{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n8\n2\n5 16-\n⋅\njest równa\nA.\n8\n5\n2\n\n\n\n\n\n\nB.\n5\n2\nC.\n8\n10\nD. 10\nLiczba 5^8⋅16^(-2) jest równa A. (5/2)^8, B. 5/2, C. 10^8, D. 10.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych i stosuje prawa\ndziałań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych (1.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie potęgi ujemnej i uproszczenie\n\n**Od czego zaczynamy:** Mamy \\(5^8 \\cdot 16^{-2}\\). Chcemy to uprościć, korzystając z własności potęg.\n\n**Krok 1:** Potęga ujemna - zamieniamy \\(16^{-2}\\) na ułamek:\n\\[16^{-2} = \\frac{1}{16^2} = \\frac{1}{256}\\]\n\n**Krok 2:** Rozpisujemy \\(16\\) jako potęgę dwójki:\n\\[16 = 2^4\\]\nZatem:\n\\[16^2 = (2^4)^2 = 2^8\\]\n\n**Krok 3:** Podstawiamy:\n\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot \\frac{1}{2^8} = \\frac{5^8}{2^8}\\]\n\n**Krok 4:** Korzystamy z własności \\(\\dfrac{a^r}{b^r} = \\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^r\\):\n\\[\\frac{5^8}{2^8} = \\left(\\frac{5}{2}\\right)^8\\]\n\n**Wynik: \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\)** ✓\n\n## Sposób 2 - Przez sprowadzenie \\(16^{-2}\\) bezpośrednio\n\n**Krok 1:** Zapisujemy \\(16 = 2^4\\) od razu przy wykładniku ujemnym:\n\\[16^{-2} = (2^4)^{-2} = 2^{4 \\cdot (-2)} = 2^{-8}\\]\n\n**Krok 2:** Łączymy:\n\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot 2^{-8}\\]\n\n**Krok 3:** Korzystamy z własności \\(a^r \\cdot b^r = (a \\cdot b)^r\\) - ale tutaj mamy \\(2^{-8}\\), czyli \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^8\\):\n\\[5^8 \\cdot 2^{-8} = 5^8 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^8 = \\left(5 \\cdot \\frac{1}{2}\\right)^8 = \\left(\\frac{5}{2}\\right)^8\\]\n\nTen sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n1. Potęga o wykładniku ujemnym:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy przy przekształcaniu \\(16^{-2}\\) i \\(2^{-8}\\).\n\n2. Potęga potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy przy \\((2^4)^{-2} = 2^{-8}\\) oraz \\((2^4)^2 = 2^8\\).\n\n3. Iloraz potęg o tej samej podstawie i iloczyn potęg o tym samym wykładniku:\n\\[\\frac{a^r}{b^r} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^r, \\quad (a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy przy łączeniu \\(\\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Ktoś liczy \\(\\frac{5}{2}\\) bez wykładnika - zapomina, że cała podstawa \\(\\frac{5}{2}\\) jest podniesiona do potęgi 8 |\n| C | Ktoś myśli \\(5 \\cdot 2 = 10\\) i podnosi do 8, ignorując, że \\(16^{-2}\\) to \\(2^{-8}\\), a nie \\(2^{+1}\\) |\n| D | Ktoś \"upraszcza\" wynik do samego \\(10\\) bez żadnego wykładnika - skrajne pominięcie potęgowania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(16^{-2} \\neq -16^2\\). Wykładnik ujemny to **odwrotność**, nie negacja - \\(16^{-2} = \\frac{1}{16^2}\\), nie \\(-256\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\((2^4)^{-2}\\) pamiętaj o mnożeniu wykładników: \\(4 \\cdot (-2) = -8\\), nie \\(4 - 2 = 2\\). To bardzo częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(10^8\\)) byłaby poprawna dla \\(5^8 \\cdot 2^8\\), ale tu mamy \\(2^{-8}\\) - odwrotność! Znak wykładnika zmienia wszystko.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zamiana \\(16\\) na potęgę \\(2\\)\n\\(16 = 2^4\\), więc:\n\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot (2^4)^{-2} = 5^8 \\cdot 2^{-8} = \\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(\\left(\\tfrac{a}{b}\\right)^n = \\tfrac{a^n}{b^n}\\)\n\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = \\dfrac{5^8}{16^2} = \\dfrac{5^8}{256} = \\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - ktoś pomylił \\(5^8/2^8\\) z \\(5/2\\) (opuścił wykładnik).\n- **C. \\(10^8\\)** - mylne przekształcenie \\(5\\cdot 2 = 10\\) (tu jest iloraz, nie iloczyn).\n- **D. \\(10\\)** - dwa błędy jednocześnie.\n\n**Kluczowe:** pamiętaj, że \\(a^{-n} = \\tfrac{1}{a^n}\\) - ujemny wykładnik **nie** oznacza ujemnej wartości.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na potęgi\n\nRozważmy wyrażenie 58 * 16⁻²:\n\n1. **Rozpisujemy potęgę:** 16⁻² = (2⁴)⁻² = 2⁻⁸.\n2. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 2⁻⁸.\n3. **Przekształcamy do postaci:** 58 * 2⁻⁸ = 58 * (1/2⁸) = 58/256.\n4. **Upraszczamy ułamek:** 58/256 = 29/128.\n5. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 5:** To nieprawda.\n6. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 108:** To nieprawda.\n7. **Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 58:** To nieprawda.\n\nZatem, 58 * 16⁻² = 29/128. W zadaniu podano, że wynik jest równy 8. Zatem, coś poszło nie tak. Zatem, musimy sprawdzić, czy w zadaniu jest błąd.\n\nSprawdzając zadanie, widzimy, że powinno być 58 * 16⁻² = 58/(16²) = 58/256 = 29/128. Zatem, zadanie jest błędne. W zadaniu powinno być 58 * 16⁻² = 8. Zatem, musimy to obliczyć inaczej.\n\n1. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 16⁻² = 58 * (1/16²) = 58/256\n2. **Upraszczamy:** 58/256 = 29/128\n3. **Sprawdzamy, czy 29/128 = 8:** To nieprawda.\n\nZatem, zadanie jest błędne.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie logarytmu\n\n1. **Zapisujemy wyrażenie:** 58 * 16⁻²\n2. **Zastosowanie logarytmu o podstawie 10:**\nlog(58 * 16⁻²) = log(58) + log(16⁻²)\n= log(58) - 2 * log(16)\n3. **Obliczamy:** log(58) ≈ 1.7709 i log(16) = 1.2041\n= 1.7709 - 2 * 1.2041 = 1.7709 - 2.4082 = -0.6373\n4. **Równanie:** -0.6373 = 8 (to jest błąd w zadaniu, powinno być równa -0.6373)\n5. **Zatem, zadanie jest błędne.**\n\n📖 Karta wzorów: s.6: Silnia n!=1·2 n, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 5:** 5 nie jest wynikiem obliczeń.\n* **C. 108:** 108 nie jest wynikiem obliczeń.\n* **D. (na zdjęciu):** (na zdjęciu) to nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZadanie jest błędne, ponieważ wynik 58 * 16⁻² = 29/128 ≠ 8. Prawidłowy wynik z obliczeń to -0.6373.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Liczba
8
2
5 16-
⋅
jest równa
A.
8
5
2






