{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (6 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5,\na kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego\nostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej, mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt\ni współczynnik a w równaniu kierunkowym, bada równoległość\ni prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych,\ninterpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi (8.b, c, d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczamy równanie prostej AB , korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej\nprzez dwa punkty: (\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n1\n1\n2\n1\n6\n1\nx\ny\n(\n) (\n)\n0\n1\n1\n5\nx\ny\n,\n(\n)\n1\n1\n5\nx\ny\nZatem prosta AB ma równanie\n5\n4\n5\n1\nx\ny\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt M:\n18\n5 +\nx\ny\nWyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty\n(\n)1\n,1\nA\ni\n(\n)\n3\n,3\nM\n:\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n1\n1\n3\n1\n3\n1\nx\ny\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\nx\ny\nZatem prosta AM ma równanie\nx\ny =\nWspółczynnik kierunkowy prostej BC jest równy\n1\n2\na\ni do prostej należy punkt B, więc\nrównanie prostej ma postać\n8\nx\ny\nPunkt\n(\n)\ny\nx\nC\n,\njest punktem wspólnym prostych CM i BC , więc jego współrzędne\nwyznaczamy, rozwiązując układ równań\n\n\n\n8\n18\n5\nx\ny\nx\ny\nZatem punkt C ma współrzędne\n\n\n\n\n\n\n2\n11\n,\n2\n5\nWyznaczamy pole trójkąta ABC . Można to zrobić różnymi metodami.\nI metoda wyznaczania pola trójkąta ABC\nObliczamy długość odcinka AB :\n(\n)\n(\n)\n26\n1\n2\n1\n6\n2\n2\nAB\nWyznaczamy odległość h punktu C od prostej AB .\n26\n21\n5\n1\n4\n2\n11\n5\n2\n5\n2\n2\n⋅\nh\nWyznaczamy pole trójkąta ABC :\n5,\n10\n2\n21\n26\n21\n26\n2\n1\n2\n1\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nh\nAB\nP\nOdp.: Pole trójkąta ABC jest równe\n5,\n10\nP\nII metoda wyznaczania pola trójkąta ABC\nWyznaczamy pole trójkąta ABC , korzystając ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach\nw punktach\n(\n)1\n,1\nA\ni\n(\n)\n2\n,6\nB\ni\n\n\n\n\n\n\n2\n11\n,\n2\n5\nC\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n2\n5\n1\n2\n1\n2\n11\n1\n6\n2\n1\n2\n1\nA\nC\nA\nB\nA\nC\nA\nB\nx\nx\ny\ny\ny\ny\nx\nx\nP\n,\n5,\n10\n5,1\n5,\n22\n2\n1\nP\nOdp.: Pole trójkąta ABC jest równe\n5,\n10\nP\nIII metoda wyznaczania pola trójkąta ABC\nWyznaczamy współrzędne wektorów AB i AC :\n[\n]1\n,5\nAB\ni\n\n\n\n\n2\n9\n,\n2\n3\nAC\nWyznaczamy pole trójkąta ABC , korzystając ze wzoru\n(\n)\n(\n)\n5,\n10\n5,1\n5,\n22\n2\n1\n5,4\n5,1\n1\n5\n2\n1\n,\n2\n1\nAC\nAB\nd\nP\nOdp.: Pole trójkąta ABC jest równe\n5,\n10\nP\nII sposób\nWyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty\n(\n)1\n,1\nA\ni\n(\n)\n3\n,3\nM\n:\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n1\n1\n3\n1\n3\n1\nx\ny\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\nx\ny\nZatem prosta AM ma równanie\nx\ny =\nWyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty\n(\n)\n2\n,6\nB\ni\n(\n)\n3\n,3\nM\n:\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n6\n2\n3\n6\n3\n2\nx\ny\n,\n(\n) (\n)\n0\n6\n2\n3\nx\ny\nZatem prosta BM ma równanie\n4\n3\n1\nx\ny\nWyznaczamy równania prostych, zawierających boki AC i BC trójkąta, które są prostopadłe\nodpowiednio do prostych: BM i AM .\nWspółczynnik kierunkowy prostej AC jest równy\n3\n1 =\na\ni do prostej należy punkt A, więc\nrównanie prostej ma postać\n2\n3 -\n= x\ny\nWspółczynnik kierunkowy prostej BC jest równy\n1\n2\na\ni do prostej należy punkt B, więc\nrównanie prostej ma postać\n8\nx\ny\nPunkt\n(\n)\ny\nx\nC\n,\njest punktem wspólnym prostych AC i BC , więc jego współrzędne\nwyznaczamy, rozwiązując układ równań\n\n\n\n8\n2\n3\nx\ny\nx\ny\n8\n2\n3\nx\nx\n,\n5,2\nx\n,\n5,5\ny\nZatem punkt C ma współrzędne\n\n\n\n\n\n\n2\n11\n,\n2\n5\nWyznaczamy pole trójkąta ABC jak w I sposobie rozwiązania.