{"id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2016,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f, przy czym\n( )\n0\n2\nf\ni\n( )\n1\n0\nf\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\nWykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu\nwspółrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem\nA.\n( )\n2\n2\ng x\nx\nB.\n( )\n2\n2\ng x\nx\nC.\n( )\n2\n2\ng x\nx\nD.\n( )\n2\n2\ng x\nx\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f, przy czym f(0)=-2 i f(1)=0. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=2x+2, B. g(x)=2x-2, C. g(x)=-2x+2, D. g(x)=-2x-2.","answer":"A","answer_text":"7 3\n2 3\n2\nAC\na\nProsta CB jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt\n(\n)\n2,7\nC =\n, więc ma\nrównanie postaci\n(\n)\n1\n2\n2\n7\ny\nx\n, czyli\n1\n2\n8\ny\nx\nWspółrzędne punktu B obliczymy rozwiązując układ równań\n3\n3\n4\n4\ny\nx\ni\n1\n2\n8\ny\nx\n. Stąd\notrzymujemy\n3\n3\n1\n4\n4\n2\n8\nx\nx\n+ ,\n3\n3\n2\n32\nx\nx\n,\n5\n35\nx =\n7\nx =\noraz\n1\n1\n2\n2\n7\n8\n4\ny = -\n⋅+\nZatem\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\nSposób b)\nWektory CA\n\ni CB\n\nsą prostopadłe. Współrzędne wektora CA\n\nsą równe\n[\n] [\n]\n3\n2, 3\n7\n5, 10\nCA = --\n\nPunkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci\n(\n)\n3\n3\n4\n4\n,\nB\nx\nx\n. Zatem współrzędne wektora CB\n\nsą równe\n3\n4\n31\n4\n2,\nCB\nx\nx\n\n\n\n\n\nZ warunku prostopadłości wektorów CA\n\ni CB\n\notrzymujemy\n0\nCA CB =\n\n\n,\n[\n]\n3\n4\n31\n4\n5, 10\n2,\n0\nx\nx\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n3\n31\n4\n4\n5\n2\n10\n0\nx\nx\n,\n(\n)\n(\n)\n3\n31\n4\n4\n2\n2\n0\nx\nx\n,\n5\n35\n2\n2\n0\nx -\n,\n5\n35\nx =\n,\n7\nx =\nZatem\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\nSposób c)\nPunkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci\n(\n)\n3\n3\n4\n4\n,\nB\nx\nx\n. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy\n2\n2\n2\nAB\nAC\nBC\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n3\n3\n4\n4\n4\n4\n3\n3\n2\n3\n7\n3\n2\n7\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n9\n3\n31\n4\n4\n4\n4\n3\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\n,\n2\n2\n2\n2\n9\n54\n81\n9\n186\n961\n16\n16\n16\n16\n16\n16\n6\n9\n125\n4\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n,\n7\nx =\nZatem\n(\n) (\n)\n3\n3\n1\n4\n4\n2\n7,\n7\n7,4\nB =\n⋅-\nDługość odcinka AB jest równa\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n400 225\n625\n25\n1\n1\n2\n2\n4\n4\n2\n7\n3\n4\n3\n100\n7\n12\nAB\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n2\nAC\na\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\n[\n]\n5, 10\nCA = -\n\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora CB\n\nw zależności od jednej zmiennej,\nnp:\n3\n31\n4\n4\n2,\nCB\nx\nx\n\n\n\n\n\n,\nalbo\n• zastosuje twierdzenie Pitagorasa i zapisze\n2\n2\n2\nAB\nAC\nBC\noraz uzależni\nwspółrzędne punktu B od tej samej zmiennej: np.:\n(\n)\n3\n3\n4\n4\n,\nB\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy\n• równanie prostej BC:\n1\n2\n8\ny\nx\nalbo\n• równanie z jedną niewiadomą wynikające z warunku prostopadłości wektorów\npozwalające obliczyć współrzędne punktu B: np. [\n]\n3\n31\n4\n4\n5, 10\n2,\n0\nx\nx\n\n\n\n\n\n(lub\nukład równań [\n] [\n]\n5, 10\n2,\n7\n0\nx\ny\n\ni\n3\n3\n4\n4\ny\nx\n),\nalbo\n• równanie z jedną niewiadomą wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n3\n3\n4\n4\n4\n4\n3\n3\n2\n3\n7\n3\n2\n7\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub układ równań z dwiema niewiadomymi\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n4\n4\n3\n3\n2\n3\n7\n3\n2\n7\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka B:\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\ni na tym zakończy lub dalej popełni\nbłędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB:\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\n,\n25\n1\n2\n2\n12\nAB =\nRozwiązanie (II sposób)\nTrójkąt ABC jest prostokątny, więc środek S okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem\nprzeciwprostokątnej AB. Jednocześnie leży on na symetralnej boku AC. Wyznaczamy\nnajpierw równanie symetralnej boku AC. Jest to prosta prostopadła do prostej AC i przechodzi\nprzez środek M odcinka AC. Ponieważ\n(\n)\n3, 3\nA = -\ni\n(\n)\n2,7\nC =\n, więc punkt M ma\nwspółrzędne:\n(\n) (\n)\n3 2\n3 7\n1\n2\n2\n2\n,\n,2\nM\n,\na współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy\n7 3\n2 3\n2\nAC\na\n, więc prosta AC ma\nrównanie postaci\n(\n)\n2\n3\n3\ny\nx\n-, czyli\n2\n3\ny\nx\nWspółczynnik kierunkowy symetralnej MS boku AC jest zatem równy\n1\n2\nMS\na\n,\na symetralna MS ma równanie postaci\n(\n)\n1\n1\n2\n2\n2\ny\nx\n,\n7\n1\n2\n4\ny\nx\nWspółrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC obliczymy, rozwiązując układ równań\n3\n3\n4\n4\ny\nx\ni\n7\n1\n2\n4\ny\nx\nStąd\n3\n3\n7\n1\n4\n4\n2\n4\nx\nx\n,\n3\n3\n2\n7\nx\nx\n,\n5\n10\nx =\n2\nx =\noraz\n7\n3\n1\n2\n4\n4\n2\ny = -\n⋅+\nZatem\n(\n)\n3\n4\n2,\nS =\nPonieważ S jest środkiem boku AB, to\n(\n) (\n)\n3\n3\n2\n2\n3\n4\n,\n2,\nB\nB\nx\ny\nS\nStąd\n3\n2\n2\nB\nx\ni\n3\n2\n3\n4\nB\ny\n3\n4\nBx\ni\n3\n2\n3\nB\ny\n7\nBx =\ni\n1\n2\n4\nB\ny =\nZatem\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\nDługość odcinka AB jest równa\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n400 225\n625\n25\n1\n1\n2\n2\n4\n4\n2\n7\n3\n4\n3\n100\n7\n12\nAB\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający wyznaczy\n• współczynnik kierunkowy prostej AC:\n2\nAC\na\nalbo\n• wyznaczy współrzędne środka M odcinka AC:\n(\n)\n1\n2 ,2\nM = -\ni zapisze, że środek\nokręgu opisanego na trójkącie ABC to punkt przecięcia symetralnej boku AC\ni prostej AB.\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy współrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC:\n(\n)\n3\n4\n2,\nS =\ni na\ntym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy współrzędne wierzchołka B i nie obliczy długości boku AB:\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\nalbo\n• obliczy długość boku AB i nie obliczy współrzędnych wierzchołka B:\n1\n1\n4\n2\n2\n2 6\n12\nAB\nAS\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB:\n(\n)\n1\n2\n7,4\nB =\n,\n25\n1\n2\n2\n12\nAB =\nUwaga\nJeżeli zdający błędnie zinterpretuje treść zadania, przyjmując, że wierzchołkiem kąta prostego\ntrójkąta ABC jest B, to otrzymuje 0 punktów.\nZadanie 33. (0-5)\nTrójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana\nboczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, a krawędź boczna ma\ndługość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nRozwiązanie I sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPodstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest\nprawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego\ni opisanego na podstawie ostrosłupa.\nA\nB\nC\nS\n60°\nh\nH\nO\na\n7\nD\nA\nB\nC\nS\nZatem\n3\n3\na\nAO =\noraz\n3\n6\na\nOD =\nŚciana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, stąd otrzymujemy\ntg60\nH\nOD =\n°,\n3\n3\n6\nH\na\n,\n3\n3\n6\na\nH =\n⋅\n,\n2\na\nH =\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, otrzymujemy\n2\n2\n2\nAO\nOS\nAS\n,\n2\n2\n2\n3\n7\n3\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n2\n49\n3\n4\na\na\n,\n2\n7\n49 12\na =\n⋅\n,\n2\n7 12\na =\n⋅\n,\n2 21\na =\nZatem\n21\nH =\nObjętość ostrosłupa jest więc równa\n(\n)\n2\n2\n2 21\n3\n1\n3\n4 21 3\n21\n21\n21 7\n3\n4\n12\n12\na\nV\nH\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa\nalbo\n• zapisze, że długość odcinka AO:\n3\n3\na\nAO =\n, gdzie a oznacza długość krawędzi\npodstawy ostrosłupa,\nalbo\n• zapisze, że długość odcinka OD:\n3\n6\na\nOD =\n, gdzie a oznacza długość krawędzi\npodstawy ostrosłupa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. a - długości krawędzi podstawy\n• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz\ndługość odcinka AO:\n3\n3\na\nAO =\nalbo\n• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz\ndługość odcinka OD:\n3\n6\na\nOD =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający wyznaczy wysokość ostrosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. a - długości\nkrawędzi podstawy:\n2\na\nH =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub\nbezpośrednio pole podstawy ostrosłupa):\n21\nH =\n,\n2 21\na =\ni na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f, przy czym
( )
0
2
f
i
( )
1
0
f
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
0
Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu
współrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem
A.
( )
2
2
g x
x
B.
( )
2
2
g x
x
C.
( )
2
2
g x
x
D.
( )
2
2
g x
x
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f, przy czym f(0)=-2 i f(1)=0. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=2x+2, B. g(x)=2x-2, C. g(x)=-2x+2, D. g(x)=-2x-2.

