Zadanie 12. (0-1)
W ciągu arytmetycznym (
)
na
, określonym dla
1
n ≥, dane są:
1
5
a =
,
2
11
a =
. Wtedy
A.
14
71
a
B.
12
71
a
C.
11
71
a
D.
10
71
a
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są: a_1=5, a_2=11. Wtedy A. a_14 = 71, B. a_12 = 71, C. a_11 = 71, D. a_10 = 71.
Zadanie 12. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.
i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego (5.3).
Wersja
I
Wersja
II
B
C
\\(a_{12} = 71\\)
\nWyznaczamy różnicę ciągu:
\n\\[r = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\\]
\nKorzystamy ze wzoru ogólnego:
\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]
\nPodstawiamy \\(a_1 = 5\\), \\(r = 6\\):
\n\\[a_n = 5 + (n-1) \\cdot 6 = 5 + 6n - 6 = 6n - 1\\]
\nSprawdzamy, dla jakiego \\(n\\) mamy \\(a_n = 71\\):
\n\\[6n - 1 = 71\\]
\\[6n = 72\\]
\\[n = 12\\]
Zatem \\(a_{12} = 71\\).
\nMamy wzór \\(a_n = 6n - 1\\). Podstawiamy wprost \\(n = 12\\):
\n\\[a_{12} = 6 \\cdot 12 - 1 = 72 - 1 = 71 \\checkmark\\]
\nSprawdzamy też \\(a_1\\) i \\(a_2\\), żeby upewnić się, że wzór jest poprawny:
\n\\[a_1 = 6 \\cdot 1 - 1 = 5 \\checkmark\\]
\\[a_2 = 6 \\cdot 2 - 1 = 11 \\checkmark\\]
Wzór działa - odpowiedź B jest pewna.
\nDział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]
gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica ciągu. Użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia postaci ogólnej ciągu, a następnie rozwiązaliśmy równanie \\(a_n = 71\\).
\n| Odp. | Błąd |
| A | \\(a_{14}\\): ktoś wyliczył \\(6 \\cdot 14 - 1 = 83 \\neq 71\\); albo źle wyznaczył \\(r\\) (np. wziął \\(r = 5\\) zamiast \\(r = 6\\)) i dostał \\(a_{14} = 5 + 13 \\cdot 5 = 70 \\approx 71\\) |
| C | \\(a_{11}\\): \\(6 \\cdot 11 - 1 = 65 \\neq 71\\); błąd może wynikać z użycia wzoru \\(a_n = a_1 + n \\cdot r\\) (bez odejmowania 1) - wtedy \\(a_1 + 11 \\cdot 6 = 71\\), ale to błędny wzór |
| D | \\(a_{10}\\): \\(6 \\cdot 10 - 1 = 59 \\neq 71\\); możliwy błąd przy wyznaczaniu \\(r\\) - np. \\(r = 7\\) zamiast \\(r = 6\\), co daje \\(a_{10} = 5 + 9 \\cdot 7 = 68\\), ciągle nie 71 |
⚠️ Uwaga: We wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\) jest \\((n-1)\\), nie \\(n\\). To najczęstszy błąd - napisanie \\(a_n = a_1 + n \\cdot r\\). Przy \\(n = 1\\) taki wzór dałby \\(a_1 + r\\), a nie \\(a_1\\).\n
⚠️ Uwaga: Różnicę ciągu liczymy jako \\(r = a_2 - a_1\\), a nie \\(a_1 - a_2\\). Tutaj \\(r = 11 - 5 = 6\\), nie \\(-6\\).\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu wzoru ogólnego warto zawsze sprawdzić go dla \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\) - jeśli nie pasuje, gdzieś jest błąd algebraiczny.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nRóżnica: \\(r = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\\).
Wzór: \\(a_n = a_1 + (n-1)r = 5 + 6(n-1) = 6n - 1\\).
Szukamy \\(n\\) takiego, że \\(a_n = 71\\):
\\[6n - 1 = 71 \\Rightarrow 6n = 72 \\Rightarrow n = 12.\\]
Zatem \\(a_{12} = 71\\).
Trik: zawsze wyznacz \\(r\\), a potem oblicz wzór \\(a_n\\).
\nPoprawna odpowiedź: B
\nW ciągu arytmetycznym, ogólny wzór na n-ty wyraz (aₙ) to:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
gdzie:
Wiemy, że \\(a_1 = 5\\) i \\(a_2 = 11\\). Zatem:
\\[a_2 = a_1 + (2-1)r\\]
\\[11 = 5 + r\\]
\\[r = 11 - 5 = 6\\]
Teraz, gdy znamy \\(a_1\\) i \\(r\\), możemy obliczyć \\(a_{12}\\):
\\[a_{12} = a_1 + (12-1)r = 5 + (11)(6) = 5 + 66 = 71\\]
📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9
\nUżywamy wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_{14} = a_1 + (14-1)r = 5 + (13)(6) = 5 + 78 = 83\\]
Zauważamy, że a₁₄ = 83, a to nie jest żadna z podanych odpowiedzi. Zatem, musimy wrócić do obliczenia a₁₂ i sprawdzić, czy to jest poprawna odpowiedź.
\n📖 Karta wzorów: Wzory arytmetyczne: aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9
\nPodsumowując, jedyną poprawną odpowiedzią jest B, ponieważ obliczyliśmy \\(a_{12} = 71\\) prawidłowo, wykorzystując podane dane i wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
"}]}