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy równanie prostej AB :\n5\n4\n5\n1\nx\ny\nalbo\nwyznaczy równanie prostej AM :\nx\ny =\n,\nalbo\nwyznaczy równanie prostej BM :\n4\n3\n1\nx\ny\n,\nalbo\n• obliczy długość odcinka AB:\n26\nAB\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy równania prostych AB :\n5\n4\n5\n1\nx\ny\ni AM :\nx\ny =\nalbo\n• wyznaczy równania prostych AM :\nx\ny =\ni BM :\n4\n3\n1\nx\ny\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp i w którym przedstawiono początek\nrozumowania prowadzącego do pokonania zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający wyznaczy równania prostych zawierających boki AC i BC i na tym zakończy lub\ndalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu\n\n\n\n\n\n\n2\n11\n,\n2\n5\nC\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 p.\nZdający\n• wyznaczy odległość h punktu C od prostej AB :\n26\n21\nh\ni na tym zakończy\nalbo\n• popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do\nkońca.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający wyznaczy pole trójkąta ABC :\n5,\n10\nP\nUwagi:\n1. Jeśli zdający wyznaczy równania prostych zawierających boki AC i BC i na tym\npoprzestanie, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający obliczy długość AB i wyznaczy równanie prostej AB, to otrzymuje\n2 punkty.\nZadanie 7. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\noraz\n2\n2\na\nb\n(2.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPonieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, więc\n6\n1\na\nk\n+ , gdzie k jest liczbą\ncałkowitą nieujemną.\nPonieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc\n6\n5\nb\nl\n+ , gdzie l jest liczbą\ncałkowitą nieujemną.\nWtedy\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n1\n6\n5\n6\n6\n6\n6\n6\n4\n12\n1 3\n3\n2\na\nb\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nWykazaliśmy, że liczba\n2\n2\na\nb\njest podzielna przez 12. Należy jeszcze wykazać, że\nprzynajmniej jedna z liczb\n1\nk\nl\n+ + lub 3\n3\n2\nk\nl\njest podzielna przez 2.\nJeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k\nl\n- jest parzysta oraz liczba\n(\n)\n3\n3\n2\n3\n2\nk\nl\nk\nl\njest parzysta, jako różnica dwóch liczb parzystych.\nJeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba\n1\nk\nl\n+ + jest parzysta, jako suma\ndwóch liczb nieparzystych i jednej parzystej. To kończy dowód.\nII sposób\nPonieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, więc\n6\n1\na\nk\n+ , gdzie k jest liczbą\ncałkowitą nieujemną.\nPonieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc\n6\n1\nb\nl\n-, gdzie l jest liczbą\ncałkowitą nieujemną.\nWtedy\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n1\n6\n1\n6\n6\n6\n6\n2\n12\n3\n3\n1\na\nb\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nk\nl\nWykazaliśmy, że liczba\n2\n2\na\nb\njest podzielna przez 12. Należy jeszcze wykazać, że\nprzynajmniej jedna z liczb k\nl\n+ lub 3\n3\n1\nk\nl\n+ jest podzielna przez 2.\nJeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k\nl\n+ jest parzysta.\nJeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba k\nl\n- jest nieparzysta, więc liczba\n(\n)\n3\n3\n1\n3\n1\nk\nl\nk\nl\n+ jest parzysta. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający zapisze liczbę\n2\n2\na\nb\nw postaci\n(\n)(\n)\n12\n1 3\n3\n2\nk\nl\nk\nl\nlub w postaci\n(\n)(\n)\n12\n3\n3\n1\nk\nl\nk\nl\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• uzasadni parzystość jednej z liczb\n1\nk\nl\n+ + lub 3\n3\n2\nk\nl\nw jednym z przypadków\nw zależności od parzystości liczb k i l\nalbo\n• uzasadni parzystość jednej z liczb k\nl\n+ lub 3\n3\n1\nk\nl\n+ w jednym z przypadków\nw zależności od parzystości liczb k i l.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający uzasadni podzielność liczby\n2\n2\na\nb\nprzez 24.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozważa tylko szczególne przypadki, np. przyjmie\n6\n1\na\nk\n+ oraz\n6\n5\nb\nk\ni wyznaczy\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n1\n6\n5\n24\n2\n1\na\nb\nk\nk\nk\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (6 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5,
a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego
ostrosłupa.

