{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej\n( )\n2\nf x\nax\nbx\nc\n,\nktórej miejsca zerowe to: 3\n- i 1.\nWspółczynnik c we wzorze funkcji f jest równy\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax^2+bx+c, której miejsca zerowe A. 1, B. 2, C. 3, D. 4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we wzorze funkcji\nkwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci\nogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje)\n(4.10).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (c = 3)\n\n## Sposób 1 - Postać iloczynowa + wyznaczenie a\n\nZnamy miejsca zerowe: \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 1\\), więc możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:\n\\[f(x) = a(x + 3)(x - 1)\\]\n\nAby znaleźć \\(a\\), podstawiamy wierzchołek \\(W = (-1, 4)\\), czyli \\(f(-1) = 4\\):\n\\[f(-1) = a(-1 + 3)(-1 - 1) = a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4a\\]\n\\[-4a = 4 \\implies \\boxed{a = -1}\\]\n\nTeraz rozwijamy:\n\\[f(x) = -(x+3)(x-1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3\\]\n\nOdczytujemy: \\(a = -1\\), \\(b = -2\\), **\\(c = 3\\)**.\n\n## Sposób 2 - Właściwość: c = f(0)\n\nWspółczynnik wolny \\(c\\) to nic innego jak **wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\)**, czyli punkt przecięcia paraboli z osią \\(OY\\).\n\nKorzystamy z postaci iloczynowej (jak wyżej, już z wyznaczonym \\(a = -1\\)):\n\\[c = f(0) = -(0+3)(0-1) = -3 \\cdot (-1) = 3\\]\n\nAlternatywnie, ze wzorów Viète'a: \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\), skąd:\n\\[(-3) \\cdot 1 = \\frac{c}{-1} \\implies -3 = -c \\implies c = 3\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa i wzory Viète'a:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\nWzory Viète'a użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(c\\) bez rozwijania nawiasów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(c = 1\\)) | Pomyłka: wzięcie \\(x_2 = 1\\) jako wartości \\(c\\) bez żadnych obliczeń |\n| B (\\(c = 2\\)) | Wyznaczenie \\(-b\\) zamiast \\(c\\); tutaj \\(b = -2\\), więc \\(-b = 2\\) - zamiana współczynników |\n| D (\\(c = 4\\)) | Wzięcie \\(q = 4\\) (rzędna wierzchołka) jako wartości \\(c\\) - \\(c \\neq q\\) w ogólności! |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(c = f(0)\\), nie \\(f(-3)\\) ani \\(f(1)\\)! Współczynnik wolny to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt na osi \\(OY\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzędna wierzchołka \\(q = 4\\) to **nie** jest \\(c\\). Wierzchołek jest wewnątrz paraboli, nie na osi \\(OY\\) - mylenie \\(q\\) z \\(c\\) to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczając \\(a\\) z wierzchołka, sprawdź znak - tutaj parabola jest skierowana ramionami **w dół** (wierzchołek to maksimum), więc \\(a < 0\\). Wzięcie \\(a = 1\\) dałoby błędne \\(c\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Postać iloczynowa i odczytanie \\(c\\)\nZ miejsc zerowych: \\(f(x) = a(x+3)(x-1)\\). Wykorzystujemy wierzchołek \\(W=(-1, 4)\\):\n\\[4 = a(-1+3)(-1-1) = a\\cdot 2\\cdot(-2) = -4a \\Rightarrow a = -1.\\]\nRozwijamy:\n\\[f(x) = -(x+3)(x-1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3.