{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nNa płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym\nw punkcie\n(\n)\n2,4\nA = -\n. Prosta k jest określona równaniem\n1\n7\n4\n2\ny\nx\n. Zatem prostą l\nopisuje równanie\nA.\n1\n7\n4\n2\ny\nx\nB.\n1\n7\n4\n2\ny\nx\nC.\n4\n12\ny\nx\nD.\n4\n12\ny\nx\nNa płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A = (-2,4). Prosta k jest określona równaniem y = -1/4x + 7/2. Zatem prostą l opisuje równanie A. y = 1/4x + 7/2; B. y = -1/4x-7/2; C. y = 4x-12; D. y = 4x+12.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(y = 4x + 12\\)\n\n## Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\).**\n\nProsta \\(k\\): \\(y = -\\dfrac{1}{4}x + \\dfrac{7}{2}\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_k = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\).**\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy:\n\\[a_k \\cdot a_l = -1\\]\n\nZatem:\n\\[-\\frac{1}{4} \\cdot a_l = -1\\]\n\\[a_l = -1 \\cdot \\left(-4\\right) = 4\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz wyraz wolny prostej \\(l\\).**\n\nProsta \\(l\\) przechodzi przez punkt \\(A = (-2, 4)\\) i ma współczynnik \\(a_l = 4\\):\n\\[y = 4x + b\\]\n\nPodstawiamy \\(x = -2\\), \\(y = 4\\):\n\\[4 = 4 \\cdot (-2) + b\\]\n\\[4 = -8 + b\\]\n\\[b = 12\\]\n\n**Wynik:** \\[\\boxed{y = 4x + 12}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie punktu i prostopadłości\n\nSprawdzamy odpowiedź D: \\(y = 4x + 12\\).\n\n**Czy prosta \\(l\\) przechodzi przez \\(A = (-2, 4)\\)?**\n\\[4 \\cdot (-2) + 12 = -8 + 12 = 4 \\checkmark\\]\n\n**Czy proste są prostopadłe?**\n\\[a_k \\cdot a_l = \\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot 4 = -1 \\checkmark\\]\n\nOba warunki spełnione - odpowiedź D jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej \\(l\\).\n\nOraz równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy - użyliśmy go do zapisania równania prostej \\(l\\) i wyznaczenia wyrazu wolnego \\(b\\) z warunku przechodzenia przez punkt \\(A\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Zmieniono znak współczynnika kierunkowego na \\(+\\frac{1}{4}\\) zamiast wziąć odwrotność i zmienić znak - prosta \\(l\\) miałaby \\(a_l = \\frac{1}{4}\\), a wtedy \\(\\frac{1}{4} \\cdot (-\\frac{1}{4}) = -\\frac{1}{16} \\neq -1\\), więc proste nie byłyby prostopadłe |\n| B | Zostawiono ten sam współczynnik kierunkowy co \\(k\\) (\\(-\\frac{1}{4}\\)) - proste byłyby równoległe, nie prostopadłe; do tego zmieniono znak wyrazu wolnego |\n| C | Poprawnie wyznaczono \\(a_l = 4\\), ale błędnie policzono wyraz wolny - prawdopodobnie podstawiono \\(x = 4\\) zamiast \\(y = 4\\), albo pomylono współrzędne punktu \\(A\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), NIE \\(a_2 = -a_1\\). Prosta prostopadła do \\(y = -\\frac{1}{4}x + \\ldots\\) ma współczynnik \\(4\\), a nie \\(\\frac{1}{4}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(A = (-2, 4)\\) - łatwo pomylić kolejność: \\(x = -2\\), \\(y = 4\\). Przy podstawianiu do \\(y = 4x + b\\) wstawiamy \\(x = -2\\) i \\(y = 4\\), nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a_l\\) zawsze sprawdź, czy punkt \\(A\\) leży na prostej \\(l\\) - to 10-sekundowa weryfikacja, która uchroni przed głupim błędem rachunkowym.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości + punkt\nWspółczynnik kierunkowy \\(k\\): \\(a_k = -\\tfrac{1}{4}\\).\nWspółczynnik prostopadłej: \\(a_l = -\\dfrac{1}{a_k} = -\\dfrac{1}{-1/4} = 4\\).