{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nNa okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą\ntego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę\nA. 116°\nB. 114°\nC. 112°\nD. 110°\nA\nC\nα\nO\nB\n56°\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę A. 116°, B. 114°, C. 112°, D. 110°.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje zależności\nmiędzy kątem środkowym i kątem wpisanym\n(7.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(112^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt równoramienny z promieniami\n\n**Co wiemy:** \\(O\\) to środek okręgu, więc \\(|OA| = |OC|\\) (oba odcinki są promieniami). Trójkąt \\(AOC\\) jest **równoramienny**.\n\nW trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, więc:\n\\[\\angle OAC = \\angle OCA = 56^\\circ\\]\n\nSuma kątów w trójkącie \\(AOC\\):\n\\[\\angle AOC = 180^\\circ - 56^\\circ - 56^\\circ = 68^\\circ\\]\n\nPonieważ \\(AB\\) jest średnicą, punkty \\(A\\), \\(O\\), \\(B\\) leżą na jednej prostej, czyli:\n\\[\\angle AOC + \\alpha = 180^\\circ\\]\n\\[\\alpha = 180^\\circ - 68^\\circ = \\mathbf{112^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy i wpisany\n\nKąt środkowy \\(\\angle AOC = 68^\\circ\\) oparty na łuku \\(AC\\).\n\nKąt wpisany oparty na tym samym łuku \\(AC\\) wynosiłby \\(34^\\circ\\) (połowę kąta środkowego).\n\nŁuk \\(CB\\) jest dopełnieniem łuku \\(CA\\) do półokręgu (bo \\(AB\\) to średnica), więc łuk \\(CB\\) odpowiada kątowi środkowemu:\n\\[\\alpha = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\alpha = 112^\\circ\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - właściwość trójkąta równoramiennego:\n\n> Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.\n\nUżyte przy wniosku \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 56^\\circ\\), ponieważ \\(|OA| = |OC|\\) (oba promienie).\n\nOraz ogólna zasada: **suma kątów trójkąta = \\(180^\\circ\\)** - użyta do wyznaczenia \\(\\angle AOC\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((116^\\circ)\\) | Uczeń liczy \\(180^\\circ - 64^\\circ\\), biorąc tylko jeden kąt 56° w trójkącie i zapominając, że trójkąt jest równoramienny - \\(\\angle AOC = 180° - 56° = 124°\\), potem \\(180° - 124° = 56°\\) lub myli kąty |\n| B \\((114^\\circ)\\) | Błędnie wyznacza \\(\\angle AOC = 66^\\circ\\), np. przyjmując że jeden z kątów to \\(58^\\circ\\) |\n| D \\((110^\\circ)\\) | Bierze \\(\\angle AOC = 70^\\circ\\), np. przez błąd \\(180° - 2 \\cdot 55° = 70°\\) (pomyłka o \\(1°\\)) lub liczy \\(\\alpha = 2 \\cdot 56° - 2° = 110°\\) bez uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie, że \\(|OA| = |OC|\\) - bo oba to **promienie** tego samego okręgu. Bez tego nie można stwierdzić, że trójkąt \\(AOC\\) jest równoramienny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) to kąt środkowy \\(\\angle COB\\), **nie** \\(\\angle COA\\). Warto uważnie przeczytać, który kąt jest zaznaczony na rysunku - tu \\(\\alpha\\) leży po stronie \\(B\\), między \\(C\\) i \\(B\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To, że \\(A\\), \\(O\\), \\(B\\) leżą w jednej linii (bo \\(AB\\) to średnica), daje nam \\(\\angle AOC + \\angle COB = 180°\\). Ten prosty fakt jest kluczem do zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OBC\nW trójkącie \\(OBC\\): \\(|OB| = |OC| = R\\) (promienie), więc jest to trójkąt równoramienny. Kąty przy podstawie równe:\n\\[\\angle OBC = \\angle OCB.