{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nNa rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt\n(\n)\n2, 3\nA =\ni przez\npoczątek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej do osi Ox.\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\nα\nk\nA\nZatem\nA.\n2\ntg\n3\nα = -\nB.\n3\ntg\n2\nα = -\nC.\n2\ntg\n3\nα =\nD.\n3\ntg\n2\nα =\nNa rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt A = (2,-3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej do osi Ox. A. tgα = -2/3; B. tgα = -3/2, C. tgα = 2/3; tgα = 3/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje\ndefinicje i wyznacza wartości funkcji sinus,\ncosinus i tangens kątów o miarach od 0° do\n180° (6.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = -\\frac{3}{2}\\]\n\n## Sposób 1 - Ze współczynnika kierunkowego prostej\n\nProsta przechodzi przez punkt \\(A = (2, -3)\\) i przez początek układu \\(O = (0, 0)\\).\n\nWzór na współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty:\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\n\nPodstawiamy \\(O = (0, 0)\\) i \\(A = (2, -3)\\):\n\\[a = \\frac{-3 - 0}{2 - 0} = \\frac{-3}{2} = -\\frac{3}{2}\\]\n\nKluczowa zależność: **współczynnik kierunkowy prostej \\(a = \\operatorname{tg}\\alpha\\)**, gdzie \\(\\alpha\\) to kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = a = -\\frac{3}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: B**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z definicji tangensa kąta\n\nZ rysunku odczytujemy, że kąt \\(\\alpha\\) jest kątem zawartym między prostą \\(k\\) a dodatnim kierunkiem osi \\(Ox\\).\n\nProsta opada (idzie z lewego górnego do prawego dolnego), więc \\(\\alpha\\) jest kątem **rozwartym** - tangensa jest **ujemna**. Eliminujemy od razu odpowiedzi C i D.\n\nMożemy myśleć o tym graficznie: przemieszczając się wzdłuż prostej o \\(\\Delta x = 2\\) w prawo, \"opadamy\" o \\(\\Delta y = 3\\) w dół.\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{zmiana } y}{\\text{zmiana } x} = \\frac{-3}{2} = -\\frac{3}{2}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej i współczynnik kierunkowy:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tej zależności: współczynnik \\(a\\) obliczony ze wzoru na iloraz przyrostów jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Odwrócony ułamek: obliczono \\(\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(\\frac{3}{2}\\), i wzięto minus - błąd w obliczeniu \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) (zamiana licznika z mianownikiem) |\n| C | Wzięto \\(\\frac{2}{3}\\) bez uwzględnienia znaku minusowego - zapomniano, że prosta opada |\n| D | Obliczono \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y} = \\frac{2}{-3}\\) i wzięto wartość bezwzględną - podwójny błąd: odwrócony ułamek i zgubiony znak |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), **nie** \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y}\\). Licznik to zmiana \\(y\\), mianownik to zmiana \\(x\\) - tak jak w równaniu prostej \\(y = ax + b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak tangensa zależy od kierunku prostej. Prosta **opadająca** (z lewej do prawej idzie w dół) ma **ujemny** współczynnik kierunkowy, więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\). Jeśli prosta rośnie - \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) jest zawsze mierzony od **dodatniego** kierunku osi \\(Ox\\) do prostej, **przeciwnie do ruchu wskazówek zegara**. Dla prostej opadającej \\(\\alpha \\in (90°, 180°)\\), gdzie tangensa jest ujemna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy prostej przez \\((0,0)\\) i punkt\nProsta przez \\((0, 0)\\) i \\(A = (2, -3)\\) ma współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\dfrac{-3 - 0}{2 - 0} = -\\dfrac{3}{2}.\\]\nTangens kąta nachylenia do osi \\(Ox\\) to właśnie \\(a\\):\n\\[\\tan\\alpha = -\\dfrac{3}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Definicja przez współrzędne punktu\nDla prostej przechodzącej przez początek i punkt \\(A = (x, y)\\):\n\\[\\tan\\alpha = \\dfrac{y}{x} = \\dfrac{-3}{2} = -\\dfrac{3}{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{2}{3}\\)** - zamieniono miejsca \\(x\\) i \\(y\\) w stosunku.\n- **C. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - zły znak + zamiana.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - zły znak (powinien być minus).\n\n**Zapamiętaj:** \\(\\tan\\alpha\\) = stosunek \\(\\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\); znak decyduje czy prosta maleje (ujemny) czy rośnie (dodatni).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie tangensa nachylenia prostej\n1. **Znajdź współrzędne punktu podcięciowego:** Punkt podcięciowy to punkt przecięcia prostej z osią x. Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i punkt A=(2, -3), to prosta jest po prostu linia prosta przechodząca przez te punkty.\n2. **Oblicz tangens nachylenia:** Tangens nachylenia prostej przechodzącej przez dwa punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) jest równy:\n\\[tg\\alpha = \\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\\]\nW naszym przypadku: (x₁, y₁) = (2, -3) oraz (x₂, y₂) = (0, 0) (punkt podcięciowy osi x). Zatem:\n\\[tg\\alpha = \\frac{0 - (-3)}{0 - 2} = \\frac{3}{-2} = -\\frac{3}{2}\\]\n\n📖 Karta wzorów: **s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2** (Strona 11)\n\n### Sposób 2: Obliczenie tangensa nachylenia z punktu A\n1. **Zdefiniuj współrzędne:** Punkt A ma współrzędne (2, -3).\n2. **Oblicz tangens nachylenia:** Tangens nachylenia prostej przechodzącej przez punkt (x₁, y₁) i oś x (czyli punkt, w którym prosta przecina oś x) jest równy:\n\\[tg\\alpha = \\frac{y₁}{x₁} = \\frac{-3}{2}\\]\n\n📖 Karta wzorów: **s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2** (Strona 11)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(tg\\alpha = -\\)**: To jest nieprecyzyjne. Musimy podać konkretną wartość tangensa.\n* **C. \\(tg\\alpha =\\)**: Podobnie jak w A, to nie jest pełna odpowiedź.\n* **D. \\(tg\\alpha =\\)**: Podobnie jak w A i C, to nie jest pełna odpowiedź.\n\nW obu sposobach obliczyliśmy tangens nachylenia prostej do osi x, przechodzącej przez punkt A=(2, -3) i początek układu współrzędnych. Dlatego odpowiedź B jest prawidłowa.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Na rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt
(
)
2, 3
A =
i przez
początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej do osi Ox.
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
0
α
k
A
Zatem
A.
2
tg
3
α = -
B.
3
tg
2
α = -
C.
2
tg
3
α =
D.
3
tg
2
α =
Na rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt A = (2,-3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej do osi Ox. A. tgα = -2/3; B. tgα = -3/2, C. tgα = 2/3; tgα = 3/2.

