{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDany jest okrąg o środku\n(\n)\n2,3\nS =\ni promieniu\n5\nr =\n. Który z podanych punktów leży na\ntym okręgu?\nA.\n(\n)\n1,7\nA = -\nB.\n(\n)\n2, 3\nB =\nC.\n(\n)\n3,2\nC =\nD.\n(\n)\n5,3\nD =\nDany jest okrąg o środku S=(2,3) i promieniu r=5. Który z podanych punktów leży na tym okręgu? A. A=(-1,7; B. B=(2,-3); C. C=(3,2); D. D=(5,3).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów\n(8.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - punkt \\(A = (-1, 7)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprawdzenie odległości od środka\n\nPunkt leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jego **odległość od środka okręgu równa się promieniowi**.\n\nSprawdzamy każdy punkt. Używamy wzoru na odległość między dwoma punktami:\n\\[d = \\sqrt{(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2}\\]\n\nŚrodek to \\(S = (2, 3)\\), promień \\(r = 5\\).\n\n**Punkt A = (-1, 7):**\n\\[d = \\sqrt{(-1-2)^2 + (7-3)^2} = \\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n\\(d = 5 = r\\) ✓ - **punkt A leży na okręgu!**\n\nDla porządku sprawdzamy pozostałe:\n\n**Punkt B = (2, -3):**\n\\[d = \\sqrt{(2-2)^2 + (-3-3)^2} = \\sqrt{0 + 36} = 6 \\neq 5\\]\n\n**Punkt C = (3, 2):**\n\\[d = \\sqrt{(3-2)^2 + (2-3)^2} = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2} \\neq 5\\]\n\n**Punkt D = (5, 3):**\n\\[d = \\sqrt{(5-2)^2 + (3-3)^2} = \\sqrt{9 + 0} = 3 \\neq 5\\]\n\n**Odpowiedź: A**\n\n## Sposób 2 - Podstawienie do równania okręgu\n\nRównanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nDla naszego okręgu:\n\\[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\\]\n\nPunkt leży **na okręgu**, jeśli po podstawieniu jego współrzędnych dostaniemy równanie **prawdziwe** (lewa strona = 25).\n\n| Punkt | Podstawienie | Wynik |\n| \\(A(-1,7)\\) | \\((-1-2)^2 + (7-3)^2 = 9 + 16\\) | \\(= 25\\) ✓ |\n| \\(B(2,-3)\\) | \\((2-2)^2 + (-3-3)^2 = 0 + 36\\) | \\(= 36 \\neq 25\\) |\n| \\(C(3,2)\\) | \\((3-2)^2 + (2-3)^2 = 1 + 1\\) | \\(= 2 \\neq 25\\) |\n| \\(D(5,3)\\) | \\((5-2)^2 + (3-3)^2 = 9 + 0\\) | \\(= 9 \\neq 25\\) |\n\nTylko punkt \\(A\\) spełnia równanie okręgu. **Odpowiedź: A**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\nRównanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) (postać kanoniczna):\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 2 - podstawiając współrzędne punktów i sprawdzając, czy lewa strona daje \\(r^2 = 25\\).\n\nWzór na długość odcinka (odległość między punktami):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - licząc odległość każdego punktu od środka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd | Obliczenie prowadzące do błędu |\n| B | Mylenie znaku - punkt \\((2, -3)\\) wygląda \"symetrycznie\" do środka \\((2, 3)\\), ale leży **wewnątrz** okręgu dopiero po sprawdzeniu: \\(d = 6 \\neq 5\\) | \\(\\sqrt{0 + 36} = 6\\) |\n| C | Zamiana kolejności współrzędnych - punkt \\((3, 2)\\) to \"odwrócony\" środek \\((2, 3)\\); \\(d = \\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), leży **blisko środka** | \\(\\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\) |\n| D | Mylenie odcięcia punktu z promieniem - \\(D = (5, 3)\\) ma \\(x = 5\\), co kojarzy się z \\(r = 5\\), ale odległość od środka to tylko \\(3\\) | \\(\\sqrt{9 + 0} = 3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy, żeby jedna współrzędna punktu różniła się od środka o \\(r\\). Np. punkt \\(D = (5, 3)\\) jest oddalony od \\(S\\) tylko o \\(3\\) w poziomie - a obie współrzędne muszą \"składać się\" na odległość \\(5\\) (twierdzenie Pitagorasa!