{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa\nA. 576π\nB. 192π\nC. 144π\nD. 48π\nDany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa A. 576π, B. 192π, C. 144π, D. 48π.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni\ni objętość stożka (G11.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(48\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na objętość stożka\n\n**Co wiemy z treści zadania:**\n- wysokość stożka: \\(h = 4\\)\n- średnica podstawy: \\(d = 12\\), więc **promień** \\(r = \\frac{12}{2} = 6\\)\n\n**Uwaga:** zadanie podaje *średnicę*, nie promień - to klasyczna pułapka!\n\nWzór na objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 6\\), \\(h = 4\\):\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 6^2 \\cdot 4\\]\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 \\cdot 4\\]\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 144\\pi\\]\n\\[\\boxed{V = 48\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - krok po kroku z kolejnością działań\n\nMożna też liczyć stopniowo, żeby nie pogubić się w mnożeniu:\n\nPole podstawy (koło o promieniu \\(r = 6\\)):\n\\[P_p = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 36 = 36\\pi\\]\n\nObjętość stożka to \\(\\frac{1}{3}\\) objętości walca o tej samej podstawie i wysokości:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 36\\pi \\cdot 4 = \\frac{144\\pi}{3} = 48\\pi\\]\n\n**Wynik:** \\(V = 48\\pi\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\ngdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(h\\) - wysokość stożka.\n\nWzór znajdziesz w tabeli brył obrotowych, obok walca i kuli. Pamiętaj, że \\(r\\) to **promień**, a nie średnica!\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(576\\pi\\) | Użyto średnicy zamiast promienia (\\(r = 12\\)) i zapomniano o czyniku \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 12^2 \\cdot 4 = 576\\pi\\) |\n| B - \\(192\\pi\\) | Użyto średnicy zamiast promienia (\\(r = 12\\)), ale pamiętano o \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 144 \\cdot 4 = 192\\pi\\) |\n| C - \\(144\\pi\\) | Użyto poprawnego promienia \\(r = 6\\), ale zapomniano o czyniku \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 36 \\cdot 4 = 144\\pi\\) |\n| D - \\(48\\pi\\) | ✓ Poprawnie: \\(r = 6\\), \\(\\frac{1}{3}\\) uwzględnione |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie podaje **średnicę** (\\(d = 12\\)), a wzór wymaga **promienia** (\\(r = 6\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - prowadzi do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Objętość stożka to \\(\\frac{1}{3}\\) objętości walca - czynnik \\(\\frac{1}{3}\\) jest kluczowy. Jego pominięcie daje odpowiedź C (\\(144\\pi\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Połączenie obu błędów (zły promień + brak \\(\\frac{1}{3}\\)) daje odpowiedź A (\\(576\\pi\\)) - wynik aż 12 razy za duży!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość stożka\nŚrednica = \\(12\\) → promień \\(r = 6\\). Wysokość \\(h = 4\\).\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 36\\cdot 4 = \\dfrac{144}{3}\\pi = 48\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\n1. \\(r = \\tfrac{d}{2} = 6\\).\n2. \\(r^2 = 36\\).\n3. \\(\\pi r^2 h = 36\\cdot 4\\pi = 144\\pi\\) (objętość walca o tych samych wymiarach).\n4. \\(V_{\\text{stożek}} = \\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\pi = 48\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(576\\pi\\)** - wzięto \\(d^2\\) zamiast \\(r^2\\), czyli \\(\\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\cdot 4\\pi\\).\n- **B. \\(192\\pi\\)** - pomnożono \\(48\\cdot 4\\); błąd w odczytaniu.\n- **C. \\(144\\pi\\)** - objętość **walca** o tych samych wymiarach, bez \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Klasyczna pułapka:** używanie średnicy zamiast promienia we wzorze. Zawsze \\(r = \\tfrac{d}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie objętości stożka ze wzoru\nW tym przypadku najprościej jest zastosować wzór na objętość stożka:\n\nV = (1/3) * π * r² * h\n\nGdzie:\n* V - objętość stożka\n* π - liczba pi (około 3.14159)\n* r - promień podstawy stożka\n* h - wysokość stożka\n\nZ treści zadania wiemy, że średnica podstawy wynosi 12, więc promień r = 6. Wysokość stożka h = 4. Podstawiając te wartości do wzoru:\n\nV = (1/3) * π * 6² * 4\nV = (1/3) * π * 36 * 4\nV = (1/3) * 144π\nV = 48π\n\n📖 Karta wzorów: s.18: Pole trójk, strona 18\n\n### Sposób 2: Przekształcenie danych i zastosowanie wzoru\nMożemy też wykorzystać twierdzenie Pitagorowe do obliczenia wysokości stożka, jeśli chcemy użyć innego podejścia. Wysokość stożka to odległość od wierzchołka stożka do środka podstawy. Promień podstawy to 6, a wysokość stożka to 4. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\nh² + r² = (d/2)²\ngdzie d to średnica podstawy.\n\nW naszym przypadku:\n\n4² + 6² = (12/2)²\n16 + 36 = 6²\n52 = 36 - To jest błąd, co sugeruje, że nie możemy użyć tego podejścia w ten sposób. Zatem, musimy użyć pierwszego sposobu.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(576\\pi\\)** - To wynik nieprawidłowego zastosowania wzoru na objętość. Wzór na objętość stożka to (1/3)πr²h, a nie inne wyrażenie.\n* **B. \\(192\\pi\\)** - Podobnie jak A, to wynik nieprawidłowego obliczenia.\n* **C. \\(144\\pi\\)** - Również nieprawidłowy wynik.\n* **D. \\(48\\pi\\)** - To jest poprawny wynik, który otrzymaliśmy, używając wzoru na objętość stożka.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa
A. 576π
B. 192π
C. 144π
D. 48π
Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa A. 576π, B. 192π, C. 144π, D. 48π.

