{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem\n( )\nx\nf x\na\n. Punkt\n(\n)\n1, 2\nA =\nnależy do tego wykresu funkcji.\nPodstawa a potęgi jest równa\nA.\n1\n2\nB.\n1\n2\nC.\n2\nD. 2\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x)=a^x. Punkt A=(1,2) należy do tego wykresu funkcji. A. -1/2, B. 1/2, C. -2, D. 2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający szkicuje wykresy funkcji\nwykładniczych dla różnych podstaw (4.14).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPodstawa \\(a\\) potęgi jest równa **\\(2\\)**.\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\nWiemy, że punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu funkcji \\(f(x) = a^x\\).\n\n**Podstawiamy współrzędne punktu \\(A\\) do wzoru funkcji:**\n\n\\[f(1) = a^1\\]\n\nSkoro punkt \\(A = (1, 2)\\) leży na wykresie, to \\(f(1) = 2\\), czyli:\n\n\\[a^1 = 2\\]\n\n\\[a = 2\\]\n\n**Zatem podstawa potęgi wynosi \\(a = 2\\).**\n\nMożemy też sprawdzić, że \\(a = 2 > 0\\) i \\(a \\neq 1\\), więc jest to poprawna podstawa funkcji wykładniczej.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja i odczyt z wykresu\n\nSkoro \\(a = 2\\), to wzór funkcji to \\(f(x) = 2^x\\).\n\nSprawdzamy kilka wartości, by upewnić się, że wykres wygląda sensownie:\n\n\\[f(0) = 2^0 = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad (0, 1) \\text{ należy do wykresu}\\]\n\n\\[f(1) = 2^1 = 2 \\quad \\Rightarrow \\quad (1, 2) \\text{ - zgadza się z punktem } A\\]\n\n\\[f(-1) = 2^{-1} = \\frac{1}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\left(-1, \\frac{1}{2}\\right) \\text{ należy do wykresu}\\]\n\nWykres funkcji \\(f(x) = 2^x\\) jest rosnący (bo \\(a = 2 > 1\\)), przechodzi przez \\((0, 1)\\) i rośnie szybko dla \\(x > 0\\). To zgadza się z typowym wyglądem wykresu funkcji wykładniczej o podstawie \\(a > 1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **definicja funkcji wykładniczej** i podstawienie. Warto jednak pamiętać o własnościach potęg z **Działu 2 (s. 4-5)**:\n\n\\[a^1 = a\\]\n\nTo właśnie ten fakt (każda liczba do potęgi 1 równa się tej liczbie) jest kluczem do rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(-\\frac{1}{2}\\) | Podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia (\\(a > 0\\)), więc \\(a = -\\frac{1}{2}\\) jest **niemożliwe** - taki wzór nie definiuje funkcji wykładniczej |\n| B: \\(\\frac{1}{2}\\) | Gdyby \\(a = \\frac{1}{2}\\), to \\(f(1) = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^1 = \\frac{1}{2} \\neq 2\\) - punkt \\((1, 2)\\) nie leżałby na wykresie |\n| C: \\(-2\\) | Podobnie jak w A - podstawa ujemna jest **niedozwolona** w definicji funkcji wykładniczej (\\(a > 0, a \\neq 1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podstawa funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) musi spełniać \\(a > 0\\) i \\(a \\neq 1\\). Odpowiedzi A i C (ujemne) można od razu wyeliminować - nie trzeba liczyć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(f(x) = a^x\\) z \\(f(x) = x^a\\) (potęgową). Tu **podstawa jest stała**, a **wykładnik jest zmienną**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\\(\\frac{1}{2}\\)) to typowy \"mylący\" wybór - bo \\(\\frac{1}{2}\\) i \\(2\\) są odwrotnościami. Funkcja \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^x\\) jest malejąca i daje wartość \\(\\frac{1}{2}\\) dla \\(x=1\\), nie \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie punktu\nJeśli \\(A = (1, 2)\\) leży na wykresie \\(f(x) = a^x\\), to \\(f(1) = 2\\):\n\\[a^1 = 2 \\Rightarrow a = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Ogólna własność funkcji wykładniczej\nDla funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) wartość \\(f(1) = a\\). Bezpośredni odczyt z wykresu: dla \\(x = 1\\) jest \\(y = 2\\), więc \\(a = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C** (wartości ujemne) - funkcja wykładnicza wymaga \\(a > 0\\) (inaczej \\(a^{1/2}\\) byłoby niezdefiniowane dla liczb rzeczywistych).\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - wykres funkcji \\(y = (1/2)^x\\) byłby **malejący** (tu jest rosnący). Ponadto \\((1/2)^1 = 1/2 \\ne 2\\).