{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (6 pkt)\nW trapezie równoramiennym ABCD, w którym\nAB CD , dane są\n84\nAB =\n,\n36\nCD =\n,\n40\nBC\nAD\n. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABP, gdzie P jest punktem\nprzecięcia przekątnych tego trapezu.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"5. Jeżeli zdający poda jako całe rozwiązanie: ciąg arytmetyczny: 2, 4, 6, 8, albo 4, 4, 4, 4, to\notrzymuje 2 punkty.\nZadanie 5. (0-6)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu oraz\nznajduje związki miarowe w figurach płaskich,\ntakże z zastosowaniem trygonometrii (R7.a, 7.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWprowadzamy oznaczenia:\n2 ,\nFAP\nFG\nr\nα\n\nW trapezie równoramiennym ABCD mamy:\n84\n36\n60\n2\n2\nAB\nCD\nAE\noraz\n84\n36\n24\n2\n2\nAB\nCD\nBE\nStosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC, obliczamy wysokość CE trapezu\n2\n2\n1600\n576\n32\nCE\nBC\nBE\nW trójkącie AEC mamy\n32\n8\ntg2\n60\n15\nα =\nKorzystając ze wzoru na tangens podwojonego kąta, obliczamy kolejno:\n2\n2tg\n8\n1\ntg\n15\nα\nα =\n,\n2\n15tg\n4\n4tg\nα\nα\n,\n2\n4tg\n15tg\n4\n0\nα\nα\n,\n289\nΔ =\n,\n15+17\n1\ntg\n8\n4\nα\nP\nE\nD\nC\nB\nA\nα\nr\nα\nF\nG\nUjemne rozwiązanie odrzucamy, bo α jest kątem ostrym.\nObliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABP:\n1\ntg\n42\n10,5\n4\nr\nAF\nα\n⋅\n⋅\nII sposób\nW trapezie równoramiennym ABCD mamy:\n84\n36\n60\n2\n2\nAB\nCD\nAE\noraz\n84\n36\n24\n2\n2\nAB\nCD\nBE\nPonadto\n42\nAF\nFB\nStosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC obliczamy wysokość CE trapezu\n2\n2\n1600\n576\n32\nCE\nBC\nBE\nKorzystając z podobieństwa trójkątów AFP i AEC, obliczamy wysokość PF trójkąta ABP.\nMamy\nPF\nCE\nAF\nAE\n,\nstąd","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (6 pkt)
W trapezie równoramiennym ABCD, w którym
AB CD , dane są
84
AB =
,
36
CD =
,
40
BC
AD
. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABP, gdzie P jest punktem
przecięcia przekątnych tego trapezu.

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"
  1. Jeżeli zdający poda jako całe rozwiązanie: ciąg arytmetyczny: 2, 4, 6, 8, albo 4, 4, 4, 4, to
\n

otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 5. (0-6)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące
\n

czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu oraz
znajduje związki miarowe w figurach płaskich,
także z zastosowaniem trygonometrii (R7.a, 7.c).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wprowadzamy oznaczenia:
2 ,
FAP
FG
r
α

W trapezie równoramiennym ABCD mamy:
84
36
60
2
2
AB
CD
AE
oraz
84
36
24
2
2
AB
CD
BE
Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC, obliczamy wysokość CE trapezu
2
2
1600
576
32
CE
BC
BE
W trójkącie AEC mamy
32
8
tg2
60
15
α =
Korzystając ze wzoru na tangens podwojonego kąta, obliczamy kolejno:
2
2tg
8
1
tg
15
α
α =
,
2
15tg
4
4tg
α
α
,
2
4tg
15tg
4
0
α
α
,
289
Δ =
,
15+17
1
tg
8
4
α
P
E
D
C
B
A
α
r
α
F
G
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo α jest kątem ostrym.
Obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABP:
1
tg
42
10,5
4
r
AF
α
⋅
⋅
II sposób
W trapezie równoramiennym ABCD mamy:
84
36
60
2
2
AB
CD
AE
oraz
84
36
24
2
2
AB
CD
BE
Ponadto
42
AF
FB
Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC obliczamy wysokość CE trapezu
2
2
1600
576
32
CE
BC
BE
Korzystając z podobieństwa trójkątów AFP i AEC, obliczamy wysokość PF trójkąta ABP.
Mamy
PF
CE
AF
AE
,
stąd

","solutions":[]}