\\]\n\nZ rysunku kąt \\(\\angle ACO = ?\\) lub podobny w kąta 56°. Przyjmując że \\(\\angle OCB = 56^\\circ\\) w trójkącie równoramiennym \\(OCB\\):\n\\[\\angle BOC = 180^\\circ - 2\\cdot 56^\\circ = 68^\\circ.\\]\n\nPonieważ \\(AB\\) jest średnicą, kąty \\(\\angle AOC\\) i \\(\\angle BOC\\) są kątami przyległymi na prostej (wierzchołek \\(O\\)): \\(\\angle AOC + \\angle BOC = 180^\\circ\\).\n\\[\\alpha = \\angle AOC = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Dedukcja przez kąt wpisany w półokręgu\n\\(AB\\) jest średnicą → kąt \\(\\angle ACB = 90^\\circ\\) (Talesa). Zatem kąty \\(\\angle ACO + \\angle OCB = 90^\\circ\\). Jeśli \\(\\angle OCB = 56^\\circ\\), to \\(\\angle ACO = 34^\\circ\\). W trójkącie \\(OCA\\) (równoramiennym, \\(OA=OC=R\\)): \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 34^\\circ\\), więc \\(\\alpha = \\angle AOC = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(116^\\circ\\), B. \\(114^\\circ\\), D. \\(110^\\circ\\)** - błędy rachunkowe przy odejmowaniu od \\(180^\\circ\\) lub mylne użycie wzoru.\n\n**Kluczowe:** promienie okręgu = równe boki → trójkąty równoramienne → symetryczne kąty przy podstawie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Korzystanie z kąta wpisanego i kąta środkowego\n\nKąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym okręgu. Zatem, kąt środkowy \\(\\alpha\\) jest dwa razy większy od kąta wpisanego, który opiera się na tym samym łuku.\n\n1. **Zauważenie kąta wpisanego:** Kąt 56° jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AC.\n2. **Związek między kątami:** Kąt środkowy \\(\\alpha\\) = 2 * Kąt wpisany = 2 * 56° = 112°\n3. **Wzór:** \\[ \\] (s.15)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie własności kątów przyległych\n\nKąt środkowy \\(\\alpha\\) i kąt przyległy do niego (który jest na przykład kąt między AB a przedłużeniem AB) sumują się do 180° (ponieważ są przyległe). Kąt wpisany 56° jest połową tego kąta przyległego.\n\n1. **Zauważenie kąta przyległego:** Kąt przyległy do \\(\\alpha\\) to kąt, który tworzy się, gdy przedłużamy AB.\n2. **Wyznaczenie kąta przyległego:** \\(\\alpha + \\beta = 180^\\circ\\) gdzie \\(\\beta\\) to kąt przyległy do \\(\\alpha\\). Zatem, \\(\\beta = 180^\\circ - \\alpha\\).\n3. **Kąt wpisany:** Kąt wpisany 56° jest połową kąta przyległego do \\(\\alpha\\), więc 56° = (1/2) * \\(\\beta\\), czyli \\(\\beta = 2 * 56^\\circ = 112^\\circ\\).\n4. **Wtedy:** \\(\\alpha = 180^\\circ - \\beta = 180^\\circ - 112^\\circ = 68^\\circ\\). To jest błędne, więc musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 116°:** Jest to błędne, ponieważ kąt środkowy nie może być większy niż 180°.\n* **B. 114°:** Jest to również błędne, ponieważ nie spełnia warunków zadania.\n* **D. 110°:** Jest to błędne, ponieważ nie prowadzi do poprawnej odpowiedzi.\n\nKluczowe jest zrozumienie, że kąt wpisany jest połową kąta środkowego opisanego na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą<br>tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę<br>A. 116°<br>B. 114°<br>C. 112°<br>D. 110°<br>A<br>C<br>α<br>O<br>B<br>56°</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę A. 116°, B. 114°, C. 112°, D. 110°.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający stosuje zależności</li></ol>\n<p>między kątem środkowym i kątem wpisanym<br>(7.1).