\n\nProsta \\(l\\) przechodzi przez \\(A = (-2, 4)\\):\n\\[y - 4 = 4(x - (-2))\\]\n\\[y = 4x + 8 + 4 = 4x + 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi\nKażda opcja ma współczynnik kierunkowy:\n- A: \\(\\tfrac{1}{4}\\) - \\(a_k\\cdot a_l = -\\tfrac{1}{16}\\) ≠ -1 → nie prostopadłe\n- B: \\(-\\tfrac{1}{4}\\) - ta sama co k, więc równoległe (lub identyczne)\n- C: \\(4\\) - \\(a_k\\cdot a_l = -1\\) ✓ prostopadłe; sprawdzamy punkt \\(A = (-2, 4)\\): \\(4\\cdot(-2) - 12 = -20\\ne 4\\) ✗\n- D: \\(4\\) - prostopadłe; sprawdzamy: \\(4\\cdot(-2) + 12 = 4\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Nie prostopadłe.\n- **B.** Równoległe (ta sama skala).\n- **C.** Prostopadłe, ale nie przechodzi przez \\(A\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na kierunek i odległość między prostymi\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy dwie proste, k i l, które przecinają się w punkcie A. Prosta k jest dana równaniem y = -x + i musimy znaleźć równanie prostej l. Wiadomo, że proste przecinają się pod kątem prostym.\n\n2. **Współczynniki kierunkowe:** Prosta k ma równanie y = -x + , więc jej współczynnik kierunkowy to m₁ = -1. Ponieważ proste przecinają się pod kątem prostym, współczynnik kierunkowy prostej l (m₂) jest odwrotnością m₁: m₂ = -1/m₁ = -1/(-1) = 1.\n\n3. **Współrzędna punktu przecięcia:** Punkt przecięcia prostych to A = (-2, 4).\n\n4. **Równanie prostej l:** Prosta l ma współczynnik kierunkowy m₂ = 1 i przechodzi przez punkt A = (-2, 4). Używamy wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: y - y₁ = m₂(x - x₁), gdzie (x₁, y₁) = (-2, 4) i m₂ = 1.\nZatem: y - 4 = 1(x - (-2))\ny - 4 = x + 2\ny = x + 6\n\n5. **Porównanie z odpowiedziami:** Zauważamy, że równanie z kroku 4 (y = x + 6) jest identyczne z odpowiedzją B. W zadaniu pytano o równanie prostej l, a otrzymaliśmy równanie prostej l.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na odległość między punktem a prostą i wzoru na kierunek prostej\n\n1. **Wzór na odległość punktu od prostej:** Odległość (d) punktu A(-2, 4) od prostej k (y = -x + ) jest równa zeru, ponieważ proste przecinają się w punkcie A. Wzór na odległość punktu od prostej:\nd = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)\ngdzie prosta k ma równanie Ax + By + C = 0. Przekształcamy równanie prostej k: x + y - 4 = 0. Zatem A = 1, B = 1, C = -4, x₀ = -2, y₀ = 4.\nd = |1*(-2) + 1*(4) - 4| / √(1² + 1²) = | -2 + 4 - 4 | / √2 = |-2| / √2 = 2/√2 = √2\n\n2. **Wzór na kierunek prostej przecinającej punkt pod kątem prostym:** Prosta l przecina prostą k pod kątem prostym w punkcie A. Współczynnik kierunkowy prostej l (m₂) jest równy -1/m₁, gdzie m₁ to współczynnik kierunkowy prostej k. W naszym przypadku m₁ = -1, więc m₂ = 1.\n\n3. **Równanie prostej l:** Prosta l ma współczynnik kierunkowy m₂ = 1 i przechodzi przez punkt A = (-2, 4). Używamy wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: y - y₁ = m₂(x - x₁), gdzie (x₁, y₁) = (-2, 4) i m₂ = 1.\nZatem: y - 4 = 1(x - (-2))\ny - 4 = x + 2\ny = x + 6\n\n4. **Porównanie z odpowiedziami:** Zauważamy, że równanie z kroku 4 (y = x + 6) jest identyczne z odpowiedzją B.\n\n📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. y = -x + :** To jest równanie prostej k, a nie prostej l.\n* **C. y = 4x - 12:** To równanie prostej nie ma nic wspólnego z danymi w zadaniu.\n* **B. y = -x + 6:** To jest prawidłowe równanie prostej l.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunków zadania (przecinają się pod kątem prostym w punkcie A i mają podane równania).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym
w punkcie
(
)
2,4
A = -
. Prosta k jest określona równaniem
1
7
4
2
y
x
. Zatem prostą l
opisuje równanie
A.
1
7
4
2
y
x
B.
1
7
4
2
y
x
C.
4
12
y
x
D.
4
12
y
x
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A = (-2,4). Prosta k jest określona równaniem y = -1/4x + 7/2. Zatem prostą l opisuje równanie A. y = 1/4x + 7/2; B. y = -1/4x-7/2; C. y = 4x-12; D. y = 4x+12.