","answer_text_html":"

7 3
2 3
2
AC
a
Prosta CB jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt
(
)
2,7
C =
, więc ma
równanie postaci
(
)
1
2
2
7
y
x
, czyli
1
2
8
y
x
Współrzędne punktu B obliczymy rozwiązując układ równań
3
3
4
4
y
x
i
1
2
8
y
x
. Stąd
otrzymujemy
3
3
1
4
4
2
8
x
x

\n\n

3
3
2
32
x
x
,
5
35
x =
7
x =
oraz
1
1
2
2
7
8
4
y = -
⋅+
Zatem
(
)
1
2
7,4
B =
Sposób b)
Wektory CA

i CB

są prostopadłe. Współrzędne wektora CA

są równe
[
] [
]
3
2, 3
7
5, 10
CA = --

Punkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci
(
)
3
3
4
4
,
B
x
x
. Zatem współrzędne wektora CB

są równe
3
4
31
4
2,
CB
x
x





Z warunku prostopadłości wektorów CA

i CB

otrzymujemy
0
CA CB =


,
[
]
3
4
31
4
5, 10
2,
0
x
x





,
(
)
(
)
3
31
4
4
5
2
10
0
x
x
,
(
)
(
)
3
31
4
4
2
2
0
x
x
,
5
35
2
2
0
x -
,
5
35
x =
,
7
x =
Zatem
(
)
1
2
7,4
B =
Sposób c)
Punkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci
(
)
3
3
4
4
,
B
x
x
. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy
2
2
2
AB
AC
BC
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
3
3
2
3
7
3
2
7
x
x
x
x












,
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
3
9
3
31
4
4
4
4
3
5
10
2
x
x
x
x
,
2
2
2
2
9
54
81
9
186
961
16
16
16
16
16
16
6
9
125
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
,
7
x =
Zatem
(
) (
)
3
3
1
4
4
2
7,
7
7,4
B =
⋅-
Długość odcinka AB jest równa
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
400 225
625
25
1
1
2
2
4
4
2
7
3
4
3
100
7
12
AB
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC:
2
AC
a
albo
• wyznaczy współrzędne wektora
[
]
5, 10
CA = -

,
albo
• wyznaczy współrzędne wektora CB

w zależności od jednej zmiennej,
np:
3
31
4
4
2,
CB
x
x





,
albo
• zastosuje twierdzenie Pitagorasa i zapisze
2
2
2
AB
AC
BC
oraz uzależni
współrzędne punktu B od tej samej zmiennej: np.:
(
)
3
3
4
4
,
B
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający wyznaczy
• równanie prostej BC:
1
2
8
y
x
albo
• równanie z jedną niewiadomą wynikające z warunku prostopadłości wektorów
pozwalające obliczyć współrzędne punktu B: np. [
]
3
31
4
4
5, 10
2,
0
x
x





