Zadanie 11. (0-4)
Funkcja f określona jest wzorem f x
x
x
1
3
^ h
dla każdej liczby rzeczywistej x
1
=Y . Wyznacz równania
tych stycznych do wykresu funkcji f, które tworzą z osią Ox kąt 45°.
11 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
11
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
12 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
11 z 23
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Zadanie 12. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
i kombinatoryka.
Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji
i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych
sytuacjach kombinatorycznych.
Przykładowe rozwiązanie
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru {1, 2, 3, …, n}, czyli
kombinacje. Zatem liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego jest równa:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
2
2
2
1
2
2
1
!
!
!
!
!
$
$
$
$
$
X =
a
k
h
h
h
h
h
Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowano dwie liczby różniące się co najmniej o trzy. Łatwiej wskazać
wyniki, które nie sprzyjają zdarzeniu A, dlatego rozważamy zdarzenie przeciwne:
A' - wylosowano dwie liczby różniące się o mniej niż trzy.
Zdarzenie A' jest sumą dwóch wykluczających się zdarzeń:
B1 - wylosowano dwie liczby różniące się o jeden;
B2 - wylosowano dwie liczby różniące się o dwa.
Zauważmy, że B1 = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, …, {n - 1, n}}, więc |B1 | = n - 1,
B2 = {{1, 3},{2, 4},{3, 5},…,{n - 2,n}}, więc |B2 | = n - 2.
Zatem |A'| = |B1| + |B2| = 2n - 3, czyli z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
P A
A
n n
n
1
2 2
3
X
l
l
h
h
h
Skoro P A
12
7
^ h
, to P A
P A
1
12
5
l
h
h
Układamy równanie:
n
n
n
4
6
12
5
2 -
n
n
n
5
5
48
72
2 -
n
n
5
53
72
0
2 -
które spełniają dwie liczby: n
5
8
1 =
, n2 = 9. Liczba n
5
8
1 =
nie jest liczbą całkowitą, zatem dla n = 9
prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, które różnią się co najmniej o trzy, jest równe 12
7 .
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający:
• zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych
n
2
X = a k
albo
• opisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A'.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający poda liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A': |A'| = 2n - 3.
12 z 23
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych
n
n
n
2
2
1
$
X =
a
k
h i zapisze
prawdopodobieństwo P A
A
n n
n
1
2 2
3
X
l
l
h
h
h.
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający rozwiąże równanie n
n
n
4
6
12
5
2 -
, odrzuci rozwiązanie sprzeczne z warunkami zadania
i poda odpowiedź: n = 9.
Zadanie 13. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
i czworokąty opisane na okręgu;
\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
POZIOM PODSTAWOWY
7.4. Planimetria.
Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych
obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta
ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Dane:
|AS| = |BS| = 10
cosa = 5
3
Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest punktem przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych,
stąd |BSAB| = 2
1 |BDAB| = 2
a . Ponadto trójkąt ABS jest równoramienny, więc |BASB| = 180° - a.
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABS otrzymujemy:
|AB|2 = 102 + 102 - 2 . 102 . cos(180° - a)
cos
AB
200
200
200
200 5
3
320
2
$
$
a
AB
8 5
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AES obliczamy promień okręgu wpisanego w trapez:
r
10
4 5
20
2 5
2
2
h
, więc wysokość trapezu h
4 5
Z jedynki trygonometrycznej sin
cos
1
25
16
2
2
a
a
, czyli sin
5
4
a =
W trójkącie prostokątnym AFD:
,
sin
c
h
a =
stąd c
4 5
4
5
5 5
$
W ten trapez można wpisać okrąg, więc AB
CD
c
2
10 5
, zatem pole trapezu:
P
AB
CD
h
2
1
5 5 4 5
100
ABCD
$
$
h
A
S
B
D
F
E
C
c
c
h
r
α
2
α
13 z 23
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
II sposób
Dane:
|AS| = |BS| = 10
cosa = 5
3
Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest punktem przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych,
stąd |BSAB| = 2
1 |BDAB| = 2
a .
Ze wzoru na cosinus podwojonego kąta otrzymujemy:
cos
sin
1
2
2
2
a
a
sin
5
3
1
2
2
2 a
sin 2
5
5
a =
W trójkącie prostokątnym AES:
sin
r
2
10
a =
r
5
5
10
Stąd r
2 5
, więc wysokość trapezu h
4 5
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AES:
AE
10
2 5
4 5
2
2
2
h
, więc AB
8 5
Z jedynki trygonometrycznej sin
cos
1
25
16
2
2
a
a
, czyli sin
5
4
a =
, stąd
3
4
tga =
W trójkącie prostokątnym AFD:
AF
h
tga =
AF
h
3
4 =
AF
3 5
Z własności trapezu równoramiennego:
CD
AB
AF
2
8 5
6 5
2 5
$
Zatem pole trapezu:
P
AB
CD
h
2
1
5 5 4 5
100
ABCD
$
$
h
A
S
B
D
F
E
C
c
c
h
r
α
2
α
14 z 23
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
III sposób
Dane:
|AS| = |BS| = 10
cosa = 5
3
Przyjmijmy oznaczenia: |AB| = a, |CD| = b, |AD| = |BC| = c, |DF| = h, |AF| = x.
W trójkącie prostokątnym AFD:
cos
c
x
a =
x
c
5
3
W ten trapez można wpisać okrąg, więc:
a + b = 2c
2b + 2x = 2c
b
c
c
5
3
b
c
5
2
Stąd AE
x
b
c
2
1
5
4
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AFD:
h
c
x
c
c
c
5
3
5
4
2
2
2
2
j
Stąd
ES
h
c
2
1
5
2
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AES:
AE
ES
AS
2
2
2
c
c
5
4
5
2
100
2
2
j
j
c
5 5
Ponadto
,
a
b
c
h
c
2