{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym\nwysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź\npodstawy tego graniastosłupa jest równa\nA.\n10\nB. 3 10\nC.\n42\nD. 3 42\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa A. √10; B. 3√10; C. √42; D. 3√42.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni\ni objętość graniastosłupa prostego (G11.2).\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania kwadratowe z jedną\nniewiadomą (3.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie i równanie algebraiczne\n\n**Oznaczamy:** krawędź podstawy = \\(a\\), wysokość = \\(h\\).\n\nZ treści zadania: \\(h = 3a\\).\n\nGraniastosłup prawidłowy czworokątny = graniastosłup o podstawie **kwadratu** o boku \\(a\\).\n\nPole powierzchni całkowitej:\n\\[P_c = 2 \\cdot P_\\text{podstawy} + P_\\text{boczna}\\]\n\n- Pole jednej podstawy (kwadrat): \\(P_p = a^2\\)\n- Obwód podstawy: \\(4a\\)\n- Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\text{obwód} \\cdot h = 4a \\cdot 3a = 12a^2\\)\n\nZatem:\n\\[P_c = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\]\n\nPrzyrównujemy do \\(140\\):\n\\[14a^2 = 140\\]\n\\[a^2 = 10\\]\n\\[\\boxed{a = \\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(a = \\sqrt{10}\\) i \\(h = 3\\sqrt{10}\\) dają \\(P_c = 140\\):\n\n- Pole jednej podstawy: \\((\\sqrt{10})^2 = 10\\)\n- Dwie podstawy: \\(2 \\cdot 10 = 20\\)\n- Pole boczne: \\(4 \\cdot \\sqrt{10} \\cdot 3\\sqrt{10} = 12 \\cdot 10 = 120\\)\n- Suma: \\(20 + 120 = 140\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:\n\\[P_c = P_b + 2P_p, \\quad P_b = O_b \\cdot h\\]\ngdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy, \\(h\\) to wysokość graniastosłupa. Użyliśmy tego bezpośrednio do zbudowania równania na \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(3\\sqrt{10}\\) | Poprawnie wyznaczono \\(a = \\sqrt{10}\\), ale podano **wysokość** \\(h = 3a = 3\\sqrt{10}\\) zamiast krawędzi podstawy |\n| **C** \\(\\sqrt{42}\\) | Odwrócono zależność: przyjęto \\(a = 3h\\) (krawędź 3 razy dłuższa od wysokości) zamiast \\(h = 3a\\) - wtedy \\(P_c = 2a^2 + 4a \\cdot \\frac{a}{3} = \\frac{10a^2}{3} = 140\\), skąd \\(a^2 = 42\\) |\n| **D** \\(3\\sqrt{42}\\) | Ten sam błąd co w C (odwrócona zależność), ale dodatkowo podano **wysokość** \\(h = 3 \\cdot \\sqrt{42}\\) zamiast krawędzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wysokość 3 razy dłuższa od krawędzi\" oznacza \\(h = 3a\\), **nie** \\(a = 3h\\)! To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni bocznej graniastosłupa to \\(O_b \\cdot h\\), gdzie \\(O_b = 4a\\) (obwód kwadratu). Łatwo zapomnieć o czynniku \\(4\\) i użyć samego \\(a\\) zamiast \\(4a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a^2 = 10\\) upewnij się, że podajesz **krawędź podstawy** \\(a = \\sqrt{10}\\), a nie wysokość \\(h = 3\\sqrt{10}\\) - zadanie pyta o krawędź, nie o wysokość!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole powierzchni\nOznaczmy krawędź podstawy (kwadrat) \\(a\\) i wysokość \\(h = 3a\\).\n\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:\n\\[P_c = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + 4a\\cdot 3a = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2.