Zadanie 6. (6 pkt)
Punkty
(
)1
,1
A
i
(
)
2
,6
B
są wierzchołkami trójkąta ABC. Wysokości trójkąta ABC
przecinają się w punkcie
(
)
3
,3
M
. Oblicz pole tego trójkąta.
Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
6.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt
Poziom rozszerzony
MMA_1R
trygonometryczne (R6.e).
Przykładowe rozwiązanie
Korzystając z „jedynki trygonometrycznej”, sprowadzamy równanie
0
3
sin
3
cos
2
2
x
x
do równania z jedną funkcją trygonometryczną:
0
3
sin
3
)
sin
1(
2
2
x
x
,
0
1
sin
3
sin
2
2
x
x
Wprowadzamy niewiadomą pomocniczą, np.
t
x =
sin
,
1, 1
t ∈-
Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą t :
0
1
3
2 2
t
Rozwiązaniem równania są liczby
1
1
t
,
2
1
2
t
Powracając do podstawienia, otrzymujemy:
1
sin
x
lub
1
sin
2
x = -
, a stąd dane równanie
w przedziale 0,2π ma rozwiązania:
3
2
x
π
lub
7
6
x
π
lub
11
6
x
π
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający przekształci równanie
0
3
sin
3
cos
2
2
x
x
do równania z jedną funkcją
trygonometryczną np.
0
1
sin
3
sin
2
2
x
x
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający rozwiąże równanie kwadratowe
0
1
sin
3
sin
2
2
x
x
:
1
sin
x
lub
1
sin
2
x = -
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie
1
sin
x
:
π
π
k
x
2
2
3
lub równanie
1
sin
2
x = -
:
7
2
6
x
k
π
π
lub
11
2
6
x
k
π
π
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający rozwiąże oba równania:
1
sin
x
oraz
1
sin
2
x = -
uwzględniając podany przedział:
3
2
x
π
lub
7
6
x
π
lub
11
6
x
π
Uwagi:
należące do przedziału
1
,1
i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to za całe
rozwiązanie otrzymuje 3 punkty.
i tylko jeden z nich należy do przedziału
1
,1
i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca,
to za całe rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 4. (0-6)
III. Modelowanie
matematyczne.
lub geometryczny, stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę
n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego, również umieszczone w kontekście
praktycznym. (5.b,c).
Przykładowe rozwiązanie
Oznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Jeżeli drugi wyraz tego ciągu jest równy 4,
to
4
a
r
-,
4
b
r
i
4
2
c
r
Przy tych oznaczeniach, ciąg geometryczny (
)
,
, 4
a a
b
c
możemy zapisać następująco
(
)
4
, 8,16
8
r
r
. Stąd otrzymujemy równanie
(
)(
)
64
4
16
8
r
r
Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie
(
)
8
2
0
r r -
. Rozwiązaniami tego równania są
liczby
0
r =
oraz
2
r =
Dla
0
r =
otrzymujemy
4
a
b
c
Dla
2
r =
otrzymujemy
2
a =
,
6
b =
,
8
c = .
Uwaga:
W rozwiązaniu można zapisać pierwszy i czwarty wyraz ciągu w zależności od trzeciego
wyrazu ciągu arytmetycznego.
Jeżeli
8
a
b
oraz
2
4
c
b
, to ciąg geometryczny ma postać (
)
8
, 8, 2
4
b
b
Wykorzystując własność ciągu geometrycznego, możemy zapisać równanie
(
)(
)
64
8
8
16
b
b
Rozwiązaniami tego równania są liczby
4
b =
oraz
6
b =
Gdy
4
b =
, to
4
a =
i
4
c =
Gdy
6
b =
, to
2
a =
i
8
c = .
Możemy też zapisać trzeci i czwarty wyraz ciągu w zależności od pierwszego wyrazu ciągu
arytmetycznego.
Jeżeli
8
b
a
oraz
12
2
c
a
, to ciąg geometryczny ma postać (
)
, 8, 48 8
a
a
Wykorzystując własność ciągu geometrycznego, możemy zapisać równanie
(
)
64
48
8
a
a
Rozwiązaniami tego równania są liczby
2
a =
oraz
4
a =
Gdy
2
a =
, to
6
b =
i
8
c = .
Gdy
4
a =
, to
4
b =
i
4
c =
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i wprowadzi oznaczenia, np.:
4
a
r
-,
4
b
r
i
4
2
c
r
lub
8
a
b
oraz
2
4
c
b
,
lub
8
b
a
oraz
12
2
c
a
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze wyrazy ciągu geometrycznego z użyciem jednej niewiadomej, np.:
(
)
4
, 8,16
8
r
r
lub (
)
8
, 8, 2
4
b
b
, lub (
)
, 8, 48 8
a
a
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający wykorzysta własności ciągu geometrycznego i zapisze równanie z jedną niewiadomą,
np.:
(
)(
)
64
4
16
8
r
r
lub
(
)(
)
64
8
8
16
b
b
, lub
(
)
64
48
8
a
a
Pokonanie zasadniczych trudności zadania i dodatkowy postęp na drodze do pełnego
rozwiązania 4 p.
Zdający obliczy różnicę ciągu arytmetycznego w przynajmniej jednym przypadku lub
wyznaczy jedną z liczb spośród a, b, c i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie do końca z błędami rachunkowymi, które nie przekreślają poprawności
rozwiązania 5 p.
Zdający obliczy ,a b i c
• tylko w jednym przypadku
4
a
r
-,
4
b
r
i
4
2
c
r
albo
• w dwóch przypadkach z błędami rachunkowymi.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy a, b, c w obu przypadkach:
4
a
b
c
lub
2
a =
,
6
b =
,
8
c = .
Uwagi:
4
a
b
c
, to za całe rozwiązanie otrzymuje
1 punkt.
4
a
b
c
lub
2
a =
,
6
b =
,
8
c = i sprawdzi, że odpowiednie
ciągi spełniają warunki zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
1 punkt.
","solutions":[]}