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni
i objętość stożka (G11.2).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(48\\pi\\)

\n

Sposób 1 - wzór na objętość stożka

\n

Co wiemy z treści zadania:

\n\n

Uwaga: zadanie podaje średnicę, nie promień - to klasyczna pułapka!

\n

Wzór na objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]

\n

Podstawiamy \\(r = 6\\), \\(h = 4\\):
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 6^2 \\cdot 4\\]
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 \\cdot 4\\]
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 144\\pi\\]
\\[\\boxed{V = 48\\pi}\\]

\n

Sposób 2 - krok po kroku z kolejnością działań

\n

Można też liczyć stopniowo, żeby nie pogubić się w mnożeniu:

\n

Pole podstawy (koło o promieniu \\(r = 6\\)):
\\[P_p = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 36 = 36\\pi\\]

\n

Objętość stożka to \\(\\frac{1}{3}\\) objętości walca o tej samej podstawie i wysokości:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 36\\pi \\cdot 4 = \\frac{144\\pi}{3} = 48\\pi\\]

\n

Wynik: \\(V = 48\\pi\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
gdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(h\\) - wysokość stożka.

\n

Wzór znajdziesz w tabeli brył obrotowych, obok walca i kuli. Pamiętaj, że \\(r\\) to promień, a nie średnica!

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(576\\pi\\) | Użyto średnicy zamiast promienia (\\(r = 12\\)) i zapomniano o czyniku \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 12^2 \\cdot 4 = 576\\pi\\) |
| B - \\(192\\pi\\) | Użyto średnicy zamiast promienia (\\(r = 12\\)), ale pamiętano o \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 144 \\cdot 4 = 192\\pi\\) |
| C - \\(144\\pi\\) | Użyto poprawnego promienia \\(r = 6\\), ale zapomniano o czyniku \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 36 \\cdot 4 = 144\\pi\\) |
| D - \\(48\\pi\\) | ✓ Poprawnie: \\(r = 6\\), \\(\\frac{1}{3}\\) uwzględnione |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie podaje średnicę (\\(d = 12\\)), a wzór wymaga promienia (\\(r = 6\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - prowadzi do odpowiedzi B.
\n
⚠️ Uwaga: Objętość stożka to \\(\\frac{1}{3}\\) objętości walca - czynnik \\(\\frac{1}{3}\\) jest kluczowy. Jego pominięcie daje odpowiedź C (\\(144\\pi\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Połączenie obu błędów (zły promień + brak \\(\\frac{1}{3}\\)) daje odpowiedź A (\\(576\\pi\\)) - wynik aż 12 razy za duży!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wzór na objętość stożka
\n

Średnica = \\(12\\) → promień \\(r = 6\\). Wysokość \\(h = 4\\).
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 36\\cdot 4 = \\dfrac{144}{3}\\pi = 48\\pi.\\]

\n
Sposób 2 - Krok po kroku
\n
  1. \\(r = \\tfrac{d}{2} = 6\\).
  2. \\(r^2 = 36\\).
  3. \\(\\pi r^2 h = 36\\cdot 4\\pi = 144\\pi\\) (objętość walca o tych samych wymiarach).
  4. \\(V_{\\text{stożek}} = \\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\pi = 48\\pi\\).
\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Klasyczna pułapka: używanie średnicy zamiast promienia we wzorze. Zawsze \\(r = \\tfrac{d}{2}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Obliczenie objętości stożka ze wzoru
\n

W tym przypadku najprościej jest zastosować wzór na objętość stożka:

\n

V = (1/3) * π * r² * h

\n

Gdzie:

\n\n

Z treści zadania wiemy, że średnica podstawy wynosi 12, więc promień r = 6. Wysokość stożka h = 4. Podstawiając te wartości do wzoru:

\n

V = (1/3) * π * 6² * 4
V = (1/3) * π * 36 * 4
V = (1/3) * 144π
V = 48π

\n

📖 Karta wzorów: s.18: Pole trójk, strona 18

\n
Sposób 2: Przekształcenie danych i zastosowanie wzoru
\n

Możemy też wykorzystać twierdzenie Pitagorowe do obliczenia wysokości stożka, jeśli chcemy użyć innego podejścia. Wysokość stożka to odległość od wierzchołka stożka do środka podstawy. Promień podstawy to 6, a wysokość stożka to 4. Z twierdzenia Pitagorowego:

\n

h² + r² = (d/2)²
gdzie d to średnica podstawy.

\n

W naszym przypadku:

\n

4² + 6² = (12/2)²
16 + 36 = 6²
52 = 36 - To jest błąd, co sugeruje, że nie możemy użyć tego podejścia w ten sposób. Zatem, musimy użyć pierwszego sposobu.

\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}