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kwadracie promienia - porównujesz \\((x-a)^2 + (y-b)^2\\) z \\(r^2 = 25\\), nie z \\(r = 5\\). Wielu uczniów porównuje z \\(5\\) zamiast \\(25\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt leżący **wewnątrz** okręgu daje \\((x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2\\), a **na zewnątrz** - \\(> r^2\\). To przydaje się w zadaniach o położeniu punktu względem okręgu.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Sprawdzenie odległości od \\(S\\)\nPunkt leży na okręgu \\(\\iff\\) jego odległość od środka = promień.\n\n- \\(A = (-1, 7)\\): \\(d_A = \\sqrt{(-1-2)^2 + (7-3)^2} = \\sqrt{9+16} = \\sqrt{25} = 5\\) ✓\n- \\(B = (2, -3)\\): \\(d_B = \\sqrt{0 + 36} = 6\\) ✗\n- \\(C = (3, 2)\\): \\(d_C = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\) ✗\n- \\(D = (5, 3)\\): \\(d_D = \\sqrt{9 + 0} = 3\\) ✗\n\nTylko **A** ma odległość równą \\(5 = r\\).\n\n### Sposób 2 - Równanie okręgu\n\\((x-2)^2 + (y-3)^2 = 25\\).\n- \\(A\\): \\((-3)^2 + 4^2 = 9+16 = 25\\) ✓\n- \\(B\\): \\(0 + 36 = 36 \\ne 25\\) ✗\n- \\(C\\): \\(1 + 1 = 2 \\ne 25\\) ✗\n- \\(D\\): \\(9 + 0 = 9 \\ne 25\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPozostałe punkty nie spełniają równania okręgu - są albo **w** nim (odległość mniejsza od r), albo **poza** nim.\n\n**Standardowy trik (3-4-5):** \\(\\sqrt{3^2+4^2} = 5\\) - typowy trójkąt pitagorejski.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie odległości punktu od środka okręgu\nAby sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, musimy obliczyć odległość między tym punktem a środkiem okręgu i porównać ją z promieniem okręgu.\n\n1. **Zidentyfikuj współrzędne:** Punkt A ma współrzędne (-1, 7), a środek okręgu S ma współrzędne (2, 3).\n2. **Użyj wzoru na odległość:** Odległość między dwoma punktami (x₁, y₁) i (x₂, y₂) w układzie współrzędnych kartezjańskim jest obliczana za pomocą wzoru:\n\\[d = \\sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}\\]\n3. **Oblicz odległość AS:**\n\\[AS = \\sqrt{(2 - (-1))² + (3 - 7)²} = \\sqrt{(2 + 1)² + (3 - 7)²} = \\sqrt{3² + (-4)²} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n4. **Porównaj z promieniem:** Promień okręgu r = 5. Ponieważ AS = 5, punkt A leży na okręgu.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona s.22\n\n### Sposób 2: Użycie równania okręgu\nOkrąg o środku S(2,3) i promieniu r=5 ma równanie:\n\\[(x-2)² + (y-3)² = 5² = 25\\]\nPodstawiamy współrzędne punktu A(-1, 7) do równania okręgu:\n\\[(-1 - 2)² + (7 - 3)² = (-3)² + (4)² = 9 + 16 = 25\\]\nPonieważ równanie jest spełnione, punkt A leży na okręgu.\n\n📖 Karta wzorów: s.18, Wycinek: P=πr², strona s.18\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. (2, -3):** Obliczając odległość punktu (2, -3) od środka (2, 3), otrzymujemy: \\[\\sqrt{(2-2)² + (-3-3)²} = \\sqrt{0 + (-6)²} = \\sqrt{36} = 6\\] Co jest różne od promienia 5, więc punkt B nie leży na okręgu.\n* **C. (3, 2):** Obliczając odległość punktu (3, 2) od środka (2, 3), otrzymujemy: \\[\\sqrt{(3-2)² + (2-3)²} = \\sqrt{1² + (-1)²} = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\] Co jest różne od promienia 5, więc punkt C nie leży na okręgu.\n* **D. (7, 3):** Obliczając odległość punktu (7, 3) od środka (2, 3), otrzymujemy: \\[\\sqrt{(7-2)² + (3-3)²} = \\sqrt{5² + 0} = \\sqrt{25} = 5\\] Co jest równe promieniowi 5, więc punkt D *może* leżeć na okręgu, ale w tym przypadku, jak pokazano w sposobie 1, punkt A jest prawidłową odpowiedzią.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Dany jest okrąg o środku
(
)
2,3
S =
i promieniu
5
r =
. Który z podanych punktów leży na
tym okręgu?
A.
(
)
1,7
A = -
B.
(
)
2, 3
B =
C.
(
)
3,2
C =
D.
(
)
5,3
D =
Dany jest okrąg o środku S=(2,3) i promieniu r=5. Który z podanych punktów leży na tym okręgu? A. A=(-1,7; B. B=(2,-3); C. C=(3,2); D. D=(5,3).