\\]\nWspółczynnik \\(c = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Obliczenie \\(f(0)\\)\nWspółczynnik \\(c\\) to **wyraz wolny**, czyli \\(f(0)\\). Wykorzystując wyliczone \\(a = -1\\):\n\\[f(0) = -(0+3)(0-1) = -3\\cdot(-1) = 3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - pominięto znak \\(-\\) przy \\(a\\), lub liczono \\(a\\cdot x_1\\cdot x_2\\) z innym znakiem.\n- **B. \\(2\\)** - częściowe obliczenie, zaniedbano część.\n- **D. \\(4\\)** - to \\(y_W\\) (wierzchołek), nie \\(c\\).\n\n**Kluczowa własność:** \\(f(0) = c\\) - wyraz wolny to wartość funkcji w zerze.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie współczynników a i b z miejsc zerowych\n1. **Znamy miejsca zerowe:** f(x) ma pierwiastki -3 i 1. To oznacza, że f(-3) = 0 i f(1) = 0.\n2. **Wzór funkcji kwadratowej:** f(x) = ax² + bx + c\n3. **Korzystamy z miejsc zerowych:** Ponieważ -3 i 1 są pierwiastkami, możemy zapisać f(x) jako: f(x) = a(x - (-3))(x - 1) = a(x + 3)(x - 1)\n4. **Wyznaczamy c:** Wiedząc, że f(1) = 0, podstawiamy x = 1 do wzoru:\nf(1) = a(1 + 3)(1 - 1) = 0\na(4)(0) = 0\n0 = 0 (To nie daje nam informacji o a, ale potwierdza, że 1 jest pierwiastkiem).\n5. **Wyznaczamy c:** Zauważmy, że na rysunku, wartość funkcji f(x) w punkcie x=1 wynosi 0. Ponieważ f(x) = a(x+3)(x-1), to dla x=1, f(1) = a(1+3)(1-1) = 0. Z rysunku wiemy, że wartość funkcji w x=-1 wynosi 4, więc musimy znaleźć a.\n6. **Wyznaczamy a:** Z rysunku widać, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1, 4). Wzór na wierzchołek paraboli to: x_w = -b/(2a). Ponieważ wierzchołek znajduje się w x = -1, mamy: -1 = -b/(2a) => b = 2a\n7. **Wyznaczamy c:** Wzór funkcji to f(x) = a(x+3)(x-1) = a(x² + 2x - 3). Zatem c = -3a. Wiedząc, że wierzchołek ma wartość 4, możemy obliczyć c: 4 = a(-1+3)(-1-1) = a(2)(-2) = -4a. Zatem a = -1.\n8. **Obliczamy c:** c = -3a = -3 * (-1) = 3.\n\n📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wierzchołka paraboli i miejsc zerowych\n1. **Wierzchołek:** Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie W(-1, 4). To oznacza, że wartość x w wierzchołku wynosi -1, a wartość y w wierzchołku wynosi 4.\n2. **Wzór na wierzchołek paraboli:** Wzór na współrzędne wierzchołka paraboli f(x) = a(x - x_w)² + y_w to x_w = -b/(2a) i y_w = f(x_w).\n3. **Obliczamy a:** Znamy y_w = 4 i x_w = -1. Podstawiamy do wzoru f(x) = a(x + 1)² + 4. Ponieważ f(-3) = 0, podstawiamy x = -3:\n0 = a(-3 + 1)² + 4\n0 = a(-2)² + 4\n0 = 4a + 4\n-4 = 4a\na = -1\n4. **Obliczamy c:** Teraz mamy f(x) = -1(x + 1)² + 4 = -1(x² + 2x + 1) + 4 = -x² - 2x - 1 + 4 = -x² - 2x + 3. Zatem c = 3.\n\n📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 1:** To nieprawda, ponieważ wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1, 4), a wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4, co nie jest równe 1.\n* **B. 2:** Podobnie jak w przypadku A, wartość funkcji w wierzchołku nie jest równa 2.\n* **D. 4:** Wierzchołek paraboli nie znajduje się w punkcie (-1, 4), a wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4, co nie jest równe 4.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej<br>( )<br>2<br>f x<br>ax<br>bx<br>c<br>,<br>której miejsca zerowe to: 3</p>\n<ul><li>i 1.</li></ul>\n<p>Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy<br>A. 1<br>B. 2<br>C. 3<br>D. 4<br>Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax^2+bx+c, której miejsca zerowe A. 1, B. 2, C. 3, D. 4.