{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nRównanie wymierne 3\n1\n3\n5\nx\nx\n, gdzie\n5\nx ≠-,\nA. nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.\nInformacja do zadań 10. i 11.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f.\nWierzchołkiem tej paraboli jest punkt\n(\n)\n1,9\nW =\n. Liczby 2\ni 4 to miejsca zerowe funkcji f.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych, np.\n1\n2\n3\nx\nx\n,\n1\n2\nx\nx\nx\n(3.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\nZnamy \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\). Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\).\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy znane \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{16}{25} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{16}{25} = \\frac{9}{25}\\]\n\nPonieważ kąt jest ostry, \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{9}{25}} = \\frac{3}{5}\\]\n\nTeraz obliczamy szukane wyrażenie:\n\\[\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} - \\frac{3}{5} = \\boxed{\\frac{1}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna (trójkąt prostokątny)\n\nSkoro \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), to w trójkącie prostokątnym:\n- przeciwprostokątna = \\(5\\)\n- przyprostokątna naprzeciwko \\(\\alpha\\) = \\(4\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa: druga przyprostokątna = \\(\\sqrt{5^2 - 4^2} = \\sqrt{25 - 16} = \\sqrt{9} = 3\\).\n\nStąd:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} - \\frac{3}{5} = \\frac{1}{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) na podstawie \\(\\sin\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń liczy \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\) poprawnie, ale zamiast odejmowania robi **dodawanie**: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\) - to nie pasuje do żadnej opcji, więc czasem „ratuje się\" biorąc samo \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\) jako odpowiedź |\n| C | Uczeń oblicza \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2 = \\frac{1}{25}\\), ale zamiast pierwiastkować - **zapomina o pierwiastku** i podaje \\(\\frac{1}{25}\\) jako wynik i miesza z odpowiedzią D. Albo oblicza \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha = \\frac{16}{25} - \\frac{9}{25} = \\frac{7}{25}\\) i dalej się gubi |\n| D | Uczeń poprawnie liczy \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2\\): \\[\\left(\\frac{4}{5} - \\frac{3}{5}\\right)^2 = \\left(\\frac{1}{5}\\right)^2 = \\frac{1}{25}\\] ale **zatrzymuje się za wcześnie** - bierze wynik kwadratu zamiast samej różnicy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy kąt jest ostry, rozwarty czy zwykły - to decyduje o **znaku** \\(\\cos\\alpha\\). Dla kąta ostrego \\(\\cos\\alpha > 0\\), dla rozwartego \\(\\cos\\alpha < 0\\). Tu α jest ostry, więc bierzemy \\(+\\frac{3}{5}\\), nie \\(-\\frac{3}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(\\sin\\alpha - \\cos\\alpha\\) z \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2\\). Odpowiedź D (\\(\\frac{1}{25}\\)) to właśnie wynik po podniesieniu do kwadratu - klasyczna pułapka maturalna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) daje \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\). Pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka **i sprawdzeniu znaku**!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów)\nWzór: \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\). Obliczamy \\(\\cos\\alpha\\):\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{16}{25} = \\tfrac{9}{25}.\\]\n\\(\\alpha\\) ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\).\nStąd \\(\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\tfrac{4}{5} - \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{1}{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski 3-4-5\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\) odpowiada trójkątowi prostokątnemu o przyprostokątnych 3 i 4 oraz przeciwprostokątnej 5 (przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) = 4, przyległa = 3). Więc \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\). Różnica: \\(\\tfrac{4-3}{5} = \\tfrac{1}{5}\\).\n\n### Sposób 3 - Z definicji funkcji trygonometrycznych\nW trójkącie prostokątnym: przeciwna = 4, przyległa = \\(\\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3\\). Więc \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{3}{5}\\)** - to sam \\(\\cos\\alpha\\), nie różnica.\n- **C. \\(\\tfrac{17}{25}\\)** - to \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha\\) w złym zapisie, lub mieszanie.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{25}\\)** - to kwadrat różnicy \\((\\tfrac{1}{5})^{2}\\), niepoprawnie.\n\n**Trik:** przy \\(\\sin = \\tfrac{a}{c}\\), od razu myśl o trójkącie z bokiem \\(b = \\sqrt{c^{2}-a^{2}}\\), wtedy \\(\\cos = \\tfrac{b}{c}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (1 pkt)
Równanie wymierne 3
1
3
5
x
x
, gdzie
5
x ≠-,
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
Informacja do zadań 10. i 11.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f.
Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt
(
)
1,9
W =
. Liczby 2
i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający
\n

rozwiązuje proste równania wymierne,
prowadzące do równań liniowych lub
kwadratowych, np.
1
2
3
x
x
,
1
2
x
x
x
(3.e).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{5}\\)

\n

Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna

\n

Znamy \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\). Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\).