","answer_text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający bada równoległość i prostopadłość
prostych na podstawie ich równań
kierunkowych (8.2).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

\\(y = 4x + 12\\)

\n

Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych

\n

Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\).

\n

Prosta \\(k\\): \\(y = -\\dfrac{1}{4}x + \\dfrac{7}{2}\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:
\\[a_k = -\\frac{1}{4}\\]

\n

Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\).

\n

Dwie proste są prostopadłe, gdy:
\\[a_k \\cdot a_l = -1\\]

\n

Zatem:
\\[-\\frac{1}{4} \\cdot a_l = -1\\]
\\[a_l = -1 \\cdot \\left(-4\\right) = 4\\]

\n

Krok 3: Wyznacz wyraz wolny prostej \\(l\\).

\n

Prosta \\(l\\) przechodzi przez punkt \\(A = (-2, 4)\\) i ma współczynnik \\(a_l = 4\\):
\\[y = 4x + b\\]

\n

Podstawiamy \\(x = -2\\), \\(y = 4\\):
\\[4 = 4 \\cdot (-2) + b\\]
\\[4 = -8 + b\\]
\\[b = 12\\]

\n

Wynik: \\[\\boxed{y = 4x + 12}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie punktu i prostopadłości

\n

Sprawdzamy odpowiedź D: \\(y = 4x + 12\\).

\n

Czy prosta \\(l\\) przechodzi przez \\(A = (-2, 4)\\)?
\\[4 \\cdot (-2) + 12 = -8 + 12 = 4 \\checkmark\\]

\n

Czy proste są prostopadłe?
\\[a_k \\cdot a_l = \\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot 4 = -1 \\checkmark\\]

\n

Oba warunki spełnione - odpowiedź D jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunek prostopadłości prostych:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej \\(l\\).

\n

Oraz równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b\\]
gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy - użyliśmy go do zapisania równania prostej \\(l\\) i wyznaczenia wyrazu wolnego \\(b\\) z warunku przechodzenia przez punkt \\(A\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Zmieniono znak współczynnika kierunkowego na \\(+\\frac{1}{4}\\) zamiast wziąć odwrotność i zmienić znak - prosta \\(l\\) miałaby \\(a_l = \\frac{1}{4}\\), a wtedy \\(\\frac{1}{4} \\cdot (-\\frac{1}{4}) = -\\frac{1}{16} \\neq -1\\), więc proste nie byłyby prostopadłe |
| B | Zostawiono ten sam współczynnik kierunkowy co \\(k\\) (\\(-\\frac{1}{4}\\)) - proste byłyby równoległe, nie prostopadłe; do tego zmieniono znak wyrazu wolnego |
| C | Poprawnie wyznaczono \\(a_l = 4\\), ale błędnie policzono wyraz wolny - prawdopodobnie podstawiono \\(x = 4\\) zamiast \\(y = 4\\), albo pomylono współrzędne punktu \\(A\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), NIE \\(a_2 = -a_1\\). Prosta prostopadła do \\(y = -\\frac{1}{4}x + \\ldots\\) ma współczynnik \\(4\\), a nie \\(\\frac{1}{4}\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\(A = (-2, 4)\\) - łatwo pomylić kolejność: \\(x = -2\\), \\(y = 4\\). Przy podstawianiu do \\(y = 4x + b\\) wstawiamy \\(x = -2\\) i \\(y = 4\\), nie odwrotnie!
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(a_l\\) zawsze sprawdź, czy punkt \\(A\\) leży na prostej \\(l\\) - to 10-sekundowa weryfikacja, która uchroni przed głupim błędem rachunkowym.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Warunek prostopadłości + punkt
\n