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający oblicza odległość dwóch punktów
(8.6).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - punkt \\(A = (-1, 7)\\)

\n

Sposób 1 - Sprawdzenie odległości od środka

\n

Punkt leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od środka okręgu równa się promieniowi.

\n

Sprawdzamy każdy punkt. Używamy wzoru na odległość między dwoma punktami:
\\[d = \\sqrt{(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2}\\]

\n

Środek to \\(S = (2, 3)\\), promień \\(r = 5\\).

\n

Punkt A = (-1, 7):
\\[d = \\sqrt{(-1-2)^2 + (7-3)^2} = \\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n

\\(d = 5 = r\\) ✓ - punkt A leży na okręgu!

\n

Dla porządku sprawdzamy pozostałe:

\n

Punkt B = (2, -3):
\\[d = \\sqrt{(2-2)^2 + (-3-3)^2} = \\sqrt{0 + 36} = 6 \\neq 5\\]

\n

Punkt C = (3, 2):
\\[d = \\sqrt{(3-2)^2 + (2-3)^2} = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2} \\neq 5\\]

\n

Punkt D = (5, 3):
\\[d = \\sqrt{(5-2)^2 + (3-3)^2} = \\sqrt{9 + 0} = 3 \\neq 5\\]

\n

Odpowiedź: A

\n

Sposób 2 - Podstawienie do równania okręgu

\n

Równanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\):
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]

\n

Dla naszego okręgu:
\\[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\\]

\n

Punkt leży na okręgu, jeśli po podstawieniu jego współrzędnych dostaniemy równanie prawdziwe (lewa strona = 25).

\n

| Punkt | Podstawienie | Wynik |
| \\(A(-1,7)\\) | \\((-1-2)^2 + (7-3)^2 = 9 + 16\\) | \\(= 25\\) ✓ |
| \\(B(2,-3)\\) | \\((2-2)^2 + (-3-3)^2 = 0 + 36\\) | \\(= 36 \\neq 25\\) |
| \\(C(3,2)\\) | \\((3-2)^2 + (2-3)^2 = 1 + 1\\) | \\(= 2 \\neq 25\\) |
| \\(D(5,3)\\) | \\((5-2)^2 + (3-3)^2 = 9 + 0\\) | \\(= 9 \\neq 25\\) |

\n

Tylko punkt \\(A\\) spełnia równanie okręgu. Odpowiedź: A

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):

\n

Równanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) (postać kanoniczna):
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]

\n

Użyliśmy go w Sposobie 2 - podstawiając współrzędne punktów i sprawdzając, czy lewa strona daje \\(r^2 = 25\\).

