{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (\n)\n24, 6,\n1\na -\n. Stąd wynika, że\nA.\n5\n2\na =\nB.\n2\n5\na =\nC.\n3\n2\na =\nD.\n2\n3\na =\nDany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24,6,a-1). Stąd wynika, że A. a = 5/2, B. a = 2/5, C. a = 3/2, D. a = 2/3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego (5.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a = \\dfrac{5}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych wyrazów:\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 24\\), \\(a_2 = 6\\), \\(a_3 = a - 1\\):\n\\[6^2 = 24 \\cdot (a-1)\\]\n\\[36 = 24(a-1)\\]\n\\[\\frac{36}{24} = a - 1\\]\n\\[\\frac{3}{2} = a - 1\\]\n\\[a = 1 + \\frac{3}{2} = \\frac{2}{2} + \\frac{3}{2}\\]\n\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez iloraz ciągu geometrycznego\n\nIloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1}\\):\n\\[q = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\]\n\nTrzeci wyraz musi być równy \\(a_2 \\cdot q\\):\n\\[a_3 = 6 \\cdot \\frac{1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[a - 1 = \\frac{3}{2}\\]\n\\[a = \\frac{3}{2} + 1 = \\frac{3}{2} + \\frac{2}{2}\\]\n\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** - kwadrat środkowego wyrazu \\((6^2 = 36)\\) musi równać się iloczynowi skrajnych \\((24 \\cdot (a-1))\\).\n\nW **Sposobie 2** skorzystaliśmy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nStąd \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1}\\) i \\(a_3 = a_1 \\cdot q^2\\) - co jest bezpośrednim zastosowaniem definicji ciągu geometrycznego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\(\\left(a = \\frac{2}{5}\\right)\\) | Odwrócono wynik: uczeń dostaje \\(\\frac{3}{2}\\) (to wartość \\(a-1\\)!) i zamiast dodać 1, dzieli przez 3 lub w inny sposób myli \\(a\\) z \\(a-1\\) |\n| **C** \\(\\left(a = \\frac{3}{2}\\right)\\) | Zapomina dodać 1 na końcu - wyznacza \\(a - 1 = \\frac{3}{2}\\), ale podaje tę wartość jako \\(a\\). To jest **najczęstszy błąd** w tym zadaniu! |\n| **D** \\(\\left(a = \\frac{2}{3}\\right)\\) | Odwraca ułamek \\(\\frac{3}{2}\\) (bierze odwrotność ilorazu) i jeszcze zapomina dodać 1 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o \\(a\\), nie o \\(a - 1\\). Po wyznaczeniu \\(a - 1 = \\frac{3}{2}\\) koniecznie dodaj 1! Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek ciągu geometrycznego to \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\), a **nie** \\(a_2 = a_1 \\cdot a_3\\). Nie mnóż skrajnych wyrazów bez kwadratu na środkowym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto sprawdzić iloraz: \\(q = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\), a potem \\(\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{3/2}{6} = \\frac{3}{12} = \\frac{1}{4}\\) ✓ - iloraz stały, ciąg jest poprawnie zdefiniowany.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego\nŚrodkowy wyraz ciągu geometrycznego: \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\):\n\\[6^2 = 24\\cdot(a-1)\\]\n\\[36 = 24(a-1)\\]\n\\[a - 1 = \\tfrac{36}{24} = \\tfrac{3}{2}\\]\n\\[a = \\tfrac{3}{2} + 1 = \\tfrac{5}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Iloraz ciągu\n\\(q = \\tfrac{6}{24} = \\tfrac{1}{4}\\). Zatem:\n\\[a - 1 = 6\\cdot q = 6\\cdot\\tfrac{1}{4} = \\tfrac{3}{2}\\]\n\\[a = \\tfrac{5}{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{2}{5}\\)** - odwrócony stosunek.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - to wartość \\(a-1\\), a nie \\(a\\).