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający interpretuje</li></ol>\n<p>współczynniki występujące we wzorze funkcji<br>kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci<br>ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje)<br>(4.10).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (c = 3)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Postać iloczynowa + wyznaczenie a</h4>\n<p>Znamy miejsca zerowe: \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 1\\), więc możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:<br>\\[f(x) = a(x + 3)(x - 1)\\]</p>\n<p>Aby znaleźć \\(a\\), podstawiamy wierzchołek \\(W = (-1, 4)\\), czyli \\(f(-1) = 4\\):<br>\\[f(-1) = a(-1 + 3)(-1 - 1) = a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4a\\]<br>\\[-4a = 4 \\implies \\boxed{a = -1}\\]</p>\n<p>Teraz rozwijamy:<br>\\[f(x) = -(x+3)(x-1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3\\]</p>\n<p>Odczytujemy: \\(a = -1\\), \\(b = -2\\), <strong>\\(c = 3\\)</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Właściwość: c = f(0)</h4>\n<p>Współczynnik wolny \\(c\\) to nic innego jak <strong>wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\)</strong>, czyli punkt przecięcia paraboli z osią \\(OY\\).</p>\n<p>Korzystamy z postaci iloczynowej (jak wyżej, już z wyznaczonym \\(a = -1\\)):<br>\\[c = f(0) = -(0+3)(0-1) = -3 \\cdot (-1) = 3\\]</p>\n<p>Alternatywnie, ze wzorów Viète&#x27;a: \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\), skąd:<br>\\[(-3) \\cdot 1 = \\frac{c}{-1} \\implies -3 = -c \\implies c = 3\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać iloczynowa i wzory Viète&#x27;a:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]</p>\n<p>Wzory Viète&#x27;a użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(c\\) bez rozwijania nawiasów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(c = 1\\)) | Pomyłka: wzięcie \\(x_2 = 1\\) jako wartości \\(c\\) bez żadnych obliczeń |<br>| B (\\(c = 2\\)) | Wyznaczenie \\(-b\\) zamiast \\(c\\); tutaj \\(b = -2\\), więc \\(-b = 2\\) - zamiana współczynników |<br>| D (\\(c = 4\\)) | Wzięcie \\(q = 4\\) (rzędna wierzchołka) jako wartości \\(c\\) - \\(c \\neq q\\) w ogólności! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(c = f(0)\\), nie \\(f(-3)\\) ani \\(f(1)\\)! Współczynnik wolny to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt na osi \\(OY\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Rzędna wierzchołka \\(q = 4\\) to <strong>nie</strong> jest \\(c\\). Wierzchołek jest wewnątrz paraboli, nie na osi \\(OY\\) - mylenie \\(q\\) z \\(c\\) to klasyczna pułapka!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyznaczając \\(a\\) z wierzchołka, sprawdź znak - tutaj parabola jest skierowana ramionami <strong>w dół</strong> (wierzchołek to maksimum), więc \\(a &lt; 0\\). Wzięcie \\(a = 1\\) dałoby błędne \\(c\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Postać iloczynowa i odczytanie \\(c\\)</h5>\n<p>Z miejsc zerowych: \\(f(x) = a(x+3)(x-1)\\). Wykorzystujemy wierzchołek \\(W=(-1, 4)\\):<br>\\[4 = a(-1+3)(-1-1) = a\\cdot 2\\cdot(-2) = -4a \\Rightarrow a = -1.\\]<br>Rozwijamy:<br>\\[f(x) = -(x+3)(x-1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3.\\]<br>Współczynnik \\(c = 3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie \\(f(0)\\)</h5>\n<p>Współczynnik \\(c\\) to <strong>wyraz wolny</strong>, czyli \\(f(0)\\). Wykorzystując wyliczone \\(a = -1\\):<br>\\[f(0) = -(0+3)(0-1) = -3\\cdot(-1) = 3.