\n

Wzór na długość odcinka (odległość między punktami):
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]

\n

Użyliśmy go w Sposobie 1 - licząc odległość każdego punktu od środka.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd | Obliczenie prowadzące do błędu |
| B | Mylenie znaku - punkt \\((2, -3)\\) wygląda "symetrycznie" do środka \\((2, 3)\\), ale leży wewnątrz okręgu dopiero po sprawdzeniu: \\(d = 6 \\neq 5\\) | \\(\\sqrt{0 + 36} = 6\\) |
| C | Zamiana kolejności współrzędnych - punkt \\((3, 2)\\) to "odwrócony" środek \\((2, 3)\\); \\(d = \\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), leży blisko środka | \\(\\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\) |
| D | Mylenie odcięcia punktu z promieniem - \\(D = (5, 3)\\) ma \\(x = 5\\), co kojarzy się z \\(r = 5\\), ale odległość od środka to tylko \\(3\\) | \\(\\sqrt{9 + 0} = 3\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy, żeby jedna współrzędna punktu różniła się od środka o \\(r\\). Np. punkt \\(D = (5, 3)\\) jest oddalony od \\(S\\) tylko o \\(3\\) w poziomie - a obie współrzędne muszą "składać się" na odległość \\(5\\) (twierdzenie Pitagorasa!).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o kwadracie promienia - porównujesz \\((x-a)^2 + (y-b)^2\\) z \\(r^2 = 25\\), nie z \\(r = 5\\). Wielu uczniów porównuje z \\(5\\) zamiast \\(25\\).
\n
⚠️ Uwaga: Punkt leżący wewnątrz okręgu daje \\((x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2\\), a na zewnątrz - \\(> r^2\\). To przydaje się w zadaniach o położeniu punktu względem okręgu.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Sprawdzenie odległości od \\(S\\)
\n

Punkt leży na okręgu \\(\\iff\\) jego odległość od środka = promień.

\n\n

Tylko A ma odległość równą \\(5 = r\\).

\n
Sposób 2 - Równanie okręgu
\n

\\((x-2)^2 + (y-3)^2 = 25\\).

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

Pozostałe punkty nie spełniają równania okręgu - są albo w nim (odległość mniejsza od r), albo poza nim.

\n

Standardowy trik (3-4-5): \\(\\sqrt{3^2+4^2} = 5\\) - typowy trójkąt pitagorejski.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Obliczenie odległości punktu od środka okręgu
\n

Aby sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, musimy obliczyć odległość między tym punktem a środkiem okręgu i porównać ją z promieniem okręgu.

\n
  1. Zidentyfikuj współrzędne: Punkt A ma współrzędne (-1, 7), a środek okręgu S ma współrzędne (2, 3).
  2. Użyj wzoru na odległość: Odległość między dwoma punktami (x₁, y₁) i (x₂, y₂) w układzie współrzędnych kartezjańskim jest obliczana za pomocą wzoru:
\n

\\[d = \\sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}\\]

\n
  1. Oblicz odległość AS:
\n

\\[AS = \\sqrt{(2 - (-1))² + (3 - 7)²} = \\sqrt{(2 + 1)² + (3 - 7)²} = \\sqrt{3² + (-4)²} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n
  1. Porównaj z promieniem: Promień okręgu r = 5. Ponieważ AS = 5, punkt A leży na okręgu.
\n

📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona s.22

\n
Sposób 2: Użycie równania okręgu
\n

Okrąg o środku S(2,3) i promieniu r=5 ma równanie:
\\[(x-2)² + (y-3)² = 5² = 25\\]
Podstawiamy współrzędne punktu A(-1, 7) do równania okręgu:
\\[(-1 - 2)² + (7 - 3)² = (-3)² + (4)² = 9 + 16 = 25\\]
Ponieważ równanie jest spełnione, punkt A leży na okręgu.

\n

📖 Karta wzorów: s.18, Wycinek: P=πr², strona s.18

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}