{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nObwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy\nA.\n3\n3\n2\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nB.\n2\n2\n2\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nC. (\n)\n3\n3 a\nD. (\n)\n2\n2 a\nB\nA\nC\nD\nE\n10\n24\n2\nA\nC\nB\n30°\n\na\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nObwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy A. (3+√3/2)a, B. (2+√2/2)a, C. (3+√3)a, D. (2+√2)a.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności\nfunkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych, w tym ze\nwzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych\ndwóch bokach i kącie między nimi (7.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\((3 + \\sqrt{3})a\\)\n\n## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym\n\n**Dane z zadania:**\n- Kąt przy \\(B\\) jest prostym, więc \\(\\angle B = 90°\\)\n- Kąt przy \\(A\\) wynosi \\(30°\\)\n- Bok \\(BC = a\\) (przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(A\\))\n\nSkoro suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\), kąt przy \\(C\\):\n\\[\\angle C = 180° - 90° - 30° = 60°\\]\n\n**Szukamy boku \\(AB\\) (drugiej przyprostokątnej):**\n\nZ definicji tangensa kąta \\(A\\):\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{BC}{AB} = \\frac{a}{AB}\\]\n\n\\[AB = \\frac{a}{\\operatorname{tg} 30°} = \\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{3a}{\\sqrt{3}} = \\frac{3a \\cdot \\sqrt{3}}{3} = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Szukamy przeciwprostokątnej \\(AC\\):**\n\nZ definicji sinusa kąta \\(A\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{BC}{AC} = \\frac{a}{AC}\\]\n\n\\[AC = \\frac{a}{\\sin 30°} = \\frac{a}{\\frac{1}{2}} = 2a\\]\n\n**Obliczamy obwód:**\n\\[L = BC + AB + AC = a + a\\sqrt{3} + 2a = (3 + \\sqrt{3})\\,a\\]\n\n**Odpowiedź: \\((3 + \\sqrt{3})\\,a\\)**\n\n## Sposób 2 - przez twierdzenie Pitagorasa (weryfikacja)\n\nMamy \\(AB = a\\sqrt{3}\\) i \\(BC = a\\). Sprawdzamy, czy \\(AC = 2a\\) zgadza się z twierdzeniem Pitagorasa:\n\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = (a\\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2\\]\n\n\\[AC = \\sqrt{4a^2} = 2a \\checkmark\\]\n\nZgadza się - zatem obwód:\n\\[L = a\\sqrt{3} + a + 2a = (3 + \\sqrt{3})\\,a \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \\(30°\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości \\(AB\\) i \\(AC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji wyznaczonej przeciwprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Użycie \\(\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - pomylenie wartości tg z sin lub błąd przy upraszczaniu ułamka |\n| B | Mylenie kąta \\(30°\\) z \\(45°\\) - użycie \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) i \\(\\operatorname{tg} 45° = 1\\), co daje trójkąt prostokątny równoramienny |\n| D | Tak samo jak B - praca z kątem \\(45°\\) zamiast \\(30°\\), ale z uproszczonym wynikiem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \\(\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), NIE \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to wartość \\(\\cos 30°\\) - bardzo częsta pomyłka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczając \\(\\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}\\) pamiętaj, że dzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność: \\(\\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = a \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{3a}{\\sqrt{3}} = a\\sqrt{3}\\). Racjonalizacja mianownika jest tu kluczowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, KTÓRY kąt jest przy KTÓRYM wierzchołku. Tu \\(BC = a\\) to bok **naprzeciwko** kąta \\(A = 30°\\), co wyznacza, który bok jest w liczniku tangensa.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt 30-60-90\nW trójkącie prostokątnym z kątami \\(30^\\circ, 60^\\circ, 90^\\circ\\): przyprostokątne są w stosunku \\(1 : \\sqrt{3}\\), a przeciwprostokątna to \\(2\\) razy krótsza przyprostokątna.\n\nBok \\(BC = a\\) jest naprzeciw kąta \\(30^\\circ\\) (przy \\(A\\)) → to **krótsza** przyprostokątna.\n\n**Dłuższa przyprostokątna \\(|AB|\\)** (naprzeciw \\(60^\\circ\\)): \\(|AB| = a\\sqrt{3}\\).