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(112^\\circ\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Trójkąt równoramienny z promieniami</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong> \\(O\\) to środek okręgu, więc \\(|OA| = |OC|\\) (oba odcinki są promieniami). Trójkąt \\(AOC\\) jest <strong>równoramienny</strong>.</p>\n<p>W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, więc:<br>\\[\\angle OAC = \\angle OCA = 56^\\circ\\]</p>\n<p>Suma kątów w trójkącie \\(AOC\\):<br>\\[\\angle AOC = 180^\\circ - 56^\\circ - 56^\\circ = 68^\\circ\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(AB\\) jest średnicą, punkty \\(A\\), \\(O\\), \\(B\\) leżą na jednej prostej, czyli:<br>\\[\\angle AOC + \\alpha = 180^\\circ\\]<br>\\[\\alpha = 180^\\circ - 68^\\circ = \\mathbf{112^\\circ}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez kąt środkowy i wpisany</h4>\n<p>Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 68^\\circ\\) oparty na łuku \\(AC\\).</p>\n<p>Kąt wpisany oparty na tym samym łuku \\(AC\\) wynosiłby \\(34^\\circ\\) (połowę kąta środkowego).</p>\n<p>Łuk \\(CB\\) jest dopełnieniem łuku \\(CA\\) do półokręgu (bo \\(AB\\) to średnica), więc łuk \\(CB\\) odpowiada kątowi środkowemu:<br>\\[\\alpha = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>\\(\\alpha = 112^\\circ\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - właściwość trójkąta równoramiennego:</p>\n<blockquote>Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.</blockquote>\n<p>Użyte przy wniosku \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 56^\\circ\\), ponieważ \\(|OA| = |OC|\\) (oba promienie).</p>\n<p>Oraz ogólna zasada: <strong>suma kątów trójkąta = \\(180^\\circ\\)</strong> - użyta do wyznaczenia \\(\\angle AOC\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((116^\\circ)\\) | Uczeń liczy \\(180^\\circ - 64^\\circ\\), biorąc tylko jeden kąt 56° w trójkącie i zapominając, że trójkąt jest równoramienny - \\(\\angle AOC = 180° - 56° = 124°\\), potem \\(180° - 124° = 56°\\) lub myli kąty |<br>| B \\((114^\\circ)\\) | Błędnie wyznacza \\(\\angle AOC = 66^\\circ\\), np. przyjmując że jeden z kątów to \\(58^\\circ\\) |<br>| D \\((110^\\circ)\\) | Bierze \\(\\angle AOC = 70^\\circ\\), np. przez błąd \\(180° - 2 \\cdot 55° = 70°\\) (pomyłka o \\(1°\\)) lub liczy \\(\\alpha = 2 \\cdot 56° - 2° = 110°\\) bez uzasadnienia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pominięcie, że \\(|OA| = |OC|\\) - bo oba to <strong>promienie</strong> tego samego okręgu. Bez tego nie można stwierdzić, że trójkąt \\(AOC\\) jest równoramienny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(\\alpha\\) to kąt środkowy \\(\\angle COB\\), <strong>nie</strong> \\(\\angle COA\\). Warto uważnie przeczytać, który kąt jest zaznaczony na rysunku - tu \\(\\alpha\\) leży po stronie \\(B\\), między \\(C\\) i \\(B\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> To, że \\(A\\), \\(O\\), \\(B\\) leżą w jednej linii (bo \\(AB\\) to średnica), daje nam \\(\\angle AOC + \\angle COB = 180°\\). Ten prosty fakt jest kluczem do zadania.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OBC</h5>\n<p>W trójkącie \\(OBC\\): \\(|OB| = |OC| = R\\) (promienie), więc jest to trójkąt równoramienny. Kąty przy podstawie równe:<br>\\[\\angle OBC = \\angle OCB.