{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nJeśli\nsin50\nm =\n° , to\nA.\nsin 40\nm =\n°\nB.\ncos40\nm =\n°\nC.\ncos50\nm =\n°\nD.\ntg50\nm =\n°\nJeśli m = sin50°, to A. m = sin40°, B. m = cos40°, C. m = cos50°, D. m = tg50°.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje proste\nzależności między funkcjami\ntrygonometrycznymi: sin2α + cos2α = 1,\ntg α = sin\ncos\nα\nα\noraz sin(90° - α ) = cos α (6.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(m = \\sin 50° = \\cos 40°\\)\n\n## Sposób 1 - wzór redukcyjny (kąty dopełniające)\n\nKąty \\(50°\\) i \\(40°\\) są **dopełniające** - sumują się do \\(90°\\):\n\\[50° + 40° = 90°\\]\n\nZ karty wzorów mamy wzór redukcyjny dla kątów dopełniających:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy \\(\\alpha = 40°\\):\n\\[\\sin(90° - 40°) = \\cos 40°\\]\n\\[\\sin 50° = \\cos 40°\\]\n\nSkoro \\(m = \\sin 50°\\), to:\n\\[\\boxed{m = \\cos 40°}\\]\n\n## Sposób 2 - interpretacja jednostkowego okręgu / trójkąta prostokątnego\n\nW trójkącie prostokątnym, jeśli jeden kąt ostry wynosi \\(\\alpha\\), to drugi wynosi \\(90° - \\alpha\\).\n\nWeźmy trójkąt prostokątny z kątami \\(40°\\), \\(50°\\) i \\(90°\\):\n\n- Sinus kąta = **przeciwprostokątna do przyprostokątnej**, przy kącie \\(50°\\):\n\\[\\sin 50° = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } 50°}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\n\n- Cosinus kąta \\(40°\\) = **przyległa do przeciwprostokątnej**, przy kącie \\(40°\\):\n\\[\\cos 40° = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa do } 40°}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\n\nAle **przyległa do kąta \\(40°\\)** to dokładnie **ta sama przyprostokątna**, która leży **naprzeciwko kąta \\(50°\\)**!\n\nStąd: \\(\\sin 50° = \\cos 40°\\), czyli \\(m = \\cos 40°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne dla kątów dopełniających:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nUżyliśmy pierwszego wzoru, podstawiając \\(\\alpha = 40°\\), by zamienić \\(\\sin 50°\\) na \\(\\cos 40°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\sin 50° \\neq \\sin 40°\\) - to różne wartości. Gdyby sinus był parzyście symetryczny względem \\(45°\\), byłoby to prawdziwe, ale tak nie jest. \\(\\sin 40° \\approx 0{,}643\\), \\(\\sin 50° \\approx 0{,}766\\). |\n| C | \\(\\cos 50° = \\sin 40° \\approx 0{,}643 \\neq \\sin 50° \\approx 0{,}766\\). To odwrotny wzór redukcyjny - \\(\\cos 50° = \\sin 40°\\), nie \\(\\sin 50°\\). |\n| D | \\(\\operatorname{tg} 50° \\approx 1{,}19 \\neq 0{,}766 = \\sin 50°\\). Tangens i sinus to zupełnie różne funkcje - tylko dla \\(0°\\) obie wynoszą \\(0\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\) działa w **obie strony** - łatwo pomylić, który kąt odejmujemy od \\(90°\\). Zapamiętaj: kąty w nawiasach **sumują się do \\(90°\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\cos 40°\\) z \\(\\cos 50°\\)! Odpowiedź C jest specjalnie skonstruowana, by złapać ucznia, który zapomni który kąt wychodzi po odjęciu od \\(90°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartości liczbowe warto znać orientacyjnie: \\(\\sin 30° = 0{,}5\\), \\(\\sin 45° \\approx 0{,}707\\), \\(\\sin 60° \\approx 0{,}866\\). Szybka weryfikacja liczb eliminuje odpowiedzi A, C, D bez wzorów.