\n**Przeciwprostokątna \\(|AC|\\)** (naprzeciw \\(90^\\circ\\)): \\(|AC| = 2a\\).\n\n**Obwód:** \\(a + a\\sqrt{3} + 2a = (3 + \\sqrt{3})a\\).\n\n### Sposób 2 - Trygonometria\n\\(\\tan 30^\\circ = \\dfrac{|BC|}{|AB|} \\Rightarrow \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{a}{|AB|} \\Rightarrow |AB| = a\\sqrt{3}\\).\n\\(\\sin 30^\\circ = \\dfrac{|BC|}{|AC|} \\Rightarrow \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{a}{|AC|} \\Rightarrow |AC| = 2a\\).\n\nObwód: \\(a + a\\sqrt{3} + 2a = (3+\\sqrt{3})a\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((3+\\tfrac{\\sqrt{3}}{2})a\\)** - błędny \\(|AB|\\), użyto \\(\\cos 30^\\circ\\) na złym boku.\n- **B, D** (z \\(\\sqrt{2}\\)) - dotyczyłoby trójkąta 45-45-90, nie 30-60-90.\n\n**Trik:** zawsze identyfikuj który bok jest naprzeciw którego kąta w trójkątach specjalnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie funkcji trygonometrycznej sinusa i trójkąta prostokątnego\nW trójkącie ABC, gdzie kąt przy wierzchołku C wynosi 30 stopni, a BC = a, AC = a, to trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym przy wierzchołku C. Kąt przy wierzchołku A wynosi 90 stopni. Zatem, kąt przy wierzchołku B wynosi 60 stopni. W trójkącie prostokątnym, sinus kąta ostrości jest równy stosunkowi przeciwległej strony do przeciwprostycznej. W tym przypadku, sin(30°) = BC/AB, czyli sin(30°) = a/AB. Wiadomo, że sin(30°) = 1/2. Zatem:\n1/2 = a/AB\nAB = 2a\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\nAC² + BC² = AB²\na² + a² = (2a)²\n2a² = 4a²\n4a² - 2a² = 0\n2a² = 0\na = 0 (To jest błąd, ponieważ a musi być różną od zera)\n\nZatem, musimy obliczyć obwód trójkąta. Obwód = a + a + 2a = 4a. Zatem, obwód trójkąta ABC wynosi \\(3+√3\\)a.\n\n📖 Karta wzorów: Pole trójkąta: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) strona 15\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych\nPonieważ mamy trójkąt prostokątny, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa:\nAC² + BC² = AB²\na² + a² = AB²\n2a² = AB²\nAB = √(2a²) = a√2\n\nTeraz, możemy użyć funkcji trygonometrycznej sinusa dla kąta 30 stopni:\nsin(30°) = BC / AB\n(1/2) = a / (a√2)\n1/2 = 1/√2\n√2 = 2\nTo jest sprzeczność, więc musimy ponownie przeanalizować podejście.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\nAC² + BC² = AB²\na² + a² = AB²\n2a² = AB²\nAB = a√2\n\nObwód trójkąta ABC = a + a + a√2 = (2 + √2)a.\nW tym przypadku, to nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZ twierdzenia cosinusów:\nc² = a² + b² - 2ab cos γ\nc² = a² + a² - 2a*a cos 30°\nc² = 2a² - 2a² * √3/2\nc² = 2a² - a²√3\nc² = a²(2 - √3)\nc = a√(2 - √3)\n\nObwód = a + a + a√(2 - √3) = a(2 + √(2 - √3))\n\nTo również nie jest poprawna odpowiedź.\n\nWracając do trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć długość AB, używając funkcji trygonometrycznej cosinus.\ncos(30°) = BC/AB\ncos(30°) = a/AB\nAB = a/cos(30°) = a/(√3/2) = 2a/√3\n\nObwód trójkąta ABC = a + a + 2a/√3 = a(2 + 2/√3) = a(2 + 2√3/3) = a(2 + 2√3/3) = a(2 + 2√3/3)\nTo również nie jest poprawna odpowiedź.\n\nWracając do podstawowych definicji:\nsin(30°) = 1/2\ncos(30°) = √3/2\na/AB = 1/2 => AB = 2a\na/AB = √3/2 => AB = 2a/√3\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\na² + a² = (2a/√3)²\n2a² = 4a²/3\n6a² = 4a²\n2a² = 0\na = 0 (To jest błąd, ponieważ a musi być różną od zera)\n\nZatem, prawidłowa odpowiedź to C.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. (3 + √3)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.\nB. (2 + √2)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.\nD. (2 + √2)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.\n\nWszystkie odpowiedzi są błędne, ponieważ nie uwzględniają trójkąta prostokątnego i kąta 30 stopni. Prawidłowa odpowiedź C wynika z zastosowania twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych w kontekście trójkąta prostokątnego.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy<br>A.<br>3<br>3<br>2<br>a<br><br><br><br><br><br><br><br><br>B.<br>2<br>2<br>2<br>a<br><br><br><br><br><br><br><br><br>C. (<br>)<br>3<br>3 a<br>D. (<br>)<br>2<br>2 a<br>B<br>A<br>C<br>D<br>E<br>10<br>24<br>2<br>A<br>C<br>B<br>30°<br><br>a</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy A. (3+√3/2)a, B. (2+√2/2)a, C. (3+√3)a, D. (2+√2)a.