Zadanie 22. (0-1)
Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz
rysunek) jest równy
A.
3
2
B.
2
2
C. 1
2
D. 1
Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy A. √3/2; B. √2/2; C. 1/2; D. 1.
Zadanie 22. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
w walcach i w stożkach kąt między odcinkami
oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami
(9.3).
Wersja
I
Wersja
II
B
C
Identyfikujemy trójkąt OAS z rysunku.
\nW walcu:
\nZ treści zadania: promień podstawy = wysokość walca, czyli:
\\[|AS| = r, \\quad |OS| = h = r \\implies |AS| = |OS|\\]
Kąt \\(\\angle OSA = 90°\\), bo \\(OS\\) to oś walca (pionowa), a \\(AS\\) to promień podstawy (poziomy) - są prostopadłe.
\nObliczamy \\(|OA|\\) z twierdzenia Pitagorasa:
\\[|OA| = \\sqrt{|AS|^2 + |OS|^2} = \\sqrt{r^2 + r^2} = \\sqrt{2r^2} = r\\sqrt{2}\\]
Szukamy \\(\\sin(\\angle OAS)\\) - kąt przy wierzchołku \\(A\\), czyli:
\\[\\sin(\\angle OAS) = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{|OS|}{|OA|} = \\frac{r}{r\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\]
\\[\\boxed{\\sin(\\angle OAS) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}}\\]
\nW trójkącie prostokątnym \\(OAS\\) (kąt prosty przy \\(S\\)):
\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle OAS) = \\frac{|OS|}{|AS|} = \\frac{r}{r} = 1\\]
\nZatem \\(\\angle OAS = 45°\\).
\nZe tablicy wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 34):
\\[\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]
Wynik zgodny z Metodą 1. ✓
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \\(|OA|\\) jako przekątnej trójkąta prostokątnego \\(OAS\\).
Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - Definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
Bezpośrednio zastosowana przy obliczeniu \\(\\sin(\\angle OAS)\\).
Dział 17 (Tablica wartości, s. 34) - \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - przydatne w Sposobie 2.
\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Kojarzenie z kątem \\(60°\\), np. z trójkąta równobocznego - tu nie ma żadnego kąta \\(60°\\) |
| C - \\(\\frac{1}{2}\\) | Policzenie \\(\\sin(\\angle OAS) = \\frac{|AS|}{|OA|}\\) zamiast \\(\\frac{|OS|}{|OA|}\\) - zamiana przyprostokątnych |
| D - \\(1\\) | Błędne przyjęcie \\(|OA| = |OS| = r\\) (pominięcie twierdzenia Pitagorasa) lub myląca interpretacja, że kąt \\(OAS = 90°\\) |
⚠️ Uwaga: Kąt prosty jest przy \\(S\\), nie przy \\(A\\)! Nie mylić wierzchołka kąta szukanego z wierzchołkiem kąta prostego.\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu sinusa kąta przy \\(A\\) - przyprostokątna naprzeciwległa to \\(|OS|\\), a nie \\(|AS|\\). Uczniowie często tu zamieniają boki.\n
⚠️ Uwaga: Informacja „promień równa się wysokości" służy tylko do ustalenia, że trójkąt \\(OAS\\) jest równoramienny prostokątny (czyli kąty przy podstawie to \\(45°\\)). Sam stosunek długości wystarczy - nie potrzeba konkretnej wartości \\(r\\).\n
Poprawna odpowiedź: B
\nW trójkącie \\(OAS\\): \\(AS\\) to promień podstawy, \\(OS\\) - wysokość walca, \\(OS \\perp AS\\) (bo wysokość walca prostopadła do płaszczyzny podstawy).
\nZ warunku \\(|AS| = |OS|\\) - trójkąt jest równoramienny prostokątny (45-45-90).
\nPrzeciwprostokątna:
\\[|OA| = \\sqrt{|AS|^2 + |OS|^2} = \\sqrt{2}\\cdot|AS|.\\]
\\[\\sin(\\angle OAS) = \\dfrac{|OS|}{|OA|} = \\dfrac{|AS|}{\\sqrt{2}|AS|} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}.\\]
\nRównoramienny trójkąt prostokątny ma kąty \\(45^\\circ, 45^\\circ, 90^\\circ\\). Zatem \\(\\angle OAS = 45^\\circ\\) i \\(\\sin 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\).
\nRozpoznanie: dwie równe przyprostokątne → trójkąt 45-45-90.
\nPoprawna odpowiedź: B
\nW tym przypadku korzystamy z trójkąta prostokątnego OAS, gdzie kąt OAS jest ostry. Wiemy, że AS jest promieniem podstawy walca, a OS jest wysokością walca. Zatem, AS = OS. To oznacza, że trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym w wierzchołku O, gdzie kąt OAS jest ostry. Ponieważ AS jest promieniem podstawy, to OA = AS. Zatem trójkąt OAS jest trójkątem równoramiennym, w którym OA = AS. W takim trójkącie, kąt OAB (lub kąt OAS) jest równy 30 stopni (ponieważ kąt OAB jest ostry i OA = AS). W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwległej strony do przeciwprostokątnej. Zatem:
\nsin(OAS) = sin(30°) = \\( \\frac{OA}{OS} \\)
\nPonieważ OA = AS, to:
\n\\( \\frac{AS}{OS} = \\frac{1}{2} \\)
\nZatem:
\n\\( \\sin(OAS) = \\frac{1}{2} \\)
\nDlatego odpowiedź to B.
\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg)
\nZ rysunku widzimy, że trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym w punkcie O. Ponieważ AS jest promieniem podstawy walca, to AS = r. Wysokość walca, OS, jest równa promieniowi podstawy, czyli OS = r. Zatem trójkąt OAS jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt OAS jest ostry. W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwległej strony do przeciwprostokątnej. W tym przypadku, sin(OAS) = \\( \\frac{OS}{OA} \\)
\nPonieważ AS = r i OS = r, to:
\n\\( \\sin(OAS) = \\frac{r}{OA} \\)
\nZauważmy, że \\( \\sin(OAS) = \\frac{1}{2} \\)
\nZatem:
\n\\( \\frac{r}{OA} = \\frac{1}{2} \\)
\n\\( OA = 2r \\)
\nW trójkącie prostokątnym, \\( OA^2 = OS^2 + AS^2 \\)
\n\\( (2r)^2 = r^2 + r^2 \\)
\n\\( 4r^2 = 2r^2 \\)
\n\\( 2r^2 = 0 \\)
\n\\( r = 0 \\)
\nCo jest niemożliwe, ponieważ r to promień podstawy. Zatem, musimy wrócić do definicji sinusa i zauważyć, że \\( \\sin(OAS) = \\frac{OS}{OA} = \\frac{1}{2} \\)
\nDlatego odpowiedź to B.
\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg)
\n