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Trygonometria. Zdający wykorzystuje
\n

definicje i wyznacza wartości funkcji sinus,
cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do
180° (6.1).
Wersja
I
Wersja
II
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = -\\frac{3}{2}\\]

\n

Sposób 1 - Ze współczynnika kierunkowego prostej

\n

Prosta przechodzi przez punkt \\(A = (2, -3)\\) i przez początek układu \\(O = (0, 0)\\).

\n

Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty:
\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]

\n

Podstawiamy \\(O = (0, 0)\\) i \\(A = (2, -3)\\):
\\[a = \\frac{-3 - 0}{2 - 0} = \\frac{-3}{2} = -\\frac{3}{2}\\]

\n

Kluczowa zależność: współczynnik kierunkowy prostej \\(a = \\operatorname{tg}\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = a = -\\frac{3}{2}\\]

\n

Odpowiedź: B

\n

Sposób 2 - Bezpośrednio z definicji tangensa kąta

\n

Z rysunku odczytujemy, że kąt \\(\\alpha\\) jest kątem zawartym między prostą \\(k\\) a dodatnim kierunkiem osi \\(Ox\\).

\n

Prosta opada (idzie z lewego górnego do prawego dolnego), więc \\(\\alpha\\) jest kątem rozwartym - tangensa jest ujemna. Eliminujemy od razu odpowiedzi C i D.