\n\n**Zapamiętaj:** wykres \\(a^x\\) dla \\(a > 1\\) rośnie, dla \\(0 < a < 1\\) maleje. Wartość \\(f(1) = a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu i wzoru funkcji\n\n1. **Zrozumienie wykresu:** Wykres funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) przechodzi przez punkt A = (1, 2). Oznacza to, że gdy x = 1, to f(x) = 2.\n2. **Wykorzystanie wzoru:** Wiemy, że \\(f(x) = a^x\\). Podstawiamy współrzędne punktu A do wzoru: \\(2 = a^1\\), czyli \\(a = 2\\).\n3. **Sprawdzenie:** Wzór funkcji to \\(f(x) = 2^x\\). Sprawdzamy, czy ten wzór pasuje do wykresu.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji wykładniczej i punktu\n\n1. **Definicja funkcji wykładniczej:** Funkcja wykładnicza ma postać \\(f(x) = a^x\\), gdzie \\(a\\) jest podstawą wykładnika.\n2. **Punkt A:** Punkt A = (1, 2) oznacza, że \\(f(1) = 2\\).\n3. **Obliczenie a:** Zatem \\(a^1 = 2\\), co daje \\(a = 2\\).\n\n📖 Karta wzorów: **Pole trójkąta** (strona 6), Wartość bezwzględna |x|, nierówności |x-a|≤r\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (1/2):** Jeśli \\(a = 1/2\\), to \\(f(x) = (1/2)^x\\). Wtedy \\(f(1) = (1/2)^1 = 1/2\\), co nie zgadza się z danym punktem A = (1, 2).\n* **B. (1/2):** Podobnie jak w przypadku A, jeśli \\(a = 1/2\\), to \\(f(x) = (1/2)^x\\), a \\(f(1) = 1/2\\).\n* **C. -2:** Jeśli \\(a = -2\\), to \\(f(x) = (-2)^x\\). Funkcja wykładnicza z ujemną podstawą nie jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x, a dodatkowo \\(f(1) = (-2)^1 = -2\\), co nie zgadza się z danym punktem A = (1, 2).\n* **D. 2:** Jak pokazaliśmy, jeśli \\(a = 2\\), to \\(f(x) = 2^x\\), a \\(f(1) = 2^1 = 2\\), co zgadza się z punktem A = (1, 2).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"wykladnicza","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem<br>( )<br>x<br>f x<br>a<br>. Punkt<br>(<br>)<br>1, 2<br>A =<br>należy do tego wykresu funkcji.<br>Podstawa a potęgi jest równa<br>A.<br>1<br>2<br>B.<br>1<br>2<br>C.<br>2<br>D. 2</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Na rysunku przedstawiono wykres funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x)=a^x. Punkt A=(1,2) należy do tego wykresu funkcji. A. -1/2, B. 1/2, C. -2, D. 2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający szkicuje wykresy funkcji</li></ol>\n<p>wykładniczych dla różnych podstaw (4.14).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Podstawa \\(a\\) potęgi jest równa <strong>\\(2\\)</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji</h4>\n<p>Wiemy, że punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu funkcji \\(f(x) = a^x\\).</p>\n<p><strong>Podstawiamy współrzędne punktu \\(A\\) do wzoru funkcji:</strong></p>\n<p>\\[f(1) = a^1\\]</p>\n<p>Skoro punkt \\(A = (1, 2)\\) leży na wykresie, to \\(f(1) = 2\\), czyli:</p>\n<p>\\[a^1 = 2\\]</p>\n<p>\\[a = 2\\]</p>\n<p><strong>Zatem podstawa potęgi wynosi \\(a = 2\\).</strong></p>\n<p>Możemy też sprawdzić, że \\(a = 2 &gt; 0\\) i \\(a \\neq 1\\), więc jest to poprawna podstawa funkcji wykładniczej.</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja i odczyt z wykresu</h4>\n<p>Skoro \\(a = 2\\), to wzór funkcji to \\(f(x) = 2^x\\).</p>\n<p>Sprawdzamy kilka wartości, by upewnić się, że wykres wygląda sensownie:</p>\n<p>\\[f(0) = 2^0 = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad (0, 1) \\text{ należy do wykresu}\\]</p>\n<p>\\[f(1) = 2^1 = 2 \\quad \\Rightarrow \\quad (1, 2) \\text{ - zgadza się z punktem } A\\]</p>\n<p>\\[f(-1) = 2^{-1} = \\frac{1}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\left(-1, \\frac{1}{2}\\right) \\text{ należy do wykresu}\\]</p>\n<p>Wykres funkcji \\(f(x) = 2^x\\) jest rosnący (bo \\(a = 2 &gt; 1\\)), przechodzi przez \\((0, 1)\\) i rośnie szybko dla \\(x &gt; 0\\). To zgadza się z typowym wyglądem wykresu funkcji wykładniczej o podstawie \\(a &gt; 1\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy <strong>definicja funkcji wykładniczej</strong> i podstawienie. Warto jednak pamiętać o własnościach potęg z <strong>Działu 2 (s. 4-5)</strong>:</p>\n<p>\\[a^1 = a\\]</p>\n<p>To właśnie ten fakt (każda liczba do potęgi 1 równa się tej liczbie) jest kluczem do rozwiązania.