{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"6","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nOblicz wartość parametru k, dla której granica\nk\nn\nk n\nkn\nn\n2\n1\n2\nlim\n!\n!\n!\n!\nn\n\"3^\nh\nh\nh jest równa 9.\nW poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry rozwinięcia dziesiętnego\notrzymanego wyniku.\n\n5 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"6. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę\nsinusów i cosinusów kątów;\n6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu\n,\n,\n,\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\ncos\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n2\n2\n1\n1\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nW równaniu mamy funkcję tangens, zakładamy więc, że x\nk\n2\nr\nr\nY\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nNastępnie przekształcamy równanie:\nsin cos\ncos\nsin\ncos\nx\nx\nx\nx\nx\n3\n0\n2\nsin x (cos 3x + cos x) = 0\nStosujemy wzór na sumę cosinusów i zapisujemy równanie w postaci:\n2 sin x . cos 2x . cos x = 0\n7 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nJest ono równoważne alternatywie równań:\nsin x = 0 lub cos 2x = 0 lub\ncos x = 0\nx = kr\nx\nk\n2\n2\nr\nr\nx\nk\n2\nr\nr\n- sprzeczne z założeniem\nx\nk\n4\n2\nr\nr\nZatem wszystkie liczby rzeczywiste x również możemy zapisać w postaci x\nkr\nlub x\nk\n4\n2\nr\nr\n,\ngdzie k jest liczbą całkowitą.\nAlternatywne rozwiązanie równania sinx (cos3x + cosx) = 0:\nsinx = 0 lub cos3x + cosx = 0\ncos 3x = -cosx = cos (x + r), więc albo 3x = x + r + 2kr dla pewnej liczby całkowitej k, albo\n3x = -(x + r) + 2kr dla pewnej liczby całkowitej k, co prowadzi do wyniku otrzymanego powyżej.\nII sposób\nW równaniu mamy funkcję tangens, zakładamy więc, że x\nk\n2\nr\nr\nY\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nPrzekształcamy równanie do postaci:\nsinx cos3x + sinx cosx = 0\nKorzystamy ze wzoru sin\ncos\nsin\nsin\n2\n1\na\na\na\nb\na\nb\nh\nhh i zapisujemy równanie:\nsin\nsin\nsin\nx\nx\nx\n2\n1\n4\n2\n2\n1\n2\n0\nhh\nsin 4x - sin 2x + sin 2x = 0\nOtrzymujemy równanie: sin4x = 0, czyli 4x = kr, skąd x\nk 4\nr\n. Wśród uzyskanych rozwiązań\nznajdują się te, które nie spełniają założenia, zatem ostatecznie x\nk 4\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\ni k ≠ 2 + 4n dla n d C.\nIII sposób\nZakładamy, że x\nk\n2\nr\nr\nY\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nPrzekształcamy równanie do postaci:\nsinxcos3x + sinxcosx = 0\nZauważmy, że\ncos\ncos\ncos\ncos\nsin\nsin\ncos\ncos\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nh\ncos\ncos\nsin\nx\nx\nx\n3\n1\n4\n2\nh\nPo podstawieniu do równania otrzymujemy:\nsin cos\nsin\nsin cos\nx\nx\nx\nx\nx\n1\n4\n0\n2\nh\nsin cos\nsin\nx\nx\nx\n1\n4\n1\n0\n2\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 6. (0-2)
Oblicz wartość parametru k, dla której granica
k
n
k n
kn
n
2
1
2
lim
!
!
!
!
n
"3^
h
h
h jest równa 9.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.

\n

5 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"
  1. Trygonometria. Zdający:
  2. stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę
\n

sinusów i cosinusów kątów;

\n
  1. rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu
\n

,
,
,
sin
sin
cos
sin
cos
cos
x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
Przykładowe rozwiązania
I sposób
W równaniu mamy funkcję tangens, zakładamy więc, że x
k
2
r
r
Y
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Następnie przekształcamy równanie:
sin cos
cos
sin
cos
x
x
x
x
x
3
0
2
sin x (cos 3x + cos x) = 0
Stosujemy wzór na sumę cosinusów i zapisujemy równanie w postaci:
2 sin x . cos 2x . cos x = 0
7 z 23
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Jest ono równoważne alternatywie równań:
sin x = 0 lub cos 2x = 0 lub
cos x = 0
x = kr
x
k
2
2
r
r
x
k
2
r
r

\n\n

x
k
4
2
r
r
Zatem wszystkie liczby rzeczywiste x również możemy zapisać w postaci x
kr
lub x
k
4
2
r
r
,
gdzie k jest liczbą całkowitą.
Alternatywne rozwiązanie równania sinx (cos3x + cosx) = 0:
sinx = 0 lub cos3x + cosx = 0
cos 3x = -cosx = cos (x + r), więc albo 3x = x + r + 2kr dla pewnej liczby całkowitej k, albo
3x = -(x + r) + 2kr dla pewnej liczby całkowitej k, co prowadzi do wyniku otrzymanego powyżej.
II sposób
W równaniu mamy funkcję tangens, zakładamy więc, że x
k
2
r
r
Y
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Przekształcamy równanie do postaci:
sinx cos3x + sinx cosx = 0
Korzystamy ze wzoru sin
cos
sin
sin
2
1
a
a
a
b
a
b
h
hh i zapisujemy równanie:
sin
sin
sin
x
x
x
2
1
4
2
2
1
2
0
hh
sin 4x - sin 2x + sin 2x = 0
Otrzymujemy równanie: sin4x = 0, czyli 4x = kr, skąd x
k 4
r
. Wśród uzyskanych rozwiązań
znajdują się te, które nie spełniają założenia, zatem ostatecznie x
k 4
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą
i k ≠ 2 + 4n dla n d C.
III sposób
Zakładamy, że x
k
2
r
r
Y
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Przekształcamy równanie do postaci:
sinxcos3x + sinxcosx = 0
Zauważmy, że
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
2
2
2
2
h
h
cos
cos
sin
x
x
x
3
1
4
2
h
Po podstawieniu do równania otrzymujemy:
sin cos
sin
sin cos
x
x
x
x
x
1
4
0
2
h
sin cos
sin
x
x
x
1
4
1
0
2
h

","solutions":[]}