(lub
układ równań [
] [
]
5, 10
2,
7
0
x
y

i
3
3
4
4
y
x
),
albo
• równanie z jedną niewiadomą wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
3
3
2
3
7
3
2
7
x
x
x
x












lub układ równań z dwiema niewiadomymi
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
3
3
2
3
7
3
2
7
x
y
x
y
y
x




i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B:
(
)
1
2
7,4
B =
i na tym zakończy lub dalej popełni
błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB:
(
)
1
2
7,4
B =
,
25
1
2
2
12
AB =
Rozwiązanie (II sposób)
Trójkąt ABC jest prostokątny, więc środek S okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem
przeciwprostokątnej AB. Jednocześnie leży on na symetralnej boku AC. Wyznaczamy
najpierw równanie symetralnej boku AC. Jest to prosta prostopadła do prostej AC i przechodzi
przez środek M odcinka AC. Ponieważ
(
)
3, 3
A = -
i
(
)
2,7
C =
, więc punkt M ma
współrzędne:
(
) (
)
3 2
3 7
1
2
2
2
,
,2
M
,
a współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy
7 3
2 3
2
AC
a
, więc prosta AC ma
równanie postaci
(
)
2
3
3
y
x
-, czyli
2
3
y
x
Współczynnik kierunkowy symetralnej MS boku AC jest zatem równy
1
2
MS
a
,
a symetralna MS ma równanie postaci
(
)
1
1
2
2
2
y
x
,
7
1
2
4
y
x
Współrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC obliczymy, rozwiązując układ równań
3
3
4
4
y
x
i
7
1
2
4
y
x
Stąd
3
3
7
1
4
4
2
4
x
x
,
3
3
2
7
x
x
,
5
10
x =
2
x =
oraz
7
3
1
2
4
4
2
y = -
⋅+
Zatem
(
)
3
4
2,
S =
Ponieważ S jest środkiem boku AB, to
(
) (
)
3
3
2
2
3
4
,
2,
B
B
x
y
S
Stąd
3
2
2
B
x
i
3
2
3
4
B
y
3
4
Bx
i
3
2
3
B
y
7
Bx =
i
1
2
4
B
y =
Zatem
(
)
1
2
7,4
B =
Długość odcinka AB jest równa
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
400 225
625
25
1
1
2
2
4
4
2
7
3
4
3
100
7
12
AB
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający wyznaczy
• współczynnik kierunkowy prostej AC:
2
AC
a
albo
• wyznaczy współrzędne środka M odcinka AC:
(
)
1
2 ,2
M = -
i zapisze, że środek
okręgu opisanego na trójkącie ABC to punkt przecięcia symetralnej boku AC
i prostej AB.
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający wyznaczy współrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC:
(
)
3
4
2,
S =
i na
tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy współrzędne wierzchołka B i nie obliczy długości boku AB:
(
)
1
2
7,4
B =
albo
• obliczy długość boku AB i nie obliczy współrzędnych wierzchołka B:
1
1
4
2
2
2 6
12
AB
AS
⋅
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB:
(
)
1
2
7,4
B =
,
25
1
2
2
12
AB =
Uwaga
Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje treść zadania, przyjmując, że wierzchołkiem kąta prostego
trójkąta ABC jest B, to otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 33. (0-5)
Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana
boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, a krawędź boczna ma
długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie I sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest
prawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego
i opisanego na podstawie ostrosłupa.
A
B
C
S
60°
h
H
O
a
7
D
A
B
C
S
Zatem
3
3
a
AO =
oraz
3
6
a
OD =
Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, stąd otrzymujemy
tg60
H
OD =
°,
3
3
6
H
a
,
3
3
6
a
H =
⋅
,
2
a
H =
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, otrzymujemy
2
2
2
AO
OS
AS
,
2
2
2
3
7
3
2
a
a














,
2
2
49
3
4
a
a
,
2
7
49 12
a =
⋅
,
2
7 12
a =
⋅
,
2 21
a =
Zatem
21
H =
Objętość ostrosłupa jest więc równa
(
)
2
2
2 21
3
1
3
4 21 3
21
21
21 7
3
4
12
12
a
V
H
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa
albo
• zapisze, że długość odcinka AO:
3
3
a
AO =
, gdzie a oznacza długość krawędzi
podstawy ostrosłupa,
albo
• zapisze, że długość odcinka OD:
3
6
a
OD =
, gdzie a oznacza długość krawędzi
podstawy ostrosłupa
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. a - długości krawędzi podstawy
• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz
długość odcinka AO:
3
3
a
AO =
albo
• zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz
długość odcinka OD:
3
6
a
OD =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający wyznaczy wysokość ostrosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. a - długości
krawędzi podstawy:
2
a
H =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub
bezpośrednio pole podstawy ostrosłupa):
21
H =
,
2 21
a =
i na tym zakończy lub dalej
popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy objętość ostrosłupa:

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"}]}