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(-\\frac{1}{2}\\) | Podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia (\\(a &gt; 0\\)), więc \\(a = -\\frac{1}{2}\\) jest <strong>niemożliwe</strong> - taki wzór nie definiuje funkcji wykładniczej |<br>| B: \\(\\frac{1}{2}\\) | Gdyby \\(a = \\frac{1}{2}\\), to \\(f(1) = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^1 = \\frac{1}{2} \\neq 2\\) - punkt \\((1, 2)\\) nie leżałby na wykresie |<br>| C: \\(-2\\) | Podobnie jak w A - podstawa ujemna jest <strong>niedozwolona</strong> w definicji funkcji wykładniczej (\\(a &gt; 0, a \\neq 1\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podstawa funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) musi spełniać \\(a &gt; 0\\) i \\(a \\neq 1\\). Odpowiedzi A i C (ujemne) można od razu wyeliminować - nie trzeba liczyć!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\(f(x) = a^x\\) z \\(f(x) = x^a\\) (potęgową). Tu <strong>podstawa jest stała</strong>, a <strong>wykładnik jest zmienną</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź B (\\(\\frac{1}{2}\\)) to typowy &quot;mylący&quot; wybór - bo \\(\\frac{1}{2}\\) i \\(2\\) są odwrotnościami. Funkcja \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^x\\) jest malejąca i daje wartość \\(\\frac{1}{2}\\) dla \\(x=1\\), nie \\(2\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie punktu</h5>\n<p>Jeśli \\(A = (1, 2)\\) leży na wykresie \\(f(x) = a^x\\), to \\(f(1) = 2\\):<br>\\[a^1 = 2 \\Rightarrow a = 2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Ogólna własność funkcji wykładniczej</h5>\n<p>Dla funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) wartość \\(f(1) = a\\). Bezpośredni odczyt z wykresu: dla \\(x = 1\\) jest \\(y = 2\\), więc \\(a = 2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C</strong> (wartości ujemne) - funkcja wykładnicza wymaga \\(a &gt; 0\\) (inaczej \\(a^{1/2}\\) byłoby niezdefiniowane dla liczb rzeczywistych).</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - wykres funkcji \\(y = (1/2)^x\\) byłby <strong>malejący</strong> (tu jest rosnący). Ponadto \\((1/2)^1 = 1/2 \\ne 2\\).</li></ul>\n<p><strong>Zapamiętaj:</strong> wykres \\(a^x\\) dla \\(a &gt; 1\\) rośnie, dla \\(0 &lt; a &lt; 1\\) maleje. Wartość \\(f(1) = a\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza wykresu i wzoru funkcji</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie wykresu:</strong> Wykres funkcji wykładniczej \\(f(x) = a^x\\) przechodzi przez punkt A = (1, 2). Oznacza to, że gdy x = 1, to f(x) = 2.</li><li><strong>Wykorzystanie wzoru:</strong> Wiemy, że \\(f(x) = a^x\\). Podstawiamy współrzędne punktu A do wzoru: \\(2 = a^1\\), czyli \\(a = 2\\).</li><li><strong>Sprawdzenie:</strong> Wzór funkcji to \\(f(x) = 2^x\\). Sprawdzamy, czy ten wzór pasuje do wykresu.</li></ol>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji wykładniczej i punktu</h5>\n<ol><li><strong>Definicja funkcji wykładniczej:</strong> Funkcja wykładnicza ma postać \\(f(x) = a^x\\), gdzie \\(a\\) jest podstawą wykładnika.</li><li><strong>Punkt A:</strong> Punkt A = (1, 2) oznacza, że \\(f(1) = 2\\).</li><li><strong>Obliczenie a:</strong> Zatem \\(a^1 = 2\\), co daje \\(a = 2\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>Pole trójkąta</strong> (strona 6), Wartość bezwzględna |x|, nierówności |x-a|≤r</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (1/2):</strong> Jeśli \\(a = 1/2\\), to \\(f(x) = (1/2)^x\\). Wtedy \\(f(1) = (1/2)^1 = 1/2\\), co nie zgadza się z danym punktem A = (1, 2).</li><li><strong>B. (1/2):</strong> Podobnie jak w przypadku A, jeśli \\(a = 1/2\\), to \\(f(x) = (1/2)^x\\), a \\(f(1) = 1/2\\).</li><li><strong>C. -2:</strong> Jeśli \\(a = -2\\), to \\(f(x) = (-2)^x\\). Funkcja wykładnicza z ujemną podstawą nie jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x, a dodatkowo \\(f(1) = (-2)^1 = -2\\), co nie zgadza się z danym punktem A = (1, 2).</li><li><strong>D. 2:</strong> Jak pokazaliśmy, jeśli \\(a = 2\\), to \\(f(x) = 2^x\\), a \\(f(1) = 2^1 = 2\\), co zgadza się z punktem A = (1, 2).</li></ul>"}]}