{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nDana jest funkcja liniowa\n( )\n3\n6\n4\nf x\nx\n. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba\nA. 8\nB. 6\nC.\n6\nD.\n8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (4.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(-3\\))\n\n## Sposób 1 - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\nMamy dane:\n- \\(a_1 = 8\\)\n- \\(a_4 = -216\\)\n- Szukamy: iloraz \\(q\\)\n\n**Krok 1.** Zapiszemy wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]\n\\[-216 = 8 \\cdot q^3\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy \\(q^3\\):\n\\[q^3 = \\frac{-216}{8} = -27\\]\n\n**Krok 4.** Wyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\\[q = \\sqrt[3]{-27} = -3\\]\n\n**Zatem iloraz ciągu wynosi \\(q = -3\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie wyrazów\n\nSprawdźmy, czy przy \\(q = -3\\) kolejne wyrazy ciągu rzeczywiście dają \\(a_4 = -216\\):\n\n\\[a_1 = 8\\]\n\\[a_2 = 8 \\cdot (-3) = -24\\]\n\\[a_3 = -24 \\cdot (-3) = 72\\]\n\\[a_4 = 72 \\cdot (-3) = -216 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **\\(q = -3\\) jest poprawny**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(n = 4\\), by otrzymać równanie na \\(q\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\left(-\\frac{224}{3}\\right)\\) | Wynik liczenia \\(q = \\frac{a_4 - a_1}{3} = \\frac{-216-8}{3}\\) - uczniowie mylą iloraz z różnicą (jak w ciągu **arytmetycznym**!) |\n| C \\((-9)\\) | Wynik z pomylenia wykładnika: \\(q^2 = \\frac{-216}{8}\\) zamiast \\(q^3\\) - wzięto \\(a_3 = a_1 \\cdot q^2\\) zamiast \\(a_4 = a_1 \\cdot q^3\\) |\n| D \\((-27)\\) | To wartość \\(q^3\\), a nie \\(q\\) - uczeń zapomniał wyciągnąć pierwiastek sześcienny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzór na \\(n\\)-ty wyraz - czwarty wyraz to \\(a_1 \\cdot q^{\\mathbf{3}}\\), nie \\(q^4\\)! Wykładnik to zawsze \\(n - 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej **istnieje** i jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-27} = -3\\). To nie jest pierwiastek parzysty, więc ujemna podstawa jest dozwolona.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić ciągu geometrycznego (mnożymy przez iloraz \\(q\\)) z arytmetycznym (dodajemy różnicę \\(r\\)). Przy geometrycznym nie odejmujemy wyrazów!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu geometrycznego\nW ciągu geometrycznym \\(a_{n} = a_{1}\\cdot q^{n-1}\\). Dla \\(n=4\\):\n\\[a_{4} = a_{1}\\cdot q^{3} \\Rightarrow -216 = 8\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = -27 \\Rightarrow q = -3.\\]\n\n### Sposób 2 - Podzielenie równań\n\\[\\dfrac{a_{4}}{a_{1}} = q^{3} \\Rightarrow \\dfrac{-216}{8} = q^{3} \\Rightarrow q^{3} = -27.\\]\nPierwiastek sześcienny z \\(-27\\) to \\(-3\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie kolejnych wyrazów\nPrzy \\(q = -3\\): \\(a_{1} = 8, a_{2} = -24, a_{3} = 72, a_{4} = -216\\). ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{224}{3}\\)** - ktoś obliczył \\((\\text{różnica})/3 = -224/3\\); pomylony z ciągiem arytmetycznym.\n- **C. \\(-9\\)** - pomylone \\(q^{2}\\) z \\(q^{3}\\).\n- **D. \\(-27\\)** - sama wartość \\(q^{3}\\), nie \\(q\\).\n\n**Pamiętaj:** iloraz \\(q = \\sqrt[n-1]{\\tfrac{a_{n}}{a_{1}}}\\). Tutaj pierwiastek sześcienny z \\(\\tfrac{-216}{8}=-27\\) to \\(-3\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Dana jest funkcja liniowa
( )
3
6
4
f x
x
. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
A. 8
B. 6
C.
6
D.
8