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór redukcyjny\n\\(\\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\). Zatem:\n\\[\\sin 50^\\circ = \\sin(90^\\circ - 40^\\circ) = \\cos 40^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez tożsamość\nW trójkącie prostokątnym: jeśli jeden kąt ostry to \\(\\alpha\\), drugi to \\(90^\\circ - \\alpha\\). Sinus kąta ostrego = cosinus kąta dopełniającego.\nDla \\(\\alpha = 50^\\circ\\): dopełniający \\(= 40^\\circ\\), więc \\(\\sin 50^\\circ = \\cos 40^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sin 40^\\circ\\)** - \\(\\sin\\) jest rosnący na \\((0^\\circ, 90^\\circ)\\), więc \\(\\sin 50^\\circ \\ne \\sin 40^\\circ\\).\n- **C. \\(\\cos 50^\\circ\\)** - mylenie: \\(\\cos 50^\\circ = \\sin 40^\\circ \\ne \\sin 50^\\circ\\).\n- **D. \\(\\tan 50^\\circ\\)** - niezwiązane z sinusem.\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^\\circ - \\alpha)\\) dla \\(\\alpha \\in (0^\\circ, 90^\\circ)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej sin²α + cos²α = 1\n[kroki z MathJax]\n1. Wiemy, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\).\n2. Chcemy znaleźć wartość \\(m\\).\n3. Zastosujemy tożsamość trygonometryczną: \\(\\sin^2(50^\\circ) + \\cos^2(50^\\circ) = 1\\)\n4. Zatem: \\(m^2 + \\cos^2(50^\\circ) = 1\\)\n5. Przekształcamy: \\(m^2 = 1 - \\cos^2(50^\\circ)\\)\n6. Korzystając z tożsamości: \\(1 - \\cos^2(50^\\circ) = \\sin^2(50^\\circ)\\)\n7. Zatem: \\(m^2 = \\sin^2(50^\\circ)\\)\n8. Stąd: \\(m = \\sqrt{\\sin^2(50^\\circ)} = |\\sin(50^\\circ)|\\)\n9. Ponieważ \\(50^\\circ\\) jest kątem w pierwszej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, to \\(m = \\sin(50^\\circ)\\).\n10. W zadaniu podano, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\), więc \\(m = \\cos 40^\\circ\\) jest poprawne.\n11. Zatem \\(m = \\cos 40^\\circ\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11\n\n### Sposób 2: Użycie tożsamości trygonometrycznej sin(90° - x) = cos(x)\n[kroki z MathJax]\n1. Wiemy, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\).\n2. Zauważmy, że \\(90^\\circ - 50^\\circ = 40^\\circ\\).\n3. Zastosujemy tożsamość: \\(\\sin(90^\\circ - x) = \\cos(x)\\)\n4. Zatem: \\(\\sin(90^\\circ - 50^\\circ) = \\cos(50^\\circ)\\)\n5. Czyli: \\(m = \\cos(50^\\circ)\\).\n6. Zatem \\(m = \\cos 50^\\circ\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(m = \\sin 40\\)**: Nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystuje tożsamości trygonometrycznej i nie prowadzi do poprawnej wartości m.\n* **C. \\(m = \\cos 50\\)**: Prawidłowa, ale mniej intuicyjna niż metoda z tożsamością \\(\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1\\). Zatem, choć poprawna, to nie jest najprostsza.\n* **D. \\(m = \\tan 50\\)**: Nieprawidłowe, ponieważ tangens jest funkcją, która nie jest równa sinusowi. Nie ma bezpośredniego związku z podaną wartością sin(50°).\n\nMam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Jeśli<br>sin50<br>m =<br>° , to<br>A.<br>sin 40<br>m =<br>°<br>B.<br>cos40<br>m =<br>°<br>C.<br>cos50<br>m =<br>°<br>D.<br>tg50<br>m =<br>°<br>Jeśli m = sin50°, to A. m = sin40°, B. m = cos40°, C. m = cos50°, D. m = tg50°.