\n

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

Podstawiamy znane \\(\\sin\\alpha\\):
\\[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\frac{16}{25} + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{16}{25} = \\frac{9}{25}\\]

\n

Ponieważ kąt jest ostry, \\(\\cos\\alpha > 0\\):
\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{9}{25}} = \\frac{3}{5}\\]

\n

Teraz obliczamy szukane wyrażenie:
\\[\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} - \\frac{3}{5} = \\boxed{\\frac{1}{5}}\\]

\n

Sposób 2 - Interpretacja geometryczna (trójkąt prostokątny)

\n

Skoro \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), to w trójkącie prostokątnym:

\n\n

Z twierdzenia Pitagorasa: druga przyprostokątna = \\(\\sqrt{5^2 - 4^2} = \\sqrt{25 - 16} = \\sqrt{9} = 3\\).

\n

Stąd:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\]

\n

Zatem:
\\[\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} - \\frac{3}{5} = \\frac{1}{5}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) na podstawie \\(\\sin\\alpha\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Uczeń liczy \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\) poprawnie, ale zamiast odejmowania robi dodawanie: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\) - to nie pasuje do żadnej opcji, więc czasem „ratuje się" biorąc samo \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\) jako odpowiedź |
| C | Uczeń oblicza \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2 = \\frac{1}{25}\\), ale zamiast pierwiastkować - zapomina o pierwiastku i podaje \\(\\frac{1}{25}\\) jako wynik i miesza z odpowiedzią D. Albo oblicza \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha = \\frac{16}{25} - \\frac{9}{25} = \\frac{7}{25}\\) i dalej się gubi |
| D | Uczeń poprawnie liczy \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2\\): \\[\\left(\\frac{4}{5} - \\frac{3}{5}\\right)^2 = \\left(\\frac{1}{5}\\right)^2 = \\frac{1}{25}\\] ale zatrzymuje się za wcześnie - bierze wynik kwadratu zamiast samej różnicy |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, czy kąt jest ostry, rozwarty czy zwykły - to decyduje o znaku \\(\\cos\\alpha\\). Dla kąta ostrego \\(\\cos\\alpha > 0\\), dla rozwartego \\(\\cos\\alpha < 0\\). Tu α jest ostry, więc bierzemy \\(+\\frac{3}{5}\\), nie \\(-\\frac{3}{5}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl \\(\\sin\\alpha - \\cos\\alpha\\) z \\((\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2\\). Odpowiedź D (\\(\\frac{1}{25}\\)) to właśnie wynik po podniesieniu do kwadratu - klasyczna pułapka maturalna.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) daje \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\). Pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka i sprawdzeniu znaku!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów)
\n

Wzór: \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\). Obliczamy \\(\\cos\\alpha\\):
\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{16}{25} = \\tfrac{9}{25}.\\]
\\(\\alpha\\) ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\).
Stąd \\(\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\tfrac{4}{5} - \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{1}{5}\\).

\n
Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski 3-4-5
\n

\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\) odpowiada trójkątowi prostokątnemu o przyprostokątnych 3 i 4 oraz przeciwprostokątnej 5 (przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) = 4, przyległa = 3). Więc \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\). Różnica: \\(\\tfrac{4-3}{5} = \\tfrac{1}{5}\\).

\n
Sposób 3 - Z definicji funkcji trygonometrycznych
\n

W trójkącie prostokątnym: przeciwna = 4, przyległa = \\(\\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3\\). Więc \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: przy \\(\\sin = \\tfrac{a}{c}\\), od razu myśl o trójkącie z bokiem \\(b = \\sqrt{c^{2}-a^{2}}\\), wtedy \\(\\cos = \\tfrac{b}{c}\\).

"}]}