem symetria środkowa\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wzór funkcji \\(f\\).**\n\nMamy \\(f(0) = -2\\) i \\(f(1) = 0\\), czyli funkcja przechodzi przez punkty \\((0, -2)\\) i \\((1, 0)\\).\n\nWyraz wolny to \\(b = -2\\) (bo \\(f(0) = -2\\)).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \\frac{0 - (-2)}{1} = 2\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = 2x - 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(g\\) z warunku symetrii względem początku układu.**\n\nSymetria względem początku układu współrzędnych (symetria środkowa ze środkiem \\((0,0)\\)) oznacza: jeśli punkt \\((x, y)\\) leży na wykresie \\(f\\), to punkt \\((-x, -y)\\) leży na wykresie \\(g\\).\n\nNiech \\((u, v)\\) będzie dowolnym punktem na \\(g\\). Wtedy \\((-u, -v)\\) leży na \\(f\\):\n\\[-v = f(-u) = 2(-u) - 2 = -2u - 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\):\n\\[v = 2u + 2\\]\n\nZatem: \\(\\boxed{g(x) = 2x + 2}\\)\n\n## Sposób 2 - Symetria punktów na wykresie\n\n**Krok 1: Bierzemy dwa konkretne punkty z wykresu \\(f\\).**\n\n\\((0,\\ -2)\\) i \\((1,\\ 0)\\) (dane wprost z treści).\n\n**Krok 2: Wyznaczamy odpowiadające im punkty na \\(g\\).**\n\nSymetria środkowa: \\((x, y) \\mapsto (-x, -y)\\):\n\n| Punkt na \\(f\\) | Punkt na \\(g\\) |\n| \\((0,\\ -2)\\) | \\((0,\\ 2)\\) |\n| \\((1,\\ 0)\\) | \\((-1,\\ 0)\\) |\n\n**Krok 3: Wyznaczamy prostą \\(g\\) przez punkty \\((0,\\ 2)\\) i \\((-1,\\ 0)\\).**\n\nWyraz wolny: \\(b = 2\\) (bo \\(g(0) = 2\\)).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{2 - 0}{0 - (-1)} = \\frac{2}{1} = 2\\]\n\n\\[g(x) = 2x + 2 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f\\) na podstawie dwóch punktów oraz do odczytania wzoru \\(g\\).\n\nW tym zadaniu nie potrzebujemy bardziej zaawansowanych wzorów - wystarczy definicja symetrii środkowej i wyznaczenie prostej przez dwa punkty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(g(x) = 2x - 2\\) | Uczeń **nie wykonuje symetrii** - przepisuje \\(f\\) bez zmian. To po prostu \\(f(x)\\) samo w sobie. |\n| **C** \\(g(x) = -2x + 2\\) | Uczeń myli symetrię względem **początku układu** z symetrią względem **osi \\(y\\)**. Symetria względem osi \\(y\\) daje \\(g(x) = f(-x) = 2(-x) - 2 = -2x - 2\\) i jeszcze raz myli znak wyrazu wolnego. |\n| **D** \\(g(x) = -2x - 2\\) | Uczeń stosuje symetrię względem **osi \\(x\\)** zamiast początku: \\(g(x) = -f(x) = -(2x-2) = -2x + 2\\) - też błąd, ale ten wariant to wynik kolejnego błędu w znakach. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem **początku układu** \\(\\neq\\) symetria względem **osi \\(x\\)** lub **osi \\(y\\)**. Symetria środkowa zmienia znak **obu** współrzędnych: \\((x, y) \\to (-x, -y)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że punkt \\((0, -2)\\) przechodzi w \\((0, 2)\\) - zero zmienia znak \\(y\\), ale \\(x\\) zostaje zerem. Wyraz wolny **zmienia znak**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej **nie zmienia się** przy tej symetrii (bo zarówno \\(x\\) jak i \\(y\\) zmieniają znak, a \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{-\\Delta y}{-\\Delta x}\\) - wartość ta sama). Zmienia się **tylko wyraz wolny**.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór funkcji \\(f\\) i symetria\nFunkcja \\(f\\): punkty \\((0,-2)\\) i \\((1,0)\\). Współczynnik kierunkowy: \\(a = \\tfrac{0-(-2)}{1-0} = 2\\). Wyraz wolny: \\(b = -2\\). Zatem \\(f(x) = 2x - 2\\).