Współczynnik kierunkowy \\(k\\): \\(a_k = -\\tfrac{1}{4}\\).
Współczynnik prostopadłej: \\(a_l = -\\dfrac{1}{a_k} = -\\dfrac{1}{-1/4} = 4\\).

\n

Prosta \\(l\\) przechodzi przez \\(A = (-2, 4)\\):
\\[y - 4 = 4(x - (-2))\\]
\\[y = 4x + 8 + 4 = 4x + 12.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi
\n

Każda opcja ma współczynnik kierunkowy:

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na kierunek i odległość między prostymi
\n
  1. Zrozumienie problemu: Mamy dwie proste, k i l, które przecinają się w punkcie A. Prosta k jest dana równaniem y = -x + i musimy znaleźć równanie prostej l. Wiadomo, że proste przecinają się pod kątem prostym.
\n
  1. Współczynniki kierunkowe: Prosta k ma równanie y = -x + , więc jej współczynnik kierunkowy to m₁ = -1. Ponieważ proste przecinają się pod kątem prostym, współczynnik kierunkowy prostej l (m₂) jest odwrotnością m₁: m₂ = -1/m₁ = -1/(-1) = 1.
\n
  1. Współrzędna punktu przecięcia: Punkt przecięcia prostych to A = (-2, 4).
\n
  1. Równanie prostej l: Prosta l ma współczynnik kierunkowy m₂ = 1 i przechodzi przez punkt A = (-2, 4). Używamy wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: y - y₁ = m₂(x - x₁), gdzie (x₁, y₁) = (-2, 4) i m₂ = 1.
\n

Zatem: y - 4 = 1(x - (-2))
y - 4 = x + 2
y = x + 6

\n
  1. Porównanie z odpowiedziami: Zauważamy, że równanie z kroku 4 (y = x + 6) jest identyczne z odpowiedzją B. W zadaniu pytano o równanie prostej l, a otrzymaliśmy równanie prostej l.
\n

📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na odległość między punktem a prostą i wzoru na kierunek prostej
\n
  1. Wzór na odległość punktu od prostej: Odległość (d) punktu A(-2, 4) od prostej k (y = -x + ) jest równa zeru, ponieważ proste przecinają się w punkcie A. Wzór na odległość punktu od prostej:
\n

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
gdzie prosta k ma równanie Ax + By + C = 0. Przekształcamy równanie prostej k: x + y - 4 = 0. Zatem A = 1, B = 1, C = -4, x₀ = -2, y₀ = 4.
d = |1(-2) + 1(4) - 4| / √(1² + 1²) = | -2 + 4 - 4 | / √2 = |-2| / √2 = 2/√2 = √2

\n
  1. Wzór na kierunek prostej przecinającej punkt pod kątem prostym: Prosta l przecina prostą k pod kątem prostym w punkcie A. Współczynnik kierunkowy prostej l (m₂) jest równy -1/m₁, gdzie m₁ to współczynnik kierunkowy prostej k. W naszym przypadku m₁ = -1, więc m₂ = 1.
\n
  1. Równanie prostej l: Prosta l ma współczynnik kierunkowy m₂ = 1 i przechodzi przez punkt A = (-2, 4). Używamy wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: y - y₁ = m₂(x - x₁), gdzie (x₁, y₁) = (-2, 4) i m₂ = 1.
\n

Zatem: y - 4 = 1(x - (-2))
y - 4 = x + 2
y = x + 6

\n
  1. Porównanie z odpowiedziami: Zauważamy, że równanie z kroku 4 (y = x + 6) jest identyczne z odpowiedzją B.
\n

📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunków zadania (przecinają się pod kątem prostym w punkcie A i mają podane równania).

"}]}