Zadanie 21. (0-1)
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2,
a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian
bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę α .
Wtedy wartość sin 2
α jest równa
A. 2
3
B.
7
3
C.
7
7
D.
2
3
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę α. Wtedy wartość sin α/2 jest równa A. 2/3, B. √7/3, C. √7/7, D. √2/3.
21 7
V =
Uwaga
Zdający nie musi zaznaczać kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, o ile
z rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje ten kąt.
Rozwiązanie II sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Trójkąt DOS jest prostokątny, w którym jeden kąt ostry ma miarę 60°. Wysokość SD ściany
bocznej oznaczmy przez 2x . Zatem
3
H
SO
x
oraz OD
x
A
B
C
S
60°
2x
3
x
O
a
7
D
2x
x
Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest
prawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego
i opisanego na podstawie ostrosłupa. Zatem
2
AO
x
oraz
2
3
a
x
Dla trójkąta AOS zapisujemy twierdzenie Pitagorasa i obliczamy x:
2
2
2
AO
OS
AS
,
(
)
(
)
2
2
2
2
3
7
x
x
,
2
2
4
3
49
x
x
,
2
7
49
x =
,
7
x =
Zatem
7
3
21
H =
⋅
oraz
2
3
2 21
a
x
Objętość ostrosłupa jest więc równa
(
)
2
2
2 21
3
1
3
4 21 3
21
21
21 7
3
4
12
12
a
V
H
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Uwaga
Zdający może podać wynik w postaci
55,56
V ≈
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa
albo
• zapisze zależność między długościami odcinków OA i OD, np. OD
x
,
2
OA
x
,
gdzie x - pół wysokości ściany bocznej,
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. x - pół wysokości ściany bocznej,
• wysokość ostrosłupa SO:
3
SO
H
x
albo
• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz
zapisze zależność między długościami odcinków OA i OD, np. OD
x
,
2
OA
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający wyznaczy długość a krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od x:
2
3
a
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub
bezpośrednio pole podstawy ostrosłupa):
21
H =
,
2 21
a =
i na tym zakończy lub dalej
popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy objętość ostrosłupa:
21 7
V =
Uwaga
Zdający nie musi zaznaczać kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, o ile
z rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje ten kąt.
Zadanie 34. (0-2)
Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych {
}
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 losujemy dwie różne liczby. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb
będzie liczba 5.
Rozwiązanie (I sposób)
Niech zdarzeniami elementarnymi będą uporządkowane pary (
)
,a b liczb z podanego zbioru,
takie że a
b
≠
. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
7 6
42
Ω = ⋅=
Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb, z których większą jest
liczba 5.
Zdarzeniu A sprzyja osiem zdarzeń elementarnych
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
{
}
1, 5 , 2, 5 , 3, 5 , 4, 5 , 5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , 5, 4
A=
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
8
4
42
21
P A =
Rozwiązanie (II sposób)
Niech zdarzeniami elementarnymi będą dwuelementowe podzbiory {
}
,a b liczb z podanego
zbioru. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
( )
7
2
21
Ω =
Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb, z których większą jest
liczba 5.
Zdarzenia A sprzyjają cztery zdarzenia elementarne
{
} {
} {
} {
}
{
}
1, 5 , 2, 5 , 3, 5 , 4, 5
A=
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
( )
4
21
P A =
Uwaga
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu
A możemy też zapisać w tabeli.
Symbol użyty w tabeli oznacza zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A.
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4