\n\nSymetria względem \\((0,0)\\): punkt \\((x,y)\\) przechodzi na \\((-x,-y)\\). Wykres \\(g\\) powstaje przez tę symetrię:\n\\[g(x) = -f(-x) = -(2(-x) - 2) = -(-2x - 2) = 2x + 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez punkty symetryczne\nPunkty wykresu \\(f\\): \\((0,-2)\\) i \\((1,0)\\). Symetryczne: \\((0,2)\\) i \\((-1,0)\\).\nProsta przez \\((0,2)\\) i \\((-1,0)\\): współczynnik kierunkowy \\(\\tfrac{0-2}{-1-0} = 2\\), wyraz wolny 2. Czyli \\(g(x) = 2x + 2\\).\n\n### Sposób 3 - Własność symetrii funkcji\nSymetria prostej \\(y = ax + b\\) względem początku daje \\(y = ax - b\\) nie, jest inaczej: każdy punkt \\((x,y)\\) ma obraz \\((-x,-y)\\). Jeśli \\(y = 2x - 2\\), to po symetrii \\(-y = 2(-x) - 2\\), czyli \\(y = 2x + 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(2x-2\\)** - to sam wzór \\(f\\), bez zmiany.\n- **C. \\(-2x+2\\)** - to symetria względem osi \\(x\\), nie początku.\n- **D. \\(-2x-2\\)** - to symetria względem osi \\(y\\) (po zmianie znaku \\(x\\)).\n\n**Pamiętaj:** symetria względem \\((0,0)\\) zmienia znak i \\(x\\), i \\(y\\); w funkcji liniowej to oznacza zmianę wyrazu wolnego na przeciwny (a nachylenia się nie zmienia).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (1 pkt)<br>Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek).<br>Miara kąta BDC jest równa<br>A.<br>°<br>91<br>B.<br>°<br>5,<br>72<br>C.<br>°<br>18<br>D.<br>°<br>32<br>D<br>A<br>B<br>C<br>S<br>27°<br>?<br>118°</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający korzysta ze związków</li></ol>\n<p>między kątem środkowym, kątem wpisanym<br>i kątem między styczną a cięciwą okręgu<br>(7.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(g(x) = 2x + 2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór analityczny f, potem symetria środkowa</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy wzór funkcji \\(f\\).</strong></p>\n<p>Mamy \\(f(0) = -2\\) i \\(f(1) = 0\\), czyli funkcja przechodzi przez punkty \\((0, -2)\\) i \\((1, 0)\\).</p>\n<p>Wyraz wolny to \\(b = -2\\) (bo \\(f(0) = -2\\)).</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy:<br>\\[a = \\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \\frac{0 - (-2)}{1} = 2\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[f(x) = 2x - 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy \\(g\\) z warunku symetrii względem początku układu.</strong></p>\n<p>Symetria względem początku układu współrzędnych (symetria środkowa ze środkiem \\((0,0)\\)) oznacza: jeśli punkt \\((x, y)\\) leży na wykresie \\(f\\), to punkt \\((-x, -y)\\) leży na wykresie \\(g\\).</p>\n<p>Niech \\((u, v)\\) będzie dowolnym punktem na \\(g\\). Wtedy \\((-u, -v)\\) leży na \\(f\\):<br>\\[-v = f(-u) = 2(-u) - 2 = -2u - 2\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(-1\\):<br>\\[v = 2u + 2\\]</p>\n<p>Zatem: \\(\\boxed{g(x) = 2x + 2}\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Symetria punktów na wykresie</h4>\n<p><strong>Krok 1: Bierzemy dwa konkretne punkty z wykresu \\(f\\).</strong></p>\n<p>\\((0,\\ -2)\\) i \\((1,\\ 0)\\) (dane wprost z treści).</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy odpowiadające im punkty na \\(g\\).</strong></p>\n<p>Symetria środkowa: \\((x, y) \\mapsto (-x, -y)\\):</p>\n<p>| Punkt na \\(f\\) | Punkt na \\(g\\) |<br>| \\((0,\\ -2)\\) | \\((0,\\ 2)\\) |<br>| \\((1,\\ 0)\\) | \\((-1,\\ 0)\\) |</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy prostą \\(g\\) przez punkty \\((0,\\ 2)\\) i \\((-1,\\ 0)\\).</strong></p>\n<p>Wyraz wolny: \\(b = 2\\) (bo \\(g(0) = 2\\)).