{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie sin cos\ncos\nx\nx\nx\nx\n3\n0\ntg\n2\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n9\n10\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n10 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"10 5\n5\n4\n4 5\n, więc pole trapezu:\nP\na\nb\nh\n2\n1\n5 5 4 5\n100\nABCD\n$\n$\nh\nSchemat oceniania trzech sposobów\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający:\n• zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie ABS:\ncos\nAB\n10\n10\n2 10\n180°\n2\n2\n2\n2\n$\n$\na\nh\nalbo\n• zastosuje wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczy sin 2\n5\n5\na =\nA\nS\nB\nD\nF\nE\nC\nc\nc\nh\nr\nα\n2\nα\n15 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nalbo\n• zastosuje własność czworokąta opisanego na okręgu i zapisze równość 2b + 2x = 2c lub wyznaczy\nwysokość trapezu w zależności od długości ramienia h\nc\n5\n4\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający:\n• obliczy długość dolnej podstawy: AB\n8 5\nlub wysokość trapezu: h\n4 5\nalbo\n• zapisze równość b\nc\n5\n2\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający:\n• obliczy długość dolnej podstawy: AB\n8 5\nlub wysokość trapezu: h\n4 5\nalbo\n• zapisze obie równości: b\nc\n5\n2\ni h\nc\n5\n4\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe)\n4 pkt\nZdający:\n• obliczy długość ramienia trapezu: c\n5 5\ni sumę długości jego podstaw:\nAB\nCD\nc\n2\n10 5\nalbo\n• obliczy długość górnej postawy trapezu: CD\n2 5\ni poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do końca z błędem rachunkowym (nawet na\nwcześniejszych etapach rozwiązania).\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający wyznaczy pole trapezu: PABCD = 100.\nZadanie 14. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7.3. Planimetria.\nZdający znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych\nw jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.).\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n5) posługuje się równaniem okręgu\na\nx\ny\nb\nr\n2\n2\n2\nh\nh\noraz\nopisuje koła za pomocą nierówności;\n7) oblicza współrzędne oraz długość wektora, dodaje i odejmuje\nwektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie\ndziałania na wektorach.\nPOZIOM PODSTAWOWY\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n6) oblicza odległość dwóch punktów.\n16 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPunkt A' = (a, b) leży na prostej x + 2y + 10 = 0, więc a + 2b + 10 = 0,\nstąd a = -2b - 10, zatem współrzędne punktu A' = (-2b - 10, b).\nZ definicji jednokładności:\nk\nOA\nOA\n$\nl\n,\n,\nb\nb\nk\n2\n10\n3\n2 3\n$\n6\n6\n@\n@\nZ równości wektorów otrzymujemy układ równań:\nb\nk\nb\nk\n2\n10\n2\n3\n3\nktórego rozwiązaniem jest para k\nb\n2\n3\nZatem skala jednokładności k = -2 oraz A' = (-4,-3).\nZ definicji jednokładności wyznaczamy teraz współrzędne punktu B' = (b1, b2):\nk\nOB\nOB\n$\nl\n,\n,\nb b\n3\n2\n4 1\n1\n2\n$\n6\n6\n@\n@\nb\nb\n8\n1\n1\n2\n(\nB' = (8, 1)\nZe wzoru na współrzędne środka odcinka ustalamy współrzędne środka okręgu, którego średnicą jest\nodcinek A'B': S'= (2, -1) oraz ze wzoru na odległość dwóch punktów obliczamy promień tego okręgu:\nr\nS B\n8\n2\n1\n1\n40\n2\n2\nh\nh\n, więc równanie tego okręgu: x\ny\n2\n1\n40\n2\n2\nh\nh\nx\ny","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Rozwiąż równanie sin cos
cos
x
x
x
x
3
0
tg
2
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
9
10
Maks. liczba pkt
3
4
Uzyskana liczba pkt

\n

10 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

10 5
5
4
4 5
, więc pole trapezu:
P
a
b
h
2
1
5 5 4 5
100
ABCD
$
$
h
Schemat oceniania trzech sposobów
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający:
• zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie ABS:
cos
AB
10
10
2 10
180°
2
2
2
2
$
$
a
h
albo
• zastosuje wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczy sin 2
5
5
a =
A
S
B
D
F
E
C
c
c
h
r
α
2
α
15 z 23
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
albo
• zastosuje własność czworokąta opisanego na okręgu i zapisze równość 2b + 2x = 2c lub wyznaczy
wysokość trapezu w zależności od długości ramienia h
c
5
4
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający:
• obliczy długość dolnej podstawy: AB
8 5
lub wysokość trapezu: h
4 5
albo
• zapisze równość b
c
5
2
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający:
• obliczy długość dolnej podstawy: AB
8 5
lub wysokość trapezu: h
4 5
albo
• zapisze obie równości: b
c
5
2
i h
c
5
4
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozwiązania (np. błędy rachunkowe)
4 pkt
Zdający:
• obliczy długość ramienia trapezu: c
5 5
i sumę długości jego podstaw:
AB
CD
c
2
10 5
albo
• obliczy długość górnej postawy trapezu: CD
2 5
i poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do końca z błędem rachunkowym (nawet na
wcześniejszych etapach rozwiązania).
Rozwiązanie pełne
5 pkt
Zdający wyznaczy pole trapezu: PABCD = 100.
Zadanie 14. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
7.3. Planimetria.
Zdający znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych
w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.).

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:
  2. posługuje się równaniem okręgu
\n

a
x
y
b
r
2
2
2
h
h
oraz
opisuje koła za pomocą nierówności;

\n
  1. oblicza współrzędne oraz długość wektora, dodaje i odejmuje
\n

wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie
działania na wektorach.
POZIOM PODSTAWOWY

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:
  2. wyznacza współrzędne środka odcinka;
  3. oblicza odległość dwóch punktów.
\n

16 z 23
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Punkt A' = (a, b) leży na prostej x + 2y + 10 = 0, więc a + 2b + 10 = 0,
stąd a = -2b - 10, zatem współrzędne punktu A' = (-2b - 10, b).
Z definicji jednokładności:
k
OA
OA
$
l
,
,
b
b
k
2
10
3
2 3
$
6
6
@
@
Z równości wektorów otrzymujemy układ równań:
b
k
b
k
2
10
2
3
3
którego rozwiązaniem jest para k
b
2
3
Zatem skala jednokładności k = -2 oraz A' = (-4,-3).
Z definicji jednokładności wyznaczamy teraz współrzędne punktu B' = (b1, b2):
k
OB
OB
$
l
,
,
b b
3
2
4 1
1
2
$
6
6
@
@
b
b
8
1
1
2
(
B' = (8, 1)
Ze wzoru na współrzędne środka odcinka ustalamy współrzędne środka okręgu, którego średnicą jest
odcinek A'B': S'= (2, -1) oraz ze wzoru na odległość dwóch punktów obliczamy promień tego okręgu:
r
S B
8
2
1
1
40
2
2
h
h
, więc równanie tego okręgu: x
y
2
1
40
2
2
h
h
x
y

","solutions":[]}