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Trygonometria. Zdający stosuje proste</li></ol>\n<p>zależności między funkcjami<br>trygonometrycznymi: sin2α + cos2α = 1,<br>tg α = sin<br>cos<br>α<br>α<br>oraz sin(90° - α ) = cos α (6.4).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(m = \\sin 50° = \\cos 40°\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór redukcyjny (kąty dopełniające)</h4>\n<p>Kąty \\(50°\\) i \\(40°\\) są <strong>dopełniające</strong> - sumują się do \\(90°\\):<br>\\[50° + 40° = 90°\\]</p>\n<p>Z karty wzorów mamy wzór redukcyjny dla kątów dopełniających:<br>\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(\\alpha = 40°\\):<br>\\[\\sin(90° - 40°) = \\cos 40°\\]<br>\\[\\sin 50° = \\cos 40°\\]</p>\n<p>Skoro \\(m = \\sin 50°\\), to:<br>\\[\\boxed{m = \\cos 40°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - interpretacja jednostkowego okręgu / trójkąta prostokątnego</h4>\n<p>W trójkącie prostokątnym, jeśli jeden kąt ostry wynosi \\(\\alpha\\), to drugi wynosi \\(90° - \\alpha\\).</p>\n<p>Weźmy trójkąt prostokątny z kątami \\(40°\\), \\(50°\\) i \\(90°\\):</p>\n<ul><li>Sinus kąta = <strong>przeciwprostokątna do przyprostokątnej</strong>, przy kącie \\(50°\\):</li></ul>\n<p>\\[\\sin 50° = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } 50°}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]</p>\n<ul><li>Cosinus kąta \\(40°\\) = <strong>przyległa do przeciwprostokątnej</strong>, przy kącie \\(40°\\):</li></ul>\n<p>\\[\\cos 40° = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa do } 40°}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]</p>\n<p>Ale <strong>przyległa do kąta \\(40°\\)</strong> to dokładnie <strong>ta sama przyprostokątna</strong>, która leży <strong>naprzeciwko kąta \\(50°\\)</strong>!</p>\n<p>Stąd: \\(\\sin 50° = \\cos 40°\\), czyli \\(m = \\cos 40°\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 14)</strong> - wzory redukcyjne dla kątów dopełniających:<br>\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]<br>\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]</p>\n<p>Użyliśmy pierwszego wzoru, podstawiając \\(\\alpha = 40°\\), by zamienić \\(\\sin 50°\\) na \\(\\cos 40°\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(\\sin 50° \\neq \\sin 40°\\) - to różne wartości. Gdyby sinus był parzyście symetryczny względem \\(45°\\), byłoby to prawdziwe, ale tak nie jest. \\(\\sin 40° \\approx 0{,}643\\), \\(\\sin 50° \\approx 0{,}766\\). |<br>| C | \\(\\cos 50° = \\sin 40° \\approx 0{,}643 \\neq \\sin 50° \\approx 0{,}766\\). To odwrotny wzór redukcyjny - \\(\\cos 50° = \\sin 40°\\), nie \\(\\sin 50°\\). |<br>| D | \\(\\operatorname{tg} 50° \\approx 1{,}19 \\neq 0{,}766 = \\sin 50°\\). Tangens i sinus to zupełnie różne funkcje - tylko dla \\(0°\\) obie wynoszą \\(0\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\) działa w <strong>obie strony</strong> - łatwo pomylić, który kąt odejmujemy od \\(90°\\). Zapamiętaj: kąty w nawiasach <strong>sumują się do \\(90°\\)</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\(\\cos 40°\\) z \\(\\cos 50°\\)! Odpowiedź C jest specjalnie skonstruowana, by złapać ucznia, który zapomni który kąt wychodzi po odjęciu od \\(90°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wartości liczbowe warto znać orientacyjnie: \\(\\sin 30° = 0{,}5\\), \\(\\sin 45° \\approx 0{,}707\\), \\(\\sin 60° \\approx 0{,}866\\). Szybka weryfikacja liczb eliminuje odpowiedzi A, C, D bez wzorów.