</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy:<br>\\[a = \\frac{2 - 0}{0 - (-1)} = \\frac{2}{1} = 2\\]</p>\n<p>\\[g(x) = 2x + 2 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]<br>Użyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f\\) na podstawie dwóch punktów oraz do odczytania wzoru \\(g\\).</p>\n<p>W tym zadaniu nie potrzebujemy bardziej zaawansowanych wzorów - wystarczy definicja symetrii środkowej i wyznaczenie prostej przez dwa punkty.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>B</strong> \\(g(x) = 2x - 2\\) | Uczeń <strong>nie wykonuje symetrii</strong> - przepisuje \\(f\\) bez zmian. To po prostu \\(f(x)\\) samo w sobie. |<br>| <strong>C</strong> \\(g(x) = -2x + 2\\) | Uczeń myli symetrię względem <strong>początku układu</strong> z symetrią względem <strong>osi \\(y\\)</strong>. Symetria względem osi \\(y\\) daje \\(g(x) = f(-x) = 2(-x) - 2 = -2x - 2\\) i jeszcze raz myli znak wyrazu wolnego. |<br>| <strong>D</strong> \\(g(x) = -2x - 2\\) | Uczeń stosuje symetrię względem <strong>osi \\(x\\)</strong> zamiast początku: \\(g(x) = -f(x) = -(2x-2) = -2x + 2\\) - też błąd, ale ten wariant to wynik kolejnego błędu w znakach. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetria względem <strong>początku układu</strong> \\(\\neq\\) symetria względem <strong>osi \\(x\\)</strong> lub <strong>osi \\(y\\)</strong>. Symetria środkowa zmienia znak <strong>obu</strong> współrzędnych: \\((x, y) \\to (-x, -y)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć, że punkt \\((0, -2)\\) przechodzi w \\((0, 2)\\) - zero zmienia znak \\(y\\), ale \\(x\\) zostaje zerem. Wyraz wolny <strong>zmienia znak</strong>!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik kierunkowy prostej <strong>nie zmienia się</strong> przy tej symetrii (bo zarówno \\(x\\) jak i \\(y\\) zmieniają znak, a \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{-\\Delta y}{-\\Delta x}\\) - wartość ta sama). Zmienia się <strong>tylko wyraz wolny</strong>.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór funkcji \\(f\\) i symetria</h5>\n<p>Funkcja \\(f\\): punkty \\((0,-2)\\) i \\((1,0)\\). Współczynnik kierunkowy: \\(a = \\tfrac{0-(-2)}{1-0} = 2\\). Wyraz wolny: \\(b = -2\\). Zatem \\(f(x) = 2x - 2\\).</p>\n<p>Symetria względem \\((0,0)\\): punkt \\((x,y)\\) przechodzi na \\((-x,-y)\\). Wykres \\(g\\) powstaje przez tę symetrię:<br>\\[g(x) = -f(-x) = -(2(-x) - 2) = -(-2x - 2) = 2x + 2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez punkty symetryczne</h5>\n<p>Punkty wykresu \\(f\\): \\((0,-2)\\) i \\((1,0)\\). Symetryczne: \\((0,2)\\) i \\((-1,0)\\).<br>Prosta przez \\((0,2)\\) i \\((-1,0)\\): współczynnik kierunkowy \\(\\tfrac{0-2}{-1-0} = 2\\), wyraz wolny 2. Czyli \\(g(x) = 2x + 2\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Własność symetrii funkcji</h5>\n<p>Symetria prostej \\(y = ax + b\\) względem początku daje \\(y = ax - b\\) nie, jest inaczej: każdy punkt \\((x,y)\\) ma obraz \\((-x,-y)\\). Jeśli \\(y = 2x - 2\\), to po symetrii \\(-y = 2(-x) - 2\\), czyli \\(y = 2x + 2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(2x-2\\)</strong> - to sam wzór \\(f\\), bez zmiany.</li><li><strong>C. \\(-2x+2\\)</strong> - to symetria względem osi \\(x\\), nie początku.</li><li><strong>D. \\(-2x-2\\)</strong> - to symetria względem osi \\(y\\) (po zmianie znaku \\(x\\)).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> symetria względem \\((0,0)\\) zmienia znak i \\(x\\), i \\(y\\); w funkcji liniowej to oznacza zmianę wyrazu wolnego na przeciwny (a nachylenia się nie zmienia).</p>"}]}