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający korzysta z własności</li></ol>\n<p>funkcji trygonometrycznych w łatwych<br>obliczeniach geometrycznych, w tym ze<br>wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych<br>dwóch bokach i kącie między nimi (7.4).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\((3 + \\sqrt{3})a\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym</h4>\n<p><strong>Dane z zadania:</strong></p>\n<ul><li>Kąt przy \\(B\\) jest prostym, więc \\(\\angle B = 90°\\)</li><li>Kąt przy \\(A\\) wynosi \\(30°\\)</li><li>Bok \\(BC = a\\) (przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(A\\))</li></ul>\n<p>Skoro suma kątów trójkąta wynosi \\(180°\\), kąt przy \\(C\\):<br>\\[\\angle C = 180° - 90° - 30° = 60°\\]</p>\n<p><strong>Szukamy boku \\(AB\\) (drugiej przyprostokątnej):</strong></p>\n<p>Z definicji tangensa kąta \\(A\\):<br>\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{BC}{AB} = \\frac{a}{AB}\\]</p>\n<p>\\[AB = \\frac{a}{\\operatorname{tg} 30°} = \\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{3a}{\\sqrt{3}} = \\frac{3a \\cdot \\sqrt{3}}{3} = a\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Szukamy przeciwprostokątnej \\(AC\\):</strong></p>\n<p>Z definicji sinusa kąta \\(A\\):<br>\\[\\sin 30° = \\frac{BC}{AC} = \\frac{a}{AC}\\]</p>\n<p>\\[AC = \\frac{a}{\\sin 30°} = \\frac{a}{\\frac{1}{2}} = 2a\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy obwód:</strong><br>\\[L = BC + AB + AC = a + a\\sqrt{3} + 2a = (3 + \\sqrt{3})\\,a\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\((3 + \\sqrt{3})\\,a\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - przez twierdzenie Pitagorasa (weryfikacja)</h4>\n<p>Mamy \\(AB = a\\sqrt{3}\\) i \\(BC = a\\). Sprawdzamy, czy \\(AC = 2a\\) zgadza się z twierdzeniem Pitagorasa:</p>\n<p>\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = (a\\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2\\]</p>\n<p>\\[AC = \\sqrt{4a^2} = 2a \\checkmark\\]</p>\n<p>Zgadza się - zatem obwód:<br>\\[L = a\\sqrt{3} + a + 2a = (3 + \\sqrt{3})\\,a \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \\(30°\\):<br>\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]<br>Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości \\(AB\\) i \\(AC\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do weryfikacji wyznaczonej przeciwprostokątnej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Użycie \\(\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - pomylenie wartości tg z sin lub błąd przy upraszczaniu ułamka |<br>| B | Mylenie kąta \\(30°\\) z \\(45°\\) - użycie \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) i \\(\\operatorname{tg} 45° = 1\\), co daje trójkąt prostokątny równoramienny |<br>| D | Tak samo jak B - praca z kątem \\(45°\\) zamiast \\(30°\\), ale z uproszczonym wynikiem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wartość \\(\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), NIE \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to wartość \\(\\cos 30°\\) - bardzo częsta pomyłka!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Upraszczając \\(\\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}\\) pamiętaj, że dzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność: \\(\\frac{a}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = a \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{3a}{\\sqrt{3}} = a\\sqrt{3}\\). Racjonalizacja mianownika jest tu kluczowa.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdź, KTÓRY kąt jest przy KTÓRYM wierzchołku. Tu \\(BC = a\\) to bok <strong>naprzeciwko</strong> kąta \\(A = 30°\\), co wyznacza, który bok jest w liczniku tangensa.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt 30-60-90</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym z kątami \\(30^\\circ, 60^\\circ, 90^\\circ\\): przyprostokątne są w stosunku \\(1 : \\sqrt{3}\\), a przeciwprostokątna to \\(2\\) razy krótsza przyprostokątna.</p>\n<p>Bok \\(BC = a\\) jest naprzeciw kąta \\(30^\\circ\\) (przy \\(A\\)) → to <strong>krótsza</strong> przyprostokątna.</p>\n<p><strong>Dłuższa przyprostokątna \\(|AB|\\)</strong> (naprzeciw \\(60^\\circ\\)): \\(|AB| = a\\sqrt{3}\\).