B.
5
2
C.
8
10
D. 10
Liczba 5^8⋅16^(-2) jest równa A. (5/2)^8, B. 5/2, C. 10^8, D. 10.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
Poprawna
odp. (1 p.)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi
\n

o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa
działań na potęgach o wykładnikach
wymiernych (1.4).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\)

\n

Sposób 1 - Przekształcenie potęgi ujemnej i uproszczenie

\n

Od czego zaczynamy: Mamy \\(5^8 \\cdot 16^{-2}\\). Chcemy to uprościć, korzystając z własności potęg.

\n

Krok 1: Potęga ujemna - zamieniamy \\(16^{-2}\\) na ułamek:
\\[16^{-2} = \\frac{1}{16^2} = \\frac{1}{256}\\]

\n

Krok 2: Rozpisujemy \\(16\\) jako potęgę dwójki:
\\[16 = 2^4\\]
Zatem:
\\[16^2 = (2^4)^2 = 2^8\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy:
\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot \\frac{1}{2^8} = \\frac{5^8}{2^8}\\]

\n

Krok 4: Korzystamy z własności \\(\\dfrac{a^r}{b^r} = \\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^r\\):
\\[\\frac{5^8}{2^8} = \\left(\\frac{5}{2}\\right)^8\\]

\n

Wynik: \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\) ✓

\n

Sposób 2 - Przez sprowadzenie \\(16^{-2}\\) bezpośrednio

\n

Krok 1: Zapisujemy \\(16 = 2^4\\) od razu przy wykładniku ujemnym:
\\[16^{-2} = (2^4)^{-2} = 2^{4 \\cdot (-2)} = 2^{-8}\\]

\n

Krok 2: Łączymy:
\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot 2^{-8}\\]

\n

Krok 3: Korzystamy z własności \\(a^r \\cdot b^r = (a \\cdot b)^r\\) - ale tutaj mamy \\(2^{-8}\\), czyli \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^8\\):
\\[5^8 \\cdot 2^{-8} = 5^8 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^8 = \\left(5 \\cdot \\frac{1}{2}\\right)^8 = \\left(\\frac{5}{2}\\right)^8\\]

\n

Ten sam wynik. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n
  1. Potęga o wykładniku ujemnym:
\n

\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]
Użyliśmy przy przekształcaniu \\(16^{-2}\\) i \\(2^{-8}\\).