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór redukcyjny</h5>\n<p>\\(\\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\). Zatem:<br>\\[\\sin 50^\\circ = \\sin(90^\\circ - 40^\\circ) = \\cos 40^\\circ.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez tożsamość</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym: jeśli jeden kąt ostry to \\(\\alpha\\), drugi to \\(90^\\circ - \\alpha\\). Sinus kąta ostrego = cosinus kąta dopełniającego.<br>Dla \\(\\alpha = 50^\\circ\\): dopełniający \\(= 40^\\circ\\), więc \\(\\sin 50^\\circ = \\cos 40^\\circ\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\sin 40^\\circ\\)</strong> - \\(\\sin\\) jest rosnący na \\((0^\\circ, 90^\\circ)\\), więc \\(\\sin 50^\\circ \\ne \\sin 40^\\circ\\).</li><li><strong>C. \\(\\cos 50^\\circ\\)</strong> - mylenie: \\(\\cos 50^\\circ = \\sin 40^\\circ \\ne \\sin 50^\\circ\\).</li><li><strong>D. \\(\\tan 50^\\circ\\)</strong> - niezwiązane z sinusem.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^\\circ - \\alpha)\\) dla \\(\\alpha \\in (0^\\circ, 90^\\circ)\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej sin²α + cos²α = 1</h5>\n<p>[kroki z MathJax]</p>\n<ol><li>Wiemy, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\).</li><li>Chcemy znaleźć wartość \\(m\\).</li><li>Zastosujemy tożsamość trygonometryczną: \\(\\sin^2(50^\\circ) + \\cos^2(50^\\circ) = 1\\)</li><li>Zatem: \\(m^2 + \\cos^2(50^\\circ) = 1\\)</li><li>Przekształcamy: \\(m^2 = 1 - \\cos^2(50^\\circ)\\)</li><li>Korzystając z tożsamości: \\(1 - \\cos^2(50^\\circ) = \\sin^2(50^\\circ)\\)</li><li>Zatem: \\(m^2 = \\sin^2(50^\\circ)\\)</li><li>Stąd: \\(m = \\sqrt{\\sin^2(50^\\circ)} = |\\sin(50^\\circ)|\\)</li><li>Ponieważ \\(50^\\circ\\) jest kątem w pierwszej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, to \\(m = \\sin(50^\\circ)\\).</li><li>W zadaniu podano, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\), więc \\(m = \\cos 40^\\circ\\) jest poprawne.</li><li>Zatem \\(m = \\cos 40^\\circ\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie tożsamości trygonometrycznej sin(90° - x) = cos(x)</h5>\n<p>[kroki z MathJax]</p>\n<ol><li>Wiemy, że \\(m = \\sin 50^\\circ\\).</li><li>Zauważmy, że \\(90^\\circ - 50^\\circ = 40^\\circ\\).</li><li>Zastosujemy tożsamość: \\(\\sin(90^\\circ - x) = \\cos(x)\\)</li><li>Zatem: \\(\\sin(90^\\circ - 50^\\circ) = \\cos(50^\\circ)\\)</li><li>Czyli: \\(m = \\cos(50^\\circ)\\).</li><li>Zatem \\(m = \\cos 50^\\circ\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m = \\sin 40\\)</strong>: Nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystuje tożsamości trygonometrycznej i nie prowadzi do poprawnej wartości m.</li><li><strong>C. \\(m = \\cos 50\\)</strong>: Prawidłowa, ale mniej intuicyjna niż metoda z tożsamością \\(\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1\\). Zatem, choć poprawna, to nie jest najprostsza.</li><li><strong>D. \\(m = \\tan 50\\)</strong>: Nieprawidłowe, ponieważ tangens jest funkcją, która nie jest równa sinusowi. Nie ma bezpośredniego związku z podaną wartością sin(50°).</li></ul>\n<p>Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe.</p>"}]}