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(1\\)</strong> - pominięto znak \\(-\\) przy \\(a\\), lub liczono \\(a\\cdot x_1\\cdot x_2\\) z innym znakiem.</li><li><strong>B. \\(2\\)</strong> - częściowe obliczenie, zaniedbano część.</li><li><strong>D. \\(4\\)</strong> - to \\(y_W\\) (wierzchołek), nie \\(c\\).</li></ul>\n<p><strong>Kluczowa własność:</strong> \\(f(0) = c\\) - wyraz wolny to wartość funkcji w zerze.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Znajdowanie współczynników a i b z miejsc zerowych</h5>\n<ol><li><strong>Znamy miejsca zerowe:</strong> f(x) ma pierwiastki -3 i 1. To oznacza, że f(-3) = 0 i f(1) = 0.</li><li><strong>Wzór funkcji kwadratowej:</strong> f(x) = ax² + bx + c</li><li><strong>Korzystamy z miejsc zerowych:</strong> Ponieważ -3 i 1 są pierwiastkami, możemy zapisać f(x) jako: f(x) = a(x - (-3))(x - 1) = a(x + 3)(x - 1)</li><li><strong>Wyznaczamy c:</strong> Wiedząc, że f(1) = 0, podstawiamy x = 1 do wzoru:</li></ol>\n<p>f(1) = a(1 + 3)(1 - 1) = 0<br>a(4)(0) = 0<br>0 = 0 (To nie daje nam informacji o a, ale potwierdza, że 1 jest pierwiastkiem).</p>\n<ol><li><strong>Wyznaczamy c:</strong> Zauważmy, że na rysunku, wartość funkcji f(x) w punkcie x=1 wynosi 0. Ponieważ f(x) = a(x+3)(x-1), to dla x=1, f(1) = a(1+3)(1-1) = 0. Z rysunku wiemy, że wartość funkcji w x=-1 wynosi 4, więc musimy znaleźć a.</li><li><strong>Wyznaczamy a:</strong> Z rysunku widać, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1, 4). Wzór na wierzchołek paraboli to: x_w = -b/(2a). Ponieważ wierzchołek znajduje się w x = -1, mamy: -1 = -b/(2a) =&gt; b = 2a</li><li><strong>Wyznaczamy c:</strong> Wzór funkcji to f(x) = a(x+3)(x-1) = a(x² + 2x - 3). Zatem c = -3a. Wiedząc, że wierzchołek ma wartość 4, możemy obliczyć c: 4 = a(-1+3)(-1-1) = a(2)(-2) = -4a. Zatem a = -1.</li><li><strong>Obliczamy c:</strong> c = -3a = -3 * (-1) = 3.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie wierzchołka paraboli i miejsc zerowych</h5>\n<ol><li><strong>Wierzchołek:</strong> Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie W(-1, 4). To oznacza, że wartość x w wierzchołku wynosi -1, a wartość y w wierzchołku wynosi 4.</li><li><strong>Wzór na wierzchołek paraboli:</strong> Wzór na współrzędne wierzchołka paraboli f(x) = a(x - x_w)² + y_w to x_w = -b/(2a) i y_w = f(x_w).</li><li><strong>Obliczamy a:</strong> Znamy y_w = 4 i x_w = -1. Podstawiamy do wzoru f(x) = a(x + 1)² + 4. Ponieważ f(-3) = 0, podstawiamy x = -3:</li></ol>\n<p>0 = a(-3 + 1)² + 4<br>0 = a(-2)² + 4<br>0 = 4a + 4<br>-4 = 4a<br>a = -1</p>\n<ol><li><strong>Obliczamy c:</strong> Teraz mamy f(x) = -1(x + 1)² + 4 = -1(x² + 2x + 1) + 4 = -x² - 2x - 1 + 4 = -x² - 2x + 3. Zatem c = 3.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 1:</strong> To nieprawda, ponieważ wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1, 4), a wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4, co nie jest równe 1.</li><li><strong>B. 2:</strong> Podobnie jak w przypadku A, wartość funkcji w wierzchołku nie jest równa 2.</li><li><strong>D. 4:</strong> Wierzchołek paraboli nie znajduje się w punkcie (-1, 4), a wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4, co nie jest równe 4.</li></ul>"}]}