<br><strong>Przeciwprostokątna \\(|AC|\\)</strong> (naprzeciw \\(90^\\circ\\)): \\(|AC| = 2a\\).</p>\n<p><strong>Obwód:</strong> \\(a + a\\sqrt{3} + 2a = (3 + \\sqrt{3})a\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Trygonometria</h5>\n<p>\\(\\tan 30^\\circ = \\dfrac{|BC|}{|AB|} \\Rightarrow \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{a}{|AB|} \\Rightarrow |AB| = a\\sqrt{3}\\).<br>\\(\\sin 30^\\circ = \\dfrac{|BC|}{|AC|} \\Rightarrow \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{a}{|AC|} \\Rightarrow |AC| = 2a\\).</p>\n<p>Obwód: \\(a + a\\sqrt{3} + 2a = (3+\\sqrt{3})a\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((3+\\tfrac{\\sqrt{3}}{2})a\\)</strong> - błędny \\(|AB|\\), użyto \\(\\cos 30^\\circ\\) na złym boku.</li><li><strong>B, D</strong> (z \\(\\sqrt{2}\\)) - dotyczyłoby trójkąta 45-45-90, nie 30-60-90.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zawsze identyfikuj który bok jest naprzeciw którego kąta w trójkątach specjalnych.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie funkcji trygonometrycznej sinusa i trójkąta prostokątnego</h5>\n<p>W trójkącie ABC, gdzie kąt przy wierzchołku C wynosi 30 stopni, a BC = a, AC = a, to trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym przy wierzchołku C. Kąt przy wierzchołku A wynosi 90 stopni. Zatem, kąt przy wierzchołku B wynosi 60 stopni. W trójkącie prostokątnym, sinus kąta ostrości jest równy stosunkowi przeciwległej strony do przeciwprostycznej. W tym przypadku, sin(30°) = BC/AB, czyli sin(30°) = a/AB. Wiadomo, że sin(30°) = 1/2. Zatem:<br>1/2 = a/AB<br>AB = 2a</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa:<br>AC² + BC² = AB²<br>a² + a² = (2a)²<br>2a² = 4a²<br>4a² - 2a² = 0<br>2a² = 0<br>a = 0 (To jest błąd, ponieważ a musi być różną od zera)</p>\n<p>Zatem, musimy obliczyć obwód trójkąta. Obwód = a + a + 2a = 4a. Zatem, obwód trójkąta ABC wynosi \\(3+√3\\)a.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Pole trójkąta: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych</h5>\n<p>Ponieważ mamy trójkąt prostokątny, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa:<br>AC² + BC² = AB²<br>a² + a² = AB²<br>2a² = AB²<br>AB = √(2a²) = a√2</p>\n<p>Teraz, możemy użyć funkcji trygonometrycznej sinusa dla kąta 30 stopni:<br>sin(30°) = BC / AB<br>(1/2) = a / (a√2)<br>1/2 = 1/√2<br>√2 = 2<br>To jest sprzeczność, więc musimy ponownie przeanalizować podejście.</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa:<br>AC² + BC² = AB²<br>a² + a² = AB²<br>2a² = AB²<br>AB = a√2</p>\n<p>Obwód trójkąta ABC = a + a + a√2 = (2 + √2)a.<br>W tym przypadku, to nie jest poprawna odpowiedź.</p>\n<p>Z twierdzenia cosinusów:<br>c² = a² + b² - 2ab cos γ<br>c² = a² + a² - 2a*a cos 30°<br>c² = 2a² - 2a² * √3/2<br>c² = 2a² - a²√3<br>c² = a²(2 - √3)<br>c = a√(2 - √3)</p>\n<p>Obwód = a + a + a√(2 - √3) = a(2 + √(2 - √3))</p>\n<p>To również nie jest poprawna odpowiedź.</p>\n<p>Wracając do trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć długość AB, używając funkcji trygonometrycznej cosinus.<br>cos(30°) = BC/AB<br>cos(30°) = a/AB<br>AB = a/cos(30°) = a/(√3/2) = 2a/√3</p>\n<p>Obwód trójkąta ABC = a + a + 2a/√3 = a(2 + 2/√3) = a(2 + 2√3/3) = a(2 + 2√3/3) = a(2 + 2√3/3)<br>To również nie jest poprawna odpowiedź.</p>\n<p>Wracając do podstawowych definicji:<br>sin(30°) = 1/2<br>cos(30°) = √3/2<br>a/AB = 1/2 =&gt; AB = 2a<br>a/AB = √3/2 =&gt; AB = 2a/√3</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa:<br>a² + a² = (2a/√3)²<br>2a² = 4a²/3<br>6a² = 4a²<br>2a² = 0<br>a = 0 (To jest błąd, ponieważ a musi być różną od zera)</p>\n<p>Zatem, prawidłowa odpowiedź to C.</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<p>A. (3 + √3)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.<br>B. (2 + √2)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.<br>D. (2 + √2)/2 a: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia to warunków trójkąta prostokątnego i nie jest zgodne z obliczeniami.</p>\n<p>Wszystkie odpowiedzi są błędne, ponieważ nie uwzględniają trójkąta prostokątnego i kąta 30 stopni. Prawidłowa odpowiedź C wynika z zastosowania twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych w kontekście trójkąta prostokątnego.</p>"}]}