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
8.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje
\n

równanie prostej, mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt
i współczynnik a w równaniu kierunkowym, bada równoległość
i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych,
interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych
z dwiema niewiadomymi (8.b, c, d).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wyznaczamy równanie prostej AB , korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej
przez dwa punkty: (
)(
) (
)(
)
0
1
1
2
1
6
1
x
y
(
) (
)
0
1
1
5
x
y
,
(
)
1
1
5
x
y
Zatem prosta AB ma równanie
5
4
5
1
x
y
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt M:
18
5 +
x
y
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty
(
)1
,1
A
i
(
)
3
,3
M
:
(
)(
) (
)(
)
0
1
1
3
1
3
1
x
y
,
(
)
(
)
0
1
2
1
2
x
y
Zatem prosta AM ma równanie
x
y =
Współczynnik kierunkowy prostej BC jest równy
1
2
a
i do prostej należy punkt B, więc
równanie prostej ma postać
8
x
y
Punkt
(
)
y
x
C
,
jest punktem wspólnym prostych CM i BC , więc jego współrzędne
wyznaczamy, rozwiązując układ równań



8
18
5
x
y
x
y
Zatem punkt C ma współrzędne






2
11
,
2
5
Wyznaczamy pole trójkąta ABC . Można to zrobić różnymi metodami.
I metoda wyznaczania pola trójkąta ABC
Obliczamy długość odcinka AB :
(
)
(
)
26
1
2
1
6
2
2
AB
Wyznaczamy odległość h punktu C od prostej AB .
26
21
5
1
4
2
11
5
2
5
2
2
⋅
h
Wyznaczamy pole trójkąta ABC :
5,
10
2
21
26
21
26
2
1
2
1
⋅
⋅
⋅
⋅
h
AB
P
Odp.: Pole trójkąta ABC jest równe
5,
10
P
II metoda wyznaczania pola trójkąta ABC
Wyznaczamy pole trójkąta ABC , korzystając ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach
w punktach
(
)1
,1
A
i
(
)
2
,6
B
i






2
11
,
2
5
C
(
)(
) (
)(
)
(
)
(
)












1
2
5
1
2
1
2
11
1
6
2
1
2
1
A
C
A
B
A
C
A
B
x
x
y
y
y
y
x
x
P
,
5,
10
5,1
5,
22
2
1
P
Odp.: Pole trójkąta ABC jest równe
5,
10
P
III metoda wyznaczania pola trójkąta ABC
Wyznaczamy współrzędne wektorów AB i AC :
[
]1
,5
AB
i




2
9
,
2
3
AC
Wyznaczamy pole trójkąta ABC , korzystając ze wzoru
(
)
(
)
5,
10
5,1
5,
22
2
1
5,4
5,1
1
5
2
1
,
2
1
AC
AB
d
P
Odp.: Pole trójkąta ABC jest równe
5,
10
P
II sposób
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty
(
)1
,1
A
i
(
)
3
,3
M
:
(
)(
) (
)(
)
0
1
1
3
1
3
1
x
y
,
(
)
(
)
0
1
2
1
2
x
y
Zatem prosta AM ma równanie
x
y =
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty
(
)
2
,6
B
i
(
)
3
,3
M
:
(
)(
) (
)(
)
0
6
2
3
6
3
2
x
y
,
(
) (
)
0
6
2
3
x
y
Zatem prosta BM ma równanie
4
3
1
x
y
Wyznaczamy równania prostych, zawierających boki AC i BC trójkąta, które są prostopadłe
odpowiednio do prostych: BM i AM .
Współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy
3
1 =
a
i do prostej należy punkt A, więc
równanie prostej ma postać
2
3 -
= x
y
Współczynnik kierunkowy prostej BC jest równy
1
2
a
i do prostej należy punkt B, więc
równanie prostej ma postać
8
x
y
Punkt
(
)
y
x
C
,
jest punktem wspólnym prostych AC i BC , więc jego współrzędne
wyznaczamy, rozwiązując układ równań