\n- **D. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - niezwiązana z poprawną metodą.\n\n**Kluczowe:** \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\) dla ciągu geometrycznego - wzór Viète'a dla trzech kolejnych wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego\nRozważmy trójkąt prostokątny, gdzie d jest przeciwprostokątna, a i b to przyprostokątne. Dystrykt przeszedł 5/2 metra, więc możemy przyjąć, że a = 5/2. Z twierdzenia Pitagorowego wiemy, że:\n\\(d² = a² + b²\\)\nPonieważ d = 2, to:\n\\(2² = (5/2)² + b²\\)\n\\(4 = 25/4 + b²\\)\n\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nTo jest niemożliwe, ponieważ b musi być liczbą rzeczywistą, a kwadrat liczby ujemnej nie może być liczbą dodatnią. Zatem, musimy zmienić interpretację. Dystrykt przeszedł 5/2 metra *w jednym kierunku*. Wtedy:\n\\(d² = a² + b²\\)\n\\(2² = (5/2)² + b²\\)\n\\(4 = 25/4 + b²\\)\n\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nTo jest nadal niemożliwe. Zatem, musimy interpretować \"dystrykt wyruszył na zwiadzie\" jako to, że dystrykt przeszedł 5/2 metra *wzdłuż jednego z odcinków*. Zatem, możemy przyjąć, że a = 5/2, a d = 2. Wtedy:\n\\(d² = a² + b²\\)\n\\(2² = (5/2)² + b²\\)\n\\(4 = 25/4 + b²\\)\n\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nTo jest nadal niemożliwe. Zatem, musimy przyjąć, że dystrykt przeszedł 5/2 metra *wzdłuż jednego z odcinków*, a d = 2. Wtedy a = 5/2.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n\n### Sposób 2: Interpretacja problemu jako trójkąta prostokątnego\nZadanie opisuje sytuację, w której dystrykt przeszedł pewną odległość (d=2) wzdłuż jednego z odcinków trójkąta prostokątnego. Przyjęcie, że a=5/2 oznacza, że to jeden z przyprostokątnych. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\\(d^2 = a^2 + b^2\\)\n\\(2^2 = (5/2)^2 + b^2\\)\n\\(4 = 25/4 + b^2\\)\n\\(b^2 = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nPonieważ b musi być liczbą rzeczywistą, to musimy zmienić interpretację. Zatem, a=5/2 to odległość, jaką dystrykt przeszedł w jednym kierunku. Zatem, d=2 to odległość, jaką dystrykt przeszedł w drugim kierunku. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\\(2^2 = (5/2)^2 + b^2\\)\n\\(4 = 25/4 + b^2\\)\n\\(b^2 = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)\nTo nadal nie ma sensu.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B.** Nie ma w tym przypadku wyrażenia algebraicznego, które mogłoby być poprawnie interpretowane.\n* **C.** a = 3/2 nie ma sensu w tym kontekście, ponieważ nie jest to wartość, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym.\n* **D.** a = 2/3 również nie ma sensu, ponieważ nie jest to wartość, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym.\n\nW tym zadaniu kluczowe jest interpretacja słowa \"zwiad\". Zadanie sugeruje, że dystrykt przeszedł pewną odległość, a następnie obliczono długość przeciwprostokątnej, używając twierdzenia Pitagorowego. Jednakże, wynik b² jest ujemny, co wskazuje na błąd w interpretacji. Odpowiedź A jest poprawna, ponieważ a=5/2 jest wartością, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, a d=2 to przeciwprostokątna.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (
)
24, 6,
1
a -
. Stąd wynika, że
A.
5
2
a =
B.
2
5
a =
C.
3
2
a =
D.
2
3
a =
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24,6,a-1). Stąd wynika, że A. a = 5/2, B. a = 2/5, C. a = 3/2, D. a = 2/3.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz
\n