\\]</p>\n<p>Z rysunku kąt \\(\\angle ACO = ?\\) lub podobny w kąta 56°. Przyjmując że \\(\\angle OCB = 56^\\circ\\) w trójkącie równoramiennym \\(OCB\\):<br>\\[\\angle BOC = 180^\\circ - 2\\cdot 56^\\circ = 68^\\circ.\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(AB\\) jest średnicą, kąty \\(\\angle AOC\\) i \\(\\angle BOC\\) są kątami przyległymi na prostej (wierzchołek \\(O\\)): \\(\\angle AOC + \\angle BOC = 180^\\circ\\).<br>\\[\\alpha = \\angle AOC = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Dedukcja przez kąt wpisany w półokręgu</h5>\n<p>\\(AB\\) jest średnicą → kąt \\(\\angle ACB = 90^\\circ\\) (Talesa). Zatem kąty \\(\\angle ACO + \\angle OCB = 90^\\circ\\). Jeśli \\(\\angle OCB = 56^\\circ\\), to \\(\\angle ACO = 34^\\circ\\). W trójkącie \\(OCA\\) (równoramiennym, \\(OA=OC=R\\)): \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 34^\\circ\\), więc \\(\\alpha = \\angle AOC = 180^\\circ - 68^\\circ = 112^\\circ\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(116^\\circ\\), B. \\(114^\\circ\\), D. \\(110^\\circ\\)</strong> - błędy rachunkowe przy odejmowaniu od \\(180^\\circ\\) lub mylne użycie wzoru.</li></ul>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> promienie okręgu = równe boki → trójkąty równoramienne → symetryczne kąty przy podstawie.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Korzystanie z kąta wpisanego i kąta środkowego</h5>\n<p>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym okręgu. Zatem, kąt środkowy \\(\\alpha\\) jest dwa razy większy od kąta wpisanego, który opiera się na tym samym łuku.</p>\n<ol><li><strong>Zauważenie kąta wpisanego:</strong> Kąt 56° jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AC.</li><li><strong>Związek między kątami:</strong> Kąt środkowy \\(\\alpha\\) = 2 * Kąt wpisany = 2 * 56° = 112°</li><li><strong>Wzór:</strong> \\[ \\] (s.15)</li></ol>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie własności kątów przyległych</h5>\n<p>Kąt środkowy \\(\\alpha\\) i kąt przyległy do niego (który jest na przykład kąt między AB a przedłużeniem AB) sumują się do 180° (ponieważ są przyległe). Kąt wpisany 56° jest połową tego kąta przyległego.</p>\n<ol><li><strong>Zauważenie kąta przyległego:</strong> Kąt przyległy do \\(\\alpha\\) to kąt, który tworzy się, gdy przedłużamy AB.</li><li><strong>Wyznaczenie kąta przyległego:</strong> \\(\\alpha + \\beta = 180^\\circ\\) gdzie \\(\\beta\\) to kąt przyległy do \\(\\alpha\\). Zatem, \\(\\beta = 180^\\circ - \\alpha\\).</li><li><strong>Kąt wpisany:</strong> Kąt wpisany 56° jest połową kąta przyległego do \\(\\alpha\\), więc 56° = (1/2) * \\(\\beta\\), czyli \\(\\beta = 2 * 56^\\circ = 112^\\circ\\).</li><li><strong>Wtedy:</strong> \\(\\alpha = 180^\\circ - \\beta = 180^\\circ - 112^\\circ = 68^\\circ\\). To jest błędne, więc musimy wrócić do pierwszego sposobu.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15, strona 15</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 116°:</strong> Jest to błędne, ponieważ kąt środkowy nie może być większy niż 180°.</li><li><strong>B. 114°:</strong> Jest to również błędne, ponieważ nie spełnia warunków zadania.</li><li><strong>D. 110°:</strong> Jest to błędne, ponieważ nie prowadzi do poprawnej odpowiedzi.</li></ul>\n<p>Kluczowe jest zrozumienie, że kąt wpisany jest połową kąta środkowego opisanego na tym samym łuku.</p>"}]}