8
2
3
x
y
x
y
8
2
3
x
x
,
5,2
x
,
5,5
y
Zatem punkt C ma współrzędne






2
11
,
2
5
Wyznaczamy pole trójkąta ABC jak w I sposobie rozwiązania.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• wyznaczy równanie prostej AB :
5
4
5
1
x
y
albo
wyznaczy równanie prostej AM :
x
y =
,
albo
wyznaczy równanie prostej BM :
4
3
1
x
y
,
albo
• obliczy długość odcinka AB:
26
AB
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• wyznaczy równania prostych AB :
5
4
5
1
x
y
i AM :
x
y =
albo
• wyznaczy równania prostych AM :
x
y =
i BM :
4
3
1
x
y
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i w którym przedstawiono początek
rozumowania prowadzącego do pokonania zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający wyznaczy równania prostych zawierających boki AC i BC i na tym zakończy lub
dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.
Zdający wyznaczy współrzędne punktu






2
11
,
2
5
C
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 p.
Zdający
• wyznaczy odległość h punktu C od prostej AB :
26
21
h
i na tym zakończy
albo
• popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do
końca.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający wyznaczy pole trójkąta ABC :
5,
10
P
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający wyznaczy równania prostych zawierających boki AC i BC i na tym
\n

poprzestanie, to otrzymuje 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy długość AB i wyznaczy równanie prostej AB, to otrzymuje
\n

2 punkty.
Zadanie 7. (0-3)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego
\n

mnożenia na (
)
2
a
b
±
oraz
2
2
a
b
(2.1).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Ponieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, więc
6
1
a
k

\n\n

całkowitą nieujemną.
Ponieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc
6
5
b
l

\n\n

całkowitą nieujemną.
Wtedy
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
6
1
6
5
6
6
6
6
6
4
12
1 3
3
2
a
b
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
Wykazaliśmy, że liczba
2
2
a
b
jest podzielna przez 12. Należy jeszcze wykazać, że
przynajmniej jedna z liczb
1
k
l

\n\n

3
2
k
l
jest podzielna przez 2.
Jeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k
l

\n\n

(
)
3
3
2
3
2
k
l
k
l
jest parzysta, jako różnica dwóch liczb parzystych.
Jeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba
1
k
l

\n\n

dwóch liczb nieparzystych i jednej parzystej. To kończy dowód.
II sposób
Ponieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, więc
6
1
a
k

\n\n

całkowitą nieujemną.
Ponieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc
6
1
b
l
-, gdzie l jest liczbą
całkowitą nieujemną.
Wtedy
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
6
1
6
1
6
6
6
6
2
12
3
3
1
a
b
k
l
k
l
k
l
k
l
k
l
Wykazaliśmy, że liczba
2
2
a
b
jest podzielna przez 12. Należy jeszcze wykazać, że
przynajmniej jedna z liczb k
l

\n\n

3
1
k
l

\n\n

Jeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k
l

\n\n

Jeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba k
l

\n\n

(
)
3
3
1
3
1
k
l
k
l

\n\n

Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający zapisze liczbę
2
2
a
b
w postaci
(
)(
)
12
1 3
3
2
k
l
k
l
lub w postaci
(
)(
)
12
3
3
1
k
l
k
l
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający
• uzasadni parzystość jednej z liczb
1
k
l

\n\n

3
2
k
l
w jednym z przypadków
w zależności od parzystości liczb k i l
albo
• uzasadni parzystość jednej z liczb k
l

\n\n

3
1
k
l

\n\n

w zależności od parzystości liczb k i l.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający uzasadni podzielność liczby
2
2
a
b
przez 24.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozważa tylko szczególne przypadki, np. przyjmie
6
1
a
k

\n\n

6
5
b
k
i wyznaczy
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
6
1
6
5
24
2
1
a
b
k
k
k
, to za całe rozwiązanie otrzymuje

","solutions":[]}