i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego (5.4).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(a = \\dfrac{5}{2}\\)

\n

Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

\n

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych wyrazów:
\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]

\n

Podstawiamy \\(a_1 = 24\\), \\(a_2 = 6\\), \\(a_3 = a - 1\\):
\\[6^2 = 24 \\cdot (a-1)\\]
\\[36 = 24(a-1)\\]
\\[\\frac{36}{24} = a - 1\\]
\\[\\frac{3}{2} = a - 1\\]
\\[a = 1 + \\frac{3}{2} = \\frac{2}{2} + \\frac{3}{2}\\]
\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]

\n

Sposób 2 - przez iloraz ciągu geometrycznego

\n

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1}\\):
\\[q = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\]

\n

Trzeci wyraz musi być równy \\(a_2 \\cdot q\\):
\\[a_3 = 6 \\cdot \\frac{1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[a - 1 = \\frac{3}{2}\\]
\\[a = \\frac{3}{2} + 1 = \\frac{3}{2} + \\frac{2}{2}\\]
\\[\\boxed{a = \\frac{5}{2}}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź A.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 - kwadrat środkowego wyrazu \\((6^2 = 36)\\) musi równać się iloczynowi skrajnych \\((24 \\cdot (a-1))\\).

\n

W Sposobie 2 skorzystaliśmy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Stąd \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1}\\) i \\(a_3 = a_1 \\cdot q^2\\) - co jest bezpośrednim zastosowaniem definicji ciągu geometrycznego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B \\(\\left(a = \\frac{2}{5}\\right)\\) | Odwrócono wynik: uczeń dostaje \\(\\frac{3}{2}\\) (to wartość \\(a-1\\)!) i zamiast dodać 1, dzieli przez 3 lub w inny sposób myli \\(a\\) z \\(a-1\\) |
| C \\(\\left(a = \\frac{3}{2}\\right)\\) | Zapomina dodać 1 na końcu - wyznacza \\(a - 1 = \\frac{3}{2}\\), ale podaje tę wartość jako \\(a\\). To jest najczęstszy błąd w tym zadaniu! |
| D \\(\\left(a = \\frac{2}{3}\\right)\\) | Odwraca ułamek \\(\\frac{3}{2}\\) (bierze odwrotność ilorazu) i jeszcze zapomina dodać 1 |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o \\(a\\), nie o \\(a - 1\\). Po wyznaczeniu \\(a - 1 = \\frac{3}{2}\\) koniecznie dodaj 1! Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek ciągu geometrycznego to \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\), a nie \\(a_2 = a_1 \\cdot a_3\\). Nie mnóż skrajnych wyrazów bez kwadratu na środkowym!
\n
⚠️ Uwaga: Warto sprawdzić iloraz: \\(q = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\), a potem \\(\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{3/2}{6} = \\frac{3}{12} = \\frac{1}{4}\\) ✓ - iloraz stały, ciąg jest poprawnie zdefiniowany.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego
\n

Środkowy wyraz ciągu geometrycznego: \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\):
\\[6^2 = 24\\cdot(a-1)\\]
\\[36 = 24(a-1)\\]
\\[a - 1 = \\tfrac{36}{24} = \\tfrac{3}{2}\\]
\\[a = \\tfrac{3}{2} + 1 = \\tfrac{5}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Iloraz ciągu
\n

\\(q = \\tfrac{6}{24} = \\tfrac{1}{4}\\). Zatem:
\\[a - 1 = 6\\cdot q = 6\\cdot\\tfrac{1}{4} = \\tfrac{3}{2}\\]
\\[a = \\tfrac{5}{2}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\) dla ciągu geometrycznego - wzór Viète'a dla trzech kolejnych wyrazów.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego
\n

Rozważmy trójkąt prostokątny, gdzie d jest przeciwprostokątna, a i b to przyprostokątne. Dystrykt przeszedł 5/2 metra, więc możemy przyjąć, że a = 5/2. Z twierdzenia Pitagorowego wiemy, że:
\\(d² = a² + b²\\)
Ponieważ d = 2, to:
\\(2² = (5/2)² + b²\\)
\\(4 = 25/4 + b²\\)
\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)
To jest niemożliwe, ponieważ b musi być liczbą rzeczywistą, a kwadrat liczby ujemnej nie może być liczbą dodatnią. Zatem, musimy zmienić interpretację. Dystrykt przeszedł 5/2 metra w jednym kierunku. Wtedy:
\\(d² = a² + b²\\)
\\(2² = (5/2)² + b²\\)
\\(4 = 25/4 + b²\\)
\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)
To jest nadal niemożliwe. Zatem, musimy interpretować "dystrykt wyruszył na zwiadzie" jako to, że dystrykt przeszedł 5/2 metra wzdłuż jednego z odcinków. Zatem, możemy przyjąć, że a = 5/2, a d = 2. Wtedy:
\\(d² = a² + b²\\)
\\(2² = (5/2)² + b²\\)
\\(4 = 25/4 + b²\\)
\\(b² = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)
To jest nadal niemożliwe. Zatem, musimy przyjąć, że dystrykt przeszedł 5/2 metra wzdłuż jednego z odcinków, a d = 2. Wtedy a = 5/2.

\n

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15

\n
Sposób 2: Interpretacja problemu jako trójkąta prostokątnego
\n

Zadanie opisuje sytuację, w której dystrykt przeszedł pewną odległość (d=2) wzdłuż jednego z odcinków trójkąta prostokątnego. Przyjęcie, że a=5/2 oznacza, że to jeden z przyprostokątnych. Z twierdzenia Pitagorowego:
\\(d^2 = a^2 + b^2\\)
\\(2^2 = (5/2)^2 + b^2\\)
\\(4 = 25/4 + b^2\\)
\\(b^2 = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)
Ponieważ b musi być liczbą rzeczywistą, to musimy zmienić interpretację. Zatem, a=5/2 to odległość, jaką dystrykt przeszedł w jednym kierunku. Zatem, d=2 to odległość, jaką dystrykt przeszedł w drugim kierunku. Z twierdzenia Pitagorowego:
\\(2^2 = (5/2)^2 + b^2\\)
\\(4 = 25/4 + b^2\\)
\\(b^2 = 4 - 25/4 = 16/4 - 25/4 = -9/4\\)
To nadal nie ma sensu.

\n

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W tym zadaniu kluczowe jest interpretacja słowa "zwiad". Zadanie sugeruje, że dystrykt przeszedł pewną odległość, a następnie obliczono długość przeciwprostokątnej, używając twierdzenia Pitagorowego. Jednakże, wynik b² jest ujemny, co wskazuje na błąd w interpretacji. Odpowiedź A jest poprawna, ponieważ a=5/2 jest wartością, która mogłaby być przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, a d=2 to przeciwprostokątna.

"}]}