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający wykorzystuje
\n

interpretację współczynników we wzorze
funkcji liniowej (4.g).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B (\\(-3\\))

\n

Sposób 1 - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

\n

Mamy dane:

\n\n

Krok 1. Zapiszemy wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

Krok 2. Podstawiamy \\(n = 4\\):
\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]
\\[-216 = 8 \\cdot q^3\\]

\n

Krok 3. Wyznaczamy \\(q^3\\):
\\[q^3 = \\frac{-216}{8} = -27\\]

\n

Krok 4. Wyciągamy pierwiastek sześcienny:
\\[q = \\sqrt[3]{-27} = -3\\]

\n

Zatem iloraz ciągu wynosi \\(q = -3\\).

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie wyrazów

\n

Sprawdźmy, czy przy \\(q = -3\\) kolejne wyrazy ciągu rzeczywiście dają \\(a_4 = -216\\):

\n

\\[a_1 = 8\\]
\\[a_2 = 8 \\cdot (-3) = -24\\]
\\[a_3 = -24 \\cdot (-3) = 72\\]
\\[a_4 = 72 \\cdot (-3) = -216 \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - \\(q = -3\\) jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(n = 4\\), by otrzymać równanie na \\(q\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(\\left(-\\frac{224}{3}\\right)\\) | Wynik liczenia \\(q = \\frac{a_4 - a_1}{3} = \\frac{-216-8}{3}\\) - uczniowie mylą iloraz z różnicą (jak w ciągu arytmetycznym!) |
| C \\((-9)\\) | Wynik z pomylenia wykładnika: \\(q^2 = \\frac{-216}{8}\\) zamiast \\(q^3\\) - wzięto \\(a_3 = a_1 \\cdot q^2\\) zamiast \\(a_4 = a_1 \\cdot q^3\\) |
| D \\((-27)\\) | To wartość \\(q^3\\), a nie \\(q\\) - uczeń zapomniał wyciągnąć pierwiastek sześcienny |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić wzór na \\(n\\)-ty wyraz - czwarty wyraz to \\(a_1 \\cdot q^{\\mathbf{3}}\\), nie \\(q^4\\)! Wykładnik to zawsze \\(n - 1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-27} = -3\\). To nie jest pierwiastek parzysty, więc ujemna podstawa jest dozwolona.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić ciągu geometrycznego (mnożymy przez iloraz \\(q\\)) z arytmetycznym (dodajemy różnicę \\(r\\)). Przy geometrycznym nie odejmujemy wyrazów!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu geometrycznego
\n

W ciągu geometrycznym \\(a_{n} = a_{1}\\cdot q^{n-1}\\). Dla \\(n=4\\):
\\[a_{4} = a_{1}\\cdot q^{3} \\Rightarrow -216 = 8\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = -27 \\Rightarrow q = -3.\\]

\n
Sposób 2 - Podzielenie równań
\n

\\[\\dfrac{a_{4}}{a_{1}} = q^{3} \\Rightarrow \\dfrac{-216}{8} = q^{3} \\Rightarrow q^{3} = -27.\\]
Pierwiastek sześcienny z \\(-27\\) to \\(-3\\).

\n
Sposób 3 - Sprawdzenie kolejnych wyrazów
\n

Przy \\(q = -3\\): \\(a_{1} = 8, a_{2} = -24, a_{3} = 72, a_{4} = -216\\). ✓

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: iloraz \\(q = \\sqrt[n-1]{\\tfrac{a_{n}}{a_{1}}}\\). Tutaj pierwiastek sześcienny z \\(\\tfrac{-216}{8}=-27\\) to \\(-3\\).

"}]}