{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nNiech\n4\nlog7\na\nWyznacz\n49\nlog\n2\nw zależności od a.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje wzór na logarytm potęgi\ni wzór na zamianę podstawy logarytmu (R1.b).\nPrzykładowe rozwiązanie\nStosujemy wzory na zamianę podstaw logarytmu zapisujemy liczbę\n49\nlog\n2\nw postaci\n2\nlog\n49\nlog\n49\nlog\n7\n7\n2\ni wykonujemy kolejne przekształcenia:\n2\nlog\n2\n49\nlog\n7\n2\nZauważamy, że jeżeli\n7\nlog 4\na\nto\n(\n)\n4\n7\n7\n7\nlog 4\nlog\n2\n4log\n2\na\nZatem\n4\n2\nlog 7\na\nStąd wynika, że\na\na\n8\n4\n2\n49\nlog\n2\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający:\nzastosuje twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu, na przykład zapisze szukaną\nliczbę w postaci:\n2\n7\n2\nlog\n49\nlog\n2\nlub\n2\n7\n4\nlog\n49\nlog 2\nalbo\nwyznaczy liczbę\n2\nlog7\nw zależności od a:\n4\n2\nlog 7\na\nlub liczbę\n7\nlog 2\nw zależności od a:\n7\nlog 2\n2\na\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zastosuje twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu, na przykład zapisze szukaną\nliczbę w postaci:\n2\n7\n2\nlog\n49\nlog\n2\nlub\n2\n7\n4\nlog\n49\nlog 2\noraz wyznaczy liczbę\n2\nlog7\nw zależności od a:\n4\n2\nlog 7\na\nlub liczbę\n7\nlog 2 w zależności od a:\n7\nlog 2\n2\na\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wyznaczy liczbę\n2\nlog\n49 : 8\na .\nZadanie 2. (0-5)\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWielomian\n( )\nn\nx\nmx\nx\nx\nW\n22\n2\n2\n3\njest podzielny przez dwumiany\n3\nx\ni\n4\nx\n, zatem\n(\n)\n( )\n\n\n\n0\n4\n0\n3\nW\nW\nRozwiązujemy układ równań:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n0\n4\n22\n4\n4\n2\n0\n3\n22\n3\n3\n2\n2\n3\n2\n3\nn\nm\nn\nm\n(\n)\n\n\n\n⋅\n⋅\n0\n88\n16\n64\n2\n0\n66\n9\n27\n2\nn\nm\nn\nm\n\n\n\n40\n16\n12\n9\nn\nm\nn\nm\n\n\n\n24\n4\nn\nm\nZatem wielomian W ma postać\n( )\n24\n22\n4\n2\n2\n3\nx\nx\nx\nx\nW\nRozwiązujemy nierówność\n0\n24\n22\n4\n2\n2\n3\n≥\nx\nx\nx\nPo podzieleniu wielomianu W przez dwumian\n3\nx\notrzymujemy iloraz\n2\n2\n10\n8\nx\nx\n, który\ndzielimy przez dwumian\n4\nx\ni otrzymujemy iloraz 2\n2\nx -\n. W rezultacie wielomian W\nmożemy zapisać w postaci\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n4\n1\n3\n2\nx\nx\nx\nx\nW\n. Pierwiastkami wielomianu W są\nliczby:\n3\n-, 1, 4 .\nSzkicujemy wykres wielomianu W, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności.\nIV. Użycie i\ntworzenie strategii.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (3 pkt)
Niech
4
log7
a
Wyznacz
49
log
2
w zależności od a.

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
1.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje wzór na logarytm potęgi
\n

i wzór na zamianę podstawy logarytmu (R1.b).
Przykładowe rozwiązanie
Stosujemy wzory na zamianę podstaw logarytmu zapisujemy liczbę
49
log
2
w postaci
2
log
49
log
49
log
7
7
2
i wykonujemy kolejne przekształcenia:
2
log
2
49
log
7
2
Zauważamy, że jeżeli
7
log 4
a
to
(
)
4
7
7
7
log 4
log
2
4log
2
a
Zatem
4
2
log 7
a
Stąd wynika, że
a
a
8
4
2
49
log
2
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający:
zastosuje twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu, na przykład zapisze szukaną
liczbę w postaci:
2
7
2
log
49
log
2
lub
2
7
4
log
49
log 2
albo
wyznaczy liczbę
2
log7
w zależności od a:
4
2
log 7
a
lub liczbę
7
log 2
w zależności od a:
7
log 2
2
a
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający zastosuje twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu, na przykład zapisze szukaną
liczbę w postaci:
2
7
2
log
49
log
2
lub
2
7
4
log
49
log 2
oraz wyznaczy liczbę
2
log7
w zależności od a:
4
2
log 7
a
lub liczbę
7
log 2 w zależności od a:
7
log 2
2
a
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający wyznaczy liczbę
2
log
49 : 8
a .
Zadanie 2. (0-5)
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wielomian
( )
n
x
mx
x
x
W
22
2
2
3
jest podzielny przez dwumiany
3
x
i
4
x
, zatem
(
)
( )



0
4
0
3
W
W
Rozwiązujemy układ równań:
(
)
(
)
(
)



⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0
4
22
4
4
2
0
3
22
3
3
2
2
3
2
3
n
m
n
m
(
)



⋅
⋅
0
88
16
64
2
0
66
9
27
2
n
m
n
m



40
16
12
9
n
m
n
m



24
4
n
m
Zatem wielomian W ma postać
( )
24
22
4
2
2
3
x
x
x
x
W
Rozwiązujemy nierówność
0
24
22
4
2
2
3
≥
x
x
x
Po podzieleniu wielomianu W przez dwumian
3
x
otrzymujemy iloraz
2
2
10
8
x
x
, który
dzielimy przez dwumian
4
x
i otrzymujemy iloraz 2
2
x -
. W rezultacie wielomian W
możemy zapisać w postaci
( )
(
)(
)(
)
4
1
3
2
x
x
x
x
W
. Pierwiastkami wielomianu W są
liczby:
3
-, 1, 4 .
Szkicujemy wykres wielomianu W, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności.
IV. Użycie i
tworzenie strategii.

","solutions":[]}