\n

Możemy myśleć o tym graficznie: przemieszczając się wzdłuż prostej o \\(\\Delta x = 2\\) w prawo, "opadamy" o \\(\\Delta y = 3\\) w dół.

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{zmiana } y}{\\text{zmiana } x} = \\frac{-3}{2} = -\\frac{3}{2}\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej i współczynnik kierunkowy:
\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]

\n

Użyliśmy tej zależności: współczynnik \\(a\\) obliczony ze wzoru na iloraz przyrostów jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Odwrócony ułamek: obliczono \\(\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(\\frac{3}{2}\\), i wzięto minus - błąd w obliczeniu \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) (zamiana licznika z mianownikiem) |
| C | Wzięto \\(\\frac{2}{3}\\) bez uwzględnienia znaku minusowego - zapomniano, że prosta opada |
| D | Obliczono \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y} = \\frac{2}{-3}\\) i wzięto wartość bezwzględną - podwójny błąd: odwrócony ułamek i zgubiony znak |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Wzór to \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), nie \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y}\\). Licznik to zmiana \\(y\\), mianownik to zmiana \\(x\\) - tak jak w równaniu prostej \\(y = ax + b\\).
\n
⚠️ Uwaga: Znak tangensa zależy od kierunku prostej. Prosta opadająca (z lewej do prawej idzie w dół) ma ujemny współczynnik kierunkowy, więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\). Jeśli prosta rośnie - \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\alpha\\) nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) jest zawsze mierzony od dodatniego kierunku osi \\(Ox\\) do prostej, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Dla prostej opadającej \\(\\alpha \\in (90°, 180°)\\), gdzie tangensa jest ujemna.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy prostej przez \\((0,0)\\) i punkt
\n

Prosta przez \\((0, 0)\\) i \\(A = (2, -3)\\) ma współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\dfrac{-3 - 0}{2 - 0} = -\\dfrac{3}{2}.\\]
Tangens kąta nachylenia do osi \\(Ox\\) to właśnie \\(a\\):
\\[\\tan\\alpha = -\\dfrac{3}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Definicja przez współrzędne punktu
\n

Dla prostej przechodzącej przez początek i punkt \\(A = (x, y)\\):
\\[\\tan\\alpha = \\dfrac{y}{x} = \\dfrac{-3}{2} = -\\dfrac{3}{2}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zapamiętaj: \\(\\tan\\alpha\\) = stosunek \\(\\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\); znak decyduje czy prosta maleje (ujemny) czy rośnie (dodatni).

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Obliczenie tangensa nachylenia prostej
\n
  1. Znajdź współrzędne punktu podcięciowego: Punkt podcięciowy to punkt przecięcia prostej z osią x. Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i punkt A=(2, -3), to prosta jest po prostu linia prosta przechodząca przez te punkty.
  2. Oblicz tangens nachylenia: Tangens nachylenia prostej przechodzącej przez dwa punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) jest równy:
\n

\\[tg\\alpha = \\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\\]
W naszym przypadku: (x₁, y₁) = (2, -3) oraz (x₂, y₂) = (0, 0) (punkt podcięciowy osi x). Zatem:
\\[tg\\alpha = \\frac{0 - (-3)}{0 - 2} = \\frac{3}{-2} = -\\frac{3}{2}\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2 (Strona 11)

\n
Sposób 2: Obliczenie tangensa nachylenia z punktu A
\n
  1. Zdefiniuj współrzędne: Punkt A ma współrzędne (2, -3).
  2. Oblicz tangens nachylenia: Tangens nachylenia prostej przechodzącej przez punkt (x₁, y₁) i oś x (czyli punkt, w którym prosta przecina oś x) jest równy:
\n

\\[tg\\alpha = \\frac{y₁}{x₁} = \\frac{-3}{2}\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin30°=1/2, cos60°=1/2, sin45°=√2/2 (Strona 11)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach obliczyliśmy tangens nachylenia prostej do osi x, przechodzącej przez punkt A=(2, -3) i początek układu współrzędnych. Dlatego odpowiedź B jest prawidłowa.

"}]}