\n
  1. Potęga potęgi:
\n

\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy przy \\((2^4)^{-2} = 2^{-8}\\) oraz \\((2^4)^2 = 2^8\\).

\n
  1. Iloraz potęg o tej samej podstawie i iloczyn potęg o tym samym wykładniku:
\n

\\[\\frac{a^r}{b^r} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^r, \\quad (a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]
Użyliśmy przy łączeniu \\(\\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Ktoś liczy \\(\\frac{5}{2}\\) bez wykładnika - zapomina, że cała podstawa \\(\\frac{5}{2}\\) jest podniesiona do potęgi 8 |
| C | Ktoś myśli \\(5 \\cdot 2 = 10\\) i podnosi do 8, ignorując, że \\(16^{-2}\\) to \\(2^{-8}\\), a nie \\(2^{+1}\\) |
| D | Ktoś "upraszcza" wynik do samego \\(10\\) bez żadnego wykładnika - skrajne pominięcie potęgowania |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(16^{-2} \\neq -16^2\\). Wykładnik ujemny to odwrotność, nie negacja - \\(16^{-2} = \\frac{1}{16^2}\\), nie \\(-256\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\((2^4)^{-2}\\) pamiętaj o mnożeniu wykładników: \\(4 \\cdot (-2) = -8\\), nie \\(4 - 2 = 2\\). To bardzo częsty błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź C (\\(10^8\\)) byłaby poprawna dla \\(5^8 \\cdot 2^8\\), ale tu mamy \\(2^{-8}\\) - odwrotność! Znak wykładnika zmienia wszystko.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Zamiana \\(16\\) na potęgę \\(2\\)
\n

\\(16 = 2^4\\), więc:
\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = 5^8 \\cdot (2^4)^{-2} = 5^8 \\cdot 2^{-8} = \\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór \\(\\left(\\tfrac{a}{b}\\right)^n = \\tfrac{a^n}{b^n}\\)
\n

\\[5^8 \\cdot 16^{-2} = \\dfrac{5^8}{16^2} = \\dfrac{5^8}{256} = \\dfrac{5^8}{2^8} = \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^8.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: pamiętaj, że \\(a^{-n} = \\tfrac{1}{a^n}\\) - ujemny wykładnik nie oznacza ujemnej wartości.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na potęgi
\n

Rozważmy wyrażenie 58 * 16⁻²:

\n
  1. Rozpisujemy potęgę: 16⁻² = (2⁴)⁻² = 2⁻⁸.
  2. Zapisujemy wyrażenie: 58 * 2⁻⁸.
  3. Przekształcamy do postaci: 58 * 2⁻⁸ = 58 * (1/2⁸) = 58/256.
  4. Upraszczamy ułamek: 58/256 = 29/128.
  5. Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 5: To nieprawda.
  6. Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 108: To nieprawda.
  7. Sprawdzamy, czy 29/128 jest równe 58: To nieprawda.
\n

Zatem, 58 * 16⁻² = 29/128. W zadaniu podano, że wynik jest równy 8. Zatem, coś poszło nie tak. Zatem, musimy sprawdzić, czy w zadaniu jest błąd.

\n

Sprawdzając zadanie, widzimy, że powinno być 58 * 16⁻² = 58/(16²) = 58/256 = 29/128. Zatem, zadanie jest błędne. W zadaniu powinno być 58 * 16⁻² = 8. Zatem, musimy to obliczyć inaczej.

\n
  1. Zapisujemy wyrażenie: 58 * 16⁻² = 58 * (1/16²) = 58/256
  2. Upraszczamy: 58/256 = 29/128
  3. Sprawdzamy, czy 29/128 = 8: To nieprawda.
\n

Zatem, zadanie jest błędne.

\n

📖 Karta wzorów: s.4-5: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), strona 4

\n
Sposób 2: Użycie logarytmu
\n
  1. Zapisujemy wyrażenie: 58 * 16⁻²
  2. Zastosowanie logarytmu o podstawie 10:
\n

log(58 * 16⁻²) = log(58) + log(16⁻²)
= log(58) - 2 * log(16)

\n
  1. Obliczamy: log(58) ≈ 1.7709 i log(16) = 1.2041
\n

= 1.7709 - 2 * 1.2041 = 1.7709 - 2.4082 = -0.6373

\n
  1. Równanie: -0.6373 = 8 (to jest błąd w zadaniu, powinno być równa -0.6373)
  2. Zatem, zadanie jest błędne.
\n

📖 Karta wzorów: s.6: Silnia n!=1·2 n, strona 13

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Zadanie jest błędne, ponieważ wynik 58 * 16⁻² = 29/128 ≠ 8. Prawidłowy wynik z obliczeń to -0.6373.

"}]}