Zadanie 2. (0-1)
Liczba
3
3 54
2
jest równa
A.
3 52
B. 3
C.
3
2 2
D. 2
Liczba ∛54 - ∛2jest równa A. ∛52, B. 3, C. ∛2, D. 2.
Zadanie 2. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego
stopnia i stosuje prawa działań na
pierwiastkach (1.3).
Wersja
I
Wersja
II
C
D
Kluczowy pomysł: wyciągamy wspólny czynnik \\(\\sqrt[3]{2}\\) przed nawias.
\nZaczynamy od rozkładu \\(\\sqrt[3]{54}\\). Szukamy, jak wyrazić 54 przez 2:
\n\\[54 = 27 \\cdot 2\\]
\nZatem:
\n\\[\\sqrt[3]{54} = \\sqrt[3]{27 \\cdot 2} = \\sqrt[3]{27} \\cdot \\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2}\\]
\nTeraz podstawiamy do wyrażenia:
\n\\[\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2} - \\sqrt[3]{2}\\]
\nWyłączamy \\(\\sqrt[3]{2}\\) przed nawias:
\n\\[= \\sqrt[3]{2}\\,(3 - 1) = \\mathbf{2\\sqrt[3]{2}}\\]
\nSprawdzamy, że \\(2\\sqrt[3]{2}\\) to naprawdę wartość wyrażenia.
\n\\[\\sqrt[3]{2} \\approx 1{,}2599\\]
\nLewa strona:
\n\\[\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} \\approx 3{,}7798 - 1{,}2599 = 2{,}5199\\]
\nPrawa strona:
\n\\[2\\sqrt[3]{2} \\approx 2 \\cdot 1{,}2599 = 2{,}5198\\]
\nZgadza się ✓
\nDział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - własność pierwiastka z iloczynu:
\n\\[\\sqrt[n]{a \\cdot b} = \\sqrt[n]{a} \\cdot \\sqrt[n]{b}\\]
\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, rozkładając \\(\\sqrt[3]{54} = \\sqrt[3]{27 \\cdot 2} = \\sqrt[3]{27} \\cdot \\sqrt[3]{2}\\).
\nDodatkowo skorzystaliśmy z faktu, że \\(\\sqrt[3]{27} = 3\\), bo \\(3^3 = 27\\).
\n| Odp. | Błąd |
| A - \\(\\sqrt[3]{52}\\) | Odjęto liczby pod pierwiastkiem: \\(\\sqrt[3]{54-2} = \\sqrt[3]{52}\\). Pierwiastki NIE odejmują się tak! \\(\\sqrt[3]{a} - \\sqrt[3]{b} \\neq \\sqrt[3]{a-b}\\) |
| B - \\(3\\) | Pomylono \\(\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2}\\) z \\(\\frac{\\sqrt[3]{54}}{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt[3]{27} = 3\\). To byłoby dzielenie, nie odejmowanie |
| D - \\(2\\) | Prawidłowy współczynnik \\(2\\) wyciągnięty, ale zgubiono czynnik \\(\\sqrt[3]{2}\\). Błąd: wpisano sam wynik \\((3-1) = 2\\) bez przemnożenia przez \\(\\sqrt[3]{2}\\) |
⚠️ Uwaga: Pierwiastki NIE odejmują się "pod spodem" - \\(\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} \\neq \\sqrt[3]{52}\\). Ta pułapka jest ustawiona specjalnie jako odpowiedź A.\n
⚠️ Uwaga: Żeby dodawać/odejmować wyrażenia z pierwiastkami, muszą mieć ten sam czynnik pod pierwiastkiem - dopiero wtedy wyłączamy go i działamy na współczynnikach. Tu kluczem było rozbicie 54 = 27 · 2.\n
⚠️ Uwaga: Warto zapamiętać sześciany liczb: \\(1^3=1\\), \\(2^3=8\\), \\(3^3=27\\), \\(4^3=64\\), \\(5^3=125\\) - to przyspiesza rozkład liczby pod pierwiastkiem sześciennym.\n
Poprawna odpowiedź: C
\n\\(54 = 27 \\cdot 2\\), a \\(27 = 3^3\\):
\\[\\sqrt[3]{54} = \\sqrt[3]{27\\cdot 2} = \\sqrt[3]{27}\\cdot\\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2}.\\]
Zatem:
\\[\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2} - \\sqrt[3]{2} = 2\\sqrt[3]{2}.\\]
\\[\\sqrt[3]{54} - \\sqrt[3]{2} = \\sqrt[3]{2}(\\sqrt[3]{27} - 1) = \\sqrt[3]{2}\\cdot(3-1) = 2\\sqrt[3]{2}.\\]
\nPułapka: pierwiastek nie jest liniowy - można wyciągnąć wspólny czynnik tylko gdy obie liczby pod pierwiastkiem są jednakowego typu.
\nPoprawna odpowiedź: C
\n\\[ \\log_2(25) = \\log_2(5^2) = 2 \\log_2(5) \\]
\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, log(xy)=logx+logy, log(x^r)=r·logx, strona 13
\n\\[ \\log_2(25) = \\log_2(5!) = \\log_2(1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5) = \\log_2(1) + \\log_2(2) + \\log_2(3) + \\log_2(4) + \\log_2(5) = 0 + 1 + \\log_2(3) + 2 + \\log_2(5) = 3 + \\log_2(3) + \\log_2(5) \\]
\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 13
\nPodsumowując, sposób 1 jest prostszy i bardziej bezpośredni, a sposób 2 pokazuje, jak użyć silni i logarytmów do rozwiązania tego zadania. W obu przypadkach odpowiedź C jest prawidłowa.
"}]}