\\]\n\nZ warunku \\(P_c = 140\\):\n\\[14a^2 = 140 \\Rightarrow a^2 = 10 \\Rightarrow a = \\sqrt{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nPodstawiamy do wzoru \\(P_c = 14a^2\\):\n- A: \\(a = \\sqrt{10}\\), \\(P_c = 14\\cdot 10 = 140\\) ✓\n- B: \\(a = 3\\sqrt{10}\\), \\(P_c = 14\\cdot 90 = 1260\\) ✗\n- C: \\(a = \\sqrt{42}\\), \\(P_c = 14\\cdot 42 = 588\\) ✗\n- D: \\(a = 3\\sqrt{42}\\), \\(P_c = 14\\cdot 9\\cdot 42 = 5292\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, D** - zbyt duża wartość \\(a\\).\n- **C** - inne złe założenie.\n\n**Kluczowe:** pole powierzchni całkowitej = 2 podstawy + 4 ściany boczne (dla prawidłowego czworokątnego).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni graniastosłupa i rozwiązanie równania\n1. **Obliczenie pola powierzchni podstawy:** Graniastosłup jest czworokątny, więc jego podstawy to kwadraty. Krawędź podstawy, oznaczmy ją przez *a*, ma długość 140. Pole podstawy to \\(a^2 = 140^2 = 19600\\).\n2. **Obliczenie pola powierzchni bocznej:** Wysokość graniastosłupa to 3 razy krawędź podstawy, czyli \\(h = 3 \\cdot 140 = 420\\). Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to \\(P_b = P_{podst} \\cdot 4 = 19600 \\cdot 4 = 78400\\).\n3. **Obliczenie całkowitej powierzchni:** Całkowita powierzchnia graniastosłupa to suma pola powierzchni podstaw i pola powierzchni bocznej: \\(P_{całkowita} = P_{podst} + P_b = 19600 + 78400 = 98000\\).\n4. **Rozwiązanie równania:** Pole powierzchni całkowitej jest dane wzorem \\(P_{całkowita} = 2a^2 + 4ah\\), gdzie *a* to krawędź podstawy, a *h* to wysokość. Zatem \\(98000 = 2a^2 + 4ah\\). Podstawiamy \\(h = 3a\\): \\(98000 = 2a^2 + 4a(3a) = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\). Dzielimy przez 14: \\(a^2 = \\frac{98000}{14} = 7000\\). Zatem \\(a = \\sqrt{7000} = \\sqrt{100 \\cdot 70} = 10\\sqrt{70}\\). To jest błędne. Powinno być a=√7000.\n\nW tym przypadku, podano, że pole powierzchni całkowitej wynosi 140, więc musimy obliczyć krawędź podstawy, korzystając z podanego wzoru:\n\\(P_{całkowita} = 2a^2 + 4ah = 140\\)\nPodstawiamy \\(h = 3a\\):\n\\(140 = 2a^2 + 4a(3a) = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\)\n\\(a^2 = \\frac{140}{14} = 10\\)\n\\(a = \\sqrt{10}\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 1\n### Sposób 2: Użycie wzoru na pole powierzchni graniastosłupa i rozwiązanie równania\n1. **Wzór na pole powierzchni graniastosłupa:** Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to \\(P = 2a^2 + 4ah\\), gdzie *a* to długość krawędzi podstawy, a *h* to wysokość graniastosłupa.\n2. **Podstawienie danych:** Z treści zadania wiemy, że \\(P = 140\\), \\(h = 3a\\). Podstawiamy te wartości do wzoru: \\(140 = 2a^2 + 4a(3a)\\).\n3. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** \\(140 = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\). Dzielimy obie strony przez 14: \\(a^2 = 10\\). Wyciągamy pierwiastek z obu stron: \\(a = \\sqrt{10}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. \\(3\\sqrt{10}\\):** Obliczona krawędź podstawy to \\(\\sqrt{10}\\), więc ta odpowiedź jest poprawna.\n* **C. \\(\\sqrt{42}\\):** To jest pierwiastek kwadratowy z 42, a nie krawędź podstawy.\n* **D. \\(2\\sqrt{26}\\):** To jest pierwiastek kwadratowy z 26, a nie krawędź podstawy.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie spełniają warunków zadania, a prawidłowa odpowiedź to \\( \\sqrt{10}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym
wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź
podstawy tego graniastosłupa jest równa
A.
10
B. 3 10
C.
42
D. 3 42

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa A. √10; B. 3√10; C. √42; D. 3√42.

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni
i objętość graniastosłupa prostego (G11.2).

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający
\n

rozwiązuje równania kwadratowe z jedną
niewiadomą (3.4).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{10}\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie i równanie algebraiczne

\n

Oznaczamy: krawędź podstawy = \\(a\\), wysokość = \\(h\\).

\n

Z treści zadania: \\(h = 3a\\).

\n

Graniastosłup prawidłowy czworokątny = graniastosłup o podstawie kwadratu o boku \\(a\\).

\n

Pole powierzchni całkowitej:
\\[P_c = 2 \\cdot P_\\text{podstawy} + P_\\text{boczna}\\]

\n\n

Zatem:
\\[P_c = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\]

\n

Przyrównujemy do \\(140\\):
\\[14a^2 = 140\\]
\\[a^2 = 10\\]
\\[\\boxed{a = \\sqrt{10}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy \\(a = \\sqrt{10}\\) i \\(h = 3\\sqrt{10}\\) dają \\(P_c = 140\\):

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:
\\[P_c = P_b + 2P_p, \\quad P_b = O_b \\cdot h\\]
gdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy, \\(h\\) to wysokość graniastosłupa. Użyliśmy tego bezpośrednio do zbudowania równania na \\(a\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B \\(3\\sqrt{10}\\) | Poprawnie wyznaczono \\(a = \\sqrt{10}\\), ale podano wysokość \\(h = 3a = 3\\sqrt{10}\\) zamiast krawędzi podstawy |
| C \\(\\sqrt{42}\\) | Odwrócono zależność: przyjęto \\(a = 3h\\) (krawędź 3 razy dłuższa od wysokości) zamiast \\(h = 3a\\) - wtedy \\(P_c = 2a^2 + 4a \\cdot \\frac{a}{3} = \\frac{10a^2}{3} = 140\\), skąd \\(a^2 = 42\\) |
| D \\(3\\sqrt{42}\\) | Ten sam błąd co w C (odwrócona zależność), ale dodatkowo podano wysokość \\(h = 3 \\cdot \\sqrt{42}\\) zamiast krawędzi |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: "Wysokość 3 razy dłuższa od krawędzi" oznacza \\(h = 3a\\), nie \\(a = 3h\\)! To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi C.
\n
⚠️ Uwaga: Pole powierzchni bocznej graniastosłupa to \\(O_b \\cdot h\\), gdzie \\(O_b = 4a\\) (obwód kwadratu). Łatwo zapomnieć o czynniku \\(4\\) i użyć samego \\(a\\) zamiast \\(4a\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(a^2 = 10\\) upewnij się, że podajesz krawędź podstawy \\(a = \\sqrt{10}\\), a nie wysokość \\(h = 3\\sqrt{10}\\) - zadanie pyta o krawędź, nie o wysokość!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na pole powierzchni
\n

Oznaczmy krawędź podstawy (kwadrat) \\(a\\) i wysokość \\(h = 3a\\).

\n

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:
\\[P_c = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + 4a\\cdot 3a = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2.\\]

\n

Z warunku \\(P_c = 140\\):
\\[14a^2 = 140 \\Rightarrow a^2 = 10 \\Rightarrow a = \\sqrt{10}.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n

Podstawiamy do wzoru \\(P_c = 14a^2\\):

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: pole powierzchni całkowitej = 2 podstawy + 4 ściany boczne (dla prawidłowego czworokątnego).

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni graniastosłupa i rozwiązanie równania
\n
  1. Obliczenie pola powierzchni podstawy: Graniastosłup jest czworokątny, więc jego podstawy to kwadraty. Krawędź podstawy, oznaczmy ją przez a, ma długość 140. Pole podstawy to \\(a^2 = 140^2 = 19600\\).
  2. Obliczenie pola powierzchni bocznej: Wysokość graniastosłupa to 3 razy krawędź podstawy, czyli \\(h = 3 \\cdot 140 = 420\\). Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to \\(P_b = P_{podst} \\cdot 4 = 19600 \\cdot 4 = 78400\\).
  3. Obliczenie całkowitej powierzchni: Całkowita powierzchnia graniastosłupa to suma pola powierzchni podstaw i pola powierzchni bocznej: \\(P_{całkowita} = P_{podst} + P_b = 19600 + 78400 = 98000\\).
  4. Rozwiązanie równania: Pole powierzchni całkowitej jest dane wzorem \\(P_{całkowita} = 2a^2 + 4ah\\), gdzie a to krawędź podstawy, a h to wysokość. Zatem \\(98000 = 2a^2 + 4ah\\). Podstawiamy \\(h = 3a\\): \\(98000 = 2a^2 + 4a(3a) = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\). Dzielimy przez 14: \\(a^2 = \\frac{98000}{14} = 7000\\). Zatem \\(a = \\sqrt{7000} = \\sqrt{100 \\cdot 70} = 10\\sqrt{70}\\). To jest błędne. Powinno być a=√7000.
\n

W tym przypadku, podano, że pole powierzchni całkowitej wynosi 140, więc musimy obliczyć krawędź podstawy, korzystając z podanego wzoru:
\\(P_{całkowita} = 2a^2 + 4ah = 140\\)
Podstawiamy \\(h = 3a\\):
\\(140 = 2a^2 + 4a(3a) = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\)
\\(a^2 = \\frac{140}{14} = 10\\)
\\(a = \\sqrt{10}\\)

\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 1

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na pole powierzchni graniastosłupa i rozwiązanie równania
\n
  1. Wzór na pole powierzchni graniastosłupa: Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to \\(P = 2a^2 + 4ah\\), gdzie a to długość krawędzi podstawy, a h to wysokość graniastosłupa.
  2. Podstawienie danych: Z treści zadania wiemy, że \\(P = 140\\), \\(h = 3a\\). Podstawiamy te wartości do wzoru: \\(140 = 2a^2 + 4a(3a)\\).
  3. Uproszczenie i rozwiązanie równania: \\(140 = 2a^2 + 12a^2 = 14a^2\\). Dzielimy obie strony przez 14: \\(a^2 = 10\\). Wyciągamy pierwiastek z obu stron: \\(a = \\sqrt{10}\\).
\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 1

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie spełniają warunków zadania, a prawidłowa odpowiedź to \\( \\sqrt{10}\\).

"}]}