{"id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2016,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nW trójkącie prostokątnym ABC, w którym bok AB jest przeciwprostokątną, na boku BC obrano\npunkt D taki, że\nDAB\nCAD\n2\nB\nB\n. Długość odcinka BD jest równa a, a kąt CAD ma miarę a.\nWykaż, że AD\na\n2\n1\n4\nsin\nsin2\na\na\nh.\n\n7 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n8\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"8 z 23\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nsin x = 0 lub cos x = 0 lub\nsinx\n2\n1\n2 =\nx = kr\nx\nk\n2\nr\nr\n1\n2\n3\n444444 444444\nsinx\n2\n2\nlub sinx\n2\n2\nsprzeczne z zał.\nx\nk\n4\n2\nr\nr\nZatem wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie możemy zapisać w postaci x = kr lub\nx\nk\n4\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nSchemat oceniania trzech sposobów\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze założenie, że x\nk\n2\nr\nr\nY\ni przekształci równanie do postaci sin x cos 3x + sin x cos x = 0\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający przekształci równanie do postaci\n• sin\ncos\ncos\nx\nx\nx\n2\n2\n0\n$\n$\n= i rozwiąże je: sin x = 0 lub cos x\n2\n0\n= lub cos x = 0\nalbo\n• sin 4x = 0\nalbo\n• sin x cos x (2 - 4 sin2 x ) = 0 i rozwiąże je: sin x = 0 lub cos x = 0 lub sin2 x = 2\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający poda rozwiązania otrzymanych prostych równań: x\nk 4\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą (lub\nw innej równoważnej postaci).\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający uwzględni założenie i zapisze wszystkie rozwiązania równania:\nx = kr lub x\nk\n4\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nUwagi","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
W trójkącie prostokątnym ABC, w którym bok AB jest przeciwprostokątną, na boku BC obrano
punkt D taki, że
DAB
CAD
2
B
B
. Długość odcinka BD jest równa a, a kąt CAD ma miarę a.
Wykaż, że AD
a
2
1
4
sin
sin2
a
a
h.

\n

7 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
8
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

8 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

8 z 23
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
sin x = 0 lub cos x = 0 lub
sinx
2
1
2 =
x = kr
x
k
2
r
r
1
2
3
444444 444444
sinx
2
2
lub sinx
2
2
sprzeczne z zał.
x
k
4
2
r
r
Zatem wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie możemy zapisać w postaci x = kr lub
x
k
4
2
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Schemat oceniania trzech sposobów
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający zapisze założenie, że x
k
2
r
r
Y
i przekształci równanie do postaci sin x cos 3x + sin x cos x = 0
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający przekształci równanie do postaci
• sin
cos
cos
x
x
x
2
2
0
$
$
= i rozwiąże je: sin x = 0 lub cos x
2
0
= lub cos x = 0
albo
• sin 4x = 0
albo
• sin x cos x (2 - 4 sin2 x ) = 0 i rozwiąże je: sin x = 0 lub cos x = 0 lub sin2 x = 2
1
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający poda rozwiązania otrzymanych prostych równań: x
k 4
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą (lub
w innej równoważnej postaci).
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający uwzględni założenie i zapisze wszystkie rozwiązania równania:
x